2022-2023学年上海市嘉定区安亭高级中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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2022-2023学年上海市嘉定区安亭高级中学高二（上）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在长方体中，为中点，，，，则( )
A. B. C. D.
盒中装有大小相同的个小球，其中黑球个，白球个，假设每次随机在个球中取一个，取球后放回摇匀，则下列说法正确的是( )
A. “第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”互斥
B. “第三次取到黑球”和“第四次取到白球”独立
C. “前三次都取到黑球”和“前三次都取到白球”对立
D. 若连续三次都取到黑球，则第四次取到白球的概率会大于
在正方体中，为上一动点，则下列各选项正确的是( )
A. 存在点使得与平面垂直
B. 存在点使得与平面垂直
C. 存在点使得与平面垂直
D. 存在点使得与平面垂直
某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且记该棋手连胜两盘的概率为，则( )
A. 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该棋手在第二盘与甲比赛，最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛，最大
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
从至的个整数中随机取个不同的数，共有______种不同的取法．
已知向量，，则，则______．
同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．
若，则______．
正整数有______个不同的正约数．
投掷一颗均匀的骰子，设事件：点数大于等于；事件：点数为奇数．则______．
已知甲同学在玩“电子抽卡游戏”，假设每次抽取张卡，且每次获得“稀有卡”的概率均为，那么该同学在次抽取后，一次也没获得“稀有卡”的概率为______结果精确到
从正方体的个顶点中任选个，则这个点恰好是同一条棱的两个端点的概率为______．
甲乙丙丁戊名同学排成一列，若甲不站在排头，乙和丙相邻，则不同的排列方法有______种．
已知正三棱锥满足，，则______．
将个相同的红球和个相同的蓝球排成一行，从左至右依次对应序号，，，，若同色球之间不加以区分，则个红球对应序号之和小于个蓝球对应序号之和的排列方法有______种．
假设你正在参加一个电视节目，舞台上有三扇口，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊，如果你选中了后面有汽车的那扇门，就可以得到这辆汽车．于是你随机选择了一扇门，走到门前，但还未打开．这时，主持人打开了另外两扇门中的一扇，让你看到了那扇门的后面是一只山羊主持人当然知道每扇门后面都是什么现在，主持人给你一次重新选择的机会．假设你选择换另一扇还未打开的门，那么得到汽车的概率是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知一条铁路有个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到车站下车为种车票．
该铁路的客运车票有多少种？
为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了种，求的值．
本小题分
已知空间直角坐标系中，，，．
若，求的坐标；
求三角形的面积．
本小题分
如图，四面体中，，，，为的中点．
证明：平面；
设，，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的大小．
本小题分
已知共张卡牌由张红卡、张其它颜色卡组成，混合后分轮发出，每轮随机发出张卡．
求事件“第轮无红色卡牌”的概率；
求事件“第轮有至少张红色卡牌”的概率；
求事件“每轮均有红色卡牌”的概率．
本小题分
如图，以长方体的顶点为坐标原点，是的中点，是的中点．过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，已知．
分别写出点、点和的坐标；
求到平面的距离；
若点是棱上一个动点，是否存在点使得为一个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”是两次不同的试验，所以两个事件不是互斥事件，所以A错误；
对于，由于每次取球后放回摇匀，所以“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”互不影响，所以这两个事件是独立的，所以B正确；
对于，“前三次都取到黑球”与“前三次最多有两次取到黑球”是对立事件，所以C错误；
对于，因为每次取球后放回摇匀，所以每一次取到白球的概率都为，所以D错误．
故选：．
对于，利用互斥事件的定义判断，对于，利用独立事件的定义判断，对于，利用对立事件的定义判断，对于，利用概率的定义求解即可．
本题考查了互斥事件和对立事件的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设，
