1.4 解直角三角形 教案
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1.4 解直角三角形 教学设计
课题 1.4 解直角三角形 单元 第1 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形．
核心素养分析 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性．
学习目标 1．理解解直角三角形的意义．2．理解直角三角形中五个元素的关系，会用已知条件解直角三角形．
重点 直角三角形的解法．
难点 会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题）生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．知道直角三角形的边可以求出角，知道角也可以求出相应的边． 直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角． 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？（1）直角三角形的三边关：a2+b2=c2(勾股定理)（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.（3）直角三角形的边和锐角之间关系:sin A= cos A= tan A=【思考问题】在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要至少知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.如果已知2个元素，且至少有一个边是边就可以了.【问题探究】在直角三角形ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 思考自议学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。 复习、巩固利用直角三角形边之间的关系、角之间的关系以及锐角三角函数值等相关的知识，为本节课的学习做好铺垫。
讲授新课 提炼概念 在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.典例精讲【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=b=求这个直角三角形的其他元素.解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a=b= ∴c=2. 在Rt△ABC中，sinB= ∴ ∠ B = 30° ，∠ A = 60° 已知直角三角形两边的长度，可以求出其他元素. 在直角三角形ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？【例2】在 Rt△ABC 中，∠ C 为直角，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为 a， b，c，且 b = 30，∠ B=25° ，求这个三角形的其他元素（边长精确到1）．解：在 Rt△ABC 中，∠ C = 90° ，∠ B = 25°， ∴ ∠ A = 65∵ sin B =，b = 30， ∴ c = = ≈ 71. ∵ tan B = b = 30， ∴ a = = ≈ 64.如果已知直角三角形的一边和一个锐角，可以求出其他元素.说说解直角三角形时，有哪些注意点？ 1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.2.找关系式：选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”.3.遵循规则：遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”. .结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。 讲授知识，让学生熟练利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。
课堂练习 四、巩固训练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，， 则∠A的度数为( )A．90° B．60°C．45° D．30°D2、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离 BC为（ ）A.3sina米 B.3cosa米 C.3/sinα米 D.3/cosα米A3.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出C4.根据下列条件，解直角三角形：在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°， b=12．5.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.6.如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC． 设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．解：∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF，∵tan∠DBF，∴DF，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD，∴AD＝5，则．
课堂小结 解直角三角形1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.2.依据：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；(3)边角之间的关系:sin A＝cos A=(4)面积公式：S△ABC=
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1.4 解直角三角形 教学设计
课题 1.4 解直角三角形 单元 第1 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形．
核心素养分析 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性．
学习目标 1．理解解直角三角形的意义．2．理解直角三角形中五个元素的关系，会用已知条件解直角三角形．
重点 直角三角形的解法．
难点 会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题）生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．知道直角三角形的边可以求出角，知道角也可以求出相应的边． 直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角． 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？（1）直角三角形的三边关：a2+b2=c2(勾股定理)（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.（3）直角三角形的边和锐角之间关系:sin A= cos A= tan A=【思考问题】在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要至少知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.如果已知2个元素，且至少有一个边是边就可以了.【问题探究】在直角三角形ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 思考自议学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。 复习、巩固利用直角三角形边之间的关系、角之间的关系以及锐角三角函数值等相关的知识，为本节课的学习做好铺垫。
讲授新课 提炼概念 在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.典例精讲【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=b=求这个直角三角形的其他元素.解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a=b= ∴c=2. 在Rt△ABC中，sinB= ∴ ∠ B = 30° ，∠ A = 60° 已知直角三角形两边的长度，可以求出其他元素. 在直角三角形ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？【例2】在 Rt△ABC 中，∠ C 为直角，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为 a， b，c，且 b = 30，∠ B=25° ，求这个三角形的其他元素（边长精确到1）．解：在 Rt△ABC 中，∠ C = 90° ，∠ B = 25°， ∴ ∠ A = 65∵ sin B =，b = 30， ∴ c = = ≈ 71. ∵ tan B = b = 30， ∴ a = = ≈ 64.如果已知直角三角形的一边和一个锐角，可以求出其他元素.说说解直角三角形时，有哪些注意点？ 1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.2.找关系式：选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”.3.遵循规则：遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”. .结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。 讲授知识，让学生熟练利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。
课堂练习 四、巩固训练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，， 则∠A的度数为( )A．90° B．60°C．45° D．30°D2、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离 BC为（ ）A.3sina米 B.3cosa米 C.3/sinα米 D.3/cosα米A3.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出C4.根据下列条件，解直角三角形：在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°， b=12．5.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.6.如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC． 设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．解：∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF，∵tan∠DBF，∴DF，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD，∴AD＝5，则．
课堂小结 解直角三角形1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.2.依据：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；(3)边角之间的关系:sin A＝cos A=(4)面积公式：S△ABC=
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