1.4 解直角三角形 学案（含答案）
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1.4 解直角三角形 导学案
课题 1.4 解直角三角形 单元 第1单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形．
核心素养分析 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性．
学习目标 1．理解解直角三角形的意义．2．理解直角三角形中五个元素的关系，会用已知条件解直角三角形．
重点 直角三角形的解法．
难点 会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．
教学过程
课前预学 引入思考在直角三角形中，两锐角的关系是？三边满足的数量关系是？探究一：生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．知道直角三角形的边可以求出角，知道角也可以求出相应的边.在三角形中共有几个元素？直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c， ∠A、 ∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？边边关系：角角关系边角关系：请问至少知道了几个元素，就可以求出其他的元素呢
新知讲解 提炼概念在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。典例精讲 探究二： 在直角三角形ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗 例1 在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a= ，b= ，求这个三角形的其他元素.由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 探究三： 例2 在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°，求这个三角形的其他元素（边长精确到1 ). 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素,这个三角形的所有元素就可以确定下来.归纳 在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c、a)b＝；由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A两直角边(a、b)c＝；由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A已知一边和一角斜边和一锐角(c、∠A)∠B＝90°－∠A；由sin A＝，求a；由cos A＝，求b一直角边和一锐角(a、∠A)∠B＝90°－∠A；由tan A＝，求b；由sin A＝，求c
课堂练习 巩固训练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，， 则∠A的度数为( )A．90° B．60°C．45° D．30°2、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离 BC为（ ）A.3sina米 B.3cosa米 C.3/sinα米 D.3/cosα米3.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出4.根据下列条件，解直角三角形：在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°， b=12．5.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.6.如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC．设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值． 答案引入思考（1）直角三角形的三边关：a2+b2=c2(勾股定理)（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.（3）直角三角形的边和锐角之间关系:sin A= cos A= tan A=（1）已知两边不妨设a、b已知，则由a2+b2=c2得到c.由 得到∠A，又由∠B=90°-∠A得到∠B.（2）已知一边一角不妨设a、∠A已知，先由∠B=90°-∠A得到∠B，由 得到 ，再由 得若两个已知元素中没有边,则无法运用上面的关系求得三边的长.提炼概念典例精讲 例1解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a=b= ∴c=2. 在Rt△ABC中，sinB= ∴ ∠ B = 30° ，∠ A = 60° 例2 解：在 Rt△ABC 中，∠ C = 90° ，∠ B = 25°， ∴ ∠ A = 65∵ sin B =，b = 30， ∴ c = = ≈ 71. ∵ tan B = b = 30， ∴ a = = ≈ 64.巩固训练1.D2.A3.C4.5.6.解：∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF，∵tan∠DBF，∴DF，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD，∴AD＝5，则．
课堂小结 解直角三角形1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.2.依据：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；(3)边角之间的关系:sin A＝cos A=(4)面积公式：S△ABC=
B
C
A
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课题 1.4 解直角三角形 单元 第1单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形．
核心素养分析 正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性．
学习目标 1．理解解直角三角形的意义．2．理解直角三角形中五个元素的关系，会用已知条件解直角三角形．
重点 直角三角形的解法．
难点 会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．
教学过程
课前预学 引入思考在直角三角形中，两锐角的关系是？三边满足的数量关系是？探究一：生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．知道直角三角形的边可以求出角，知道角也可以求出相应的边.在三角形中共有几个元素？直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c， ∠A、 ∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？边边关系：角角关系边角关系：请问至少知道了几个元素，就可以求出其他的元素呢
新知讲解 提炼概念在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。典例精讲 探究二： 在直角三角形ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗 例1 在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a= ，b= ，求这个三角形的其他元素.由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 探究三： 例2 在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°，求这个三角形的其他元素（边长精确到1 ). 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素,这个三角形的所有元素就可以确定下来.归纳 在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c、a)b＝；由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A两直角边(a、b)c＝；由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A已知一边和一角斜边和一锐角(c、∠A)∠B＝90°－∠A；由sin A＝，求a；由cos A＝，求b一直角边和一锐角(a、∠A)∠B＝90°－∠A；由tan A＝，求b；由sin A＝，求c
课堂练习 巩固训练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，， 则∠A的度数为( )A．90° B．60°C．45° D．30°2、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离 BC为（ ）A.3sina米 B.3cosa米 C.3/sinα米 D.3/cosα米3.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出4.根据下列条件，解直角三角形：在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°， b=12．5.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.6.如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC．设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值． 答案引入思考（1）直角三角形的三边关：a2+b2=c2(勾股定理)（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.（3）直角三角形的边和锐角之间关系:sin A= cos A= tan A=（1）已知两边不妨设a、b已知，则由a2+b2=c2得到c.由 得到∠A，又由∠B=90°-∠A得到∠B.（2）已知一边一角不妨设a、∠A已知，先由∠B=90°-∠A得到∠B，由 得到 ，再由 得若两个已知元素中没有边,则无法运用上面的关系求得三边的长.提炼概念典例精讲 例1解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a=b= ∴c=2. 在Rt△ABC中，sinB= ∴ ∠ B = 30° ，∠ A = 60° 例2 解：在 Rt△ABC 中，∠ C = 90° ，∠ B = 25°， ∴ ∠ A = 65∵ sin B =，b = 30， ∴ c = = ≈ 71. ∵ tan B = b = 30， ∴ a = = ≈ 64.巩固训练1.D2.A3.C4.5.6.解：∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF，∵tan∠DBF，∴DF，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD，∴AD＝5，则．
课堂小结 解直角三角形1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.2.依据：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；(3)边角之间的关系:sin A＝cos A=(4)面积公式：S△ABC=
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