对于，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，
则，所以，方程组不成立，所以与不共线，所以与平面不垂直，所以A错误，
对于，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，则，
所以，得不合题意，所以与不共线，所以与平面不垂直，所以B错误，
对于，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，
则，所以，方程组不成立，所以与不共线，所以与平面不垂直，所以C错误，
对于，，若与平面垂直，则与共线，则存在唯一，使，则，
所以，得符合题意，所以当时，与与共线，此时与平面垂直，所以D正确，
故选：．
如图，以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，求出平面的法向量，设，然后逐个分析判断即可．
本题考查线面垂直的判断方法，考查运算求解能力，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以受比赛次序影响，故A错误；
设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为，棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为，棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为，
，
，
，
，，
所以最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．
故选：．
已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以受比赛次序影响，A错误；再计算第二盘分别与甲、乙、丙比赛连赢两盘的概率，比较大小即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
5.【答案】
【解析】解：从至的个整数中随机取个不同的数，共有种不同的取法，
故答案为：．
由排列、组合及简单的计数问题求解即可．
本题考查了排列、组合及简单的计数问题，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，可设，即．
所以，解得，
所以．
故答案为：．
由向量共线定理可得到参数、的值．
本题考查共线向量的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：同时投掷两颗均匀的骰子，基本事件总数种，
所得点数相等的基本事件有，，，，，，共种，
所以所得点数相等的概率为．
故答案为：．
同时投掷两颗均匀的骰子，基本事件总数种，所得点数相等的基本事件有种，再利用古典概型的概率公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，
由，得，
，，
故答案为：．
根据排列数，组合数公式，进行化简即可求解．
本题考查了排列数，组合数公式的应用，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
则有个不同的正约数，
故答案为：．
因为，则有个不同的正约数，得解．
本题考查了排列、组合及简单的计数问题，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知，投掷一颗均匀的骰子出现的点数有种结果，事件包含的结果有，，，，事件包含的结果有，，，
所以．
故答案为：．
根据古典概型的概率乘法公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率乘法公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：每次抽取张卡，且每次获得“稀有卡”的概率均为，那么该同学在次抽取后，
一次也没获得“稀有卡”的概率为
，
故答案为：．
由题意，利用次独立重复实验中签好发生次的概率计算公式，结合二项式定理，得出结论．
本题主要考查次独立重复实验中签好发生次的概率，二项式定理的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为从正方体的个顶点中任选个，有种不同的选法，
其中这个点恰好是同一条棱的两个端点的情况有种，
所以则这个点恰好是同一条棱的两个端点的概率为．
故答案为：．
先利用组合的方法求出任取个点的所有的取法，这个点恰好是同一条棱的两个端点的有种，利用古典概型的概率计算公式即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：先将乙和丙捆绑在一起，记为新的元素己，
则甲乙丙丁戊名同学排成一列，且甲不站在排头，乙和丙相邻等价于甲、丁、戊、己名同学排成一列，且甲不站在排头，
则不同的排列方法有种，
故答案为：．
先将乙和丙捆绑在一起，记为新的元素己，则甲乙丙丁戊名同学排成一列，且甲不站在排头，乙和丙相邻等价于甲、丁、戊、己名同学排成一列，且甲不站在排头，然后结合排列、组合及简单计数问题求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：正三棱锥满足，故，
所以，
，
所以：，
所以，
所以．
故答案为：．
首先利用正三棱锥中，整理得，进一步得到，最后利用向量的数量积求出结果．
本题考查的知识要点：正三棱锥的性质，向量的数量积，向量的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，假设有个位置来安排个球，其序号分别为、、、，
在个位置中取出个，安排红球，剩余的安排蓝球，有种方法，
其中个红球对应序号之和小于个蓝球对应序号之和的排法有：
红球占、、位置，蓝球占，，位置；
红球占、、位置，蓝球占，，位置，
红球占、、位置，蓝球占，，位置，
红球占、、位置，蓝球占，，位置，
红球占、、位置，蓝球占，，位置，
红球占、、位置，蓝球占，，位置，
红球占、、位置，蓝球占，，位置，
红球占、、位置，蓝球占，，位置，
红球占、、位置，蓝球占，，位置，
共种情况，
故答案为：．
根据题意，假设有个位置来安排个球，其序号分别为、、、，在个位置中取出个，安排红球，剩余的安排蓝球，结合条件逐一列出求解即可．
本题考查排列、组合的应用，注意利分类讨论，可以按照一定的规则，一定要做到不重不漏．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了概率的求解，解题的关键是正确理解题意，属于基础题．
令选手第一次选中的为号门，打开的为号门，另外一个为号门，由题意，确定车在每扇门后面的概率都是，即可分别得到汽车在号门和在号门或号门的概率，再根据汽车不在号门，即可得出结果．
【解答】
解：令选手第一次选中的为号门，打开的为号门，另外一个为号门，
由题意，车在每扇门后面的概率都是，即汽车在号门的概率为，汽车在号门或号门的概率为，
因为汽车不在号门，所以在号门的概率为，即打开号门点到汽车的概率为．
故答案为．

17.【答案】解：一条铁路有个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到车站下车为种车票．
该铁路的客运车票有：．
该铁路上新增了个车站，客运车票增加了种，
可得，
解得．
【解析】判断车票满足排列定义，直接求解即可．
利用排列数公式列出方程求解即可．
本题考查排列组合的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
18.【答案】解：设点，由于，所以，
整理得：
由于，，．
所以，，
故，由于，所以，
故．
【解析】直接利用向量的共线求出点的坐标；
利用向量的夹角公式和向量的模及三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：空间向量的坐标的求法，向量的模，向量的夹角，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
19.【答案】证明：因为，为的中点，所以，
在和中，，，
所以，所以，又为的中点，
所以，又，平面，，
所以平面；
解：连接，由知，平面，平面，
所以，则，
当时最小，即的面积最小，
因为，则，，
由且，所以是等边三角形，
由且，为的中点，
所以，在等腰直角中，则，
故DE，又且，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设面的一个法向量为，则，取，则，
又，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为．
【解析】根据已知关系有得到，结合等腰三角形性质得到垂直关系，结合线面垂直的判定即可证明；
根据已知求证、、两两垂直，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可．
本题考查了线面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可知．
事件“第轮有至少张红色卡牌”，有种情况：“第轮有张红色卡牌”、“第轮有张红色卡牌”、“第轮有张红色卡牌”，
所以．
事件“每轮均有红色卡牌”，有如下情况：
第一轮抽到张红牌，则第二轮红牌有张、张、张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到张红牌，则第二轮红牌有张、张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到张红牌，则第二轮红牌有张，
此时每轮都有红牌的概率为，
综上，．
【解析】根据古典概型的概率公式直接求解即可．
事件“第轮有至少张红色卡牌”，有种情况：“第轮有张红色卡牌”、“第轮有张红色卡牌”、“第轮有张红色卡牌”，分别利用古典概型的概率公式求出概率，再相加即可．
事件“每轮均有红色卡牌”，有如下情况：第一轮抽到张红牌，则第二轮红牌有张、张、张；第一轮抽到张红牌，则第二轮红牌有张、张；第一轮抽到张红牌，则第二轮红牌有张，分别利用古典概型的概率公式求出概率，再相加即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了排列组合知识，属于基础题．
21.【答案】解：由于，，则，
于是，，，，则；
由题知：，，，
则，，，
设为面的法向量，则，取，则，
于是，
故B到平面的距离为：；
设且，由知：，，，
则，，，显然，
当时，，结合可得，此时；
当时，，可得，此时，
综上，存在点或使得为一个等腰三角形．
【解析】根据条件直接写出坐标即可；
求出平面的法向量，利用距离公式求解即可；
讨论哪两条边为腰，分类研究即可．
本题考查利用空间向量解决立体几何综合问题，属于中档题．
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