苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.2.2向量的数量积 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
9.2.2　向量的数量积
如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ.
功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s的“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么呢？
问题　情景中涉及F与s的夹角.你能结合平面内角的定义及向量的概念给向量夹角下定义吗？两向量夹角的范围是怎样的呢？
1.向量的夹角
∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
同向
反向
垂直
a⊥b
2.向量的数量积及其几何意义
向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作_______，即a·b＝_________.
规定：零向量与任一向量的数量积为____.
|a||b|cos θ
a·b
|a||b|cos θ
0
(2)投影
投影
投影
3.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝__________
(2)a⊥b __________
(3)当a与b同向时，a·b＝ ______；当a与b反向时，a·b＝______ ，特别地，a·a＝___或
(4)|a·b|____|a|·|b|.
在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方
|a|cos θ
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
4.平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误
交换律 ab＝ba a·b＝b·a ________
结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)c＝a(b·c) ________
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c ________
消去律 ab＝bc(b≠0) a＝c a·b＝b·c(b≠0) a＝c ________
正确
错误
正确
错误
题型一　
求向量的夹角
求两向量夹角时，两向量必须共起点，否则平移后再确定
【例1】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
规律方法　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
题型二　
向量数量积的几何意义
a在b方向上的投影为|a|cos θ，b在a方向上的投影为|b|cos θ，解题时要注意区别(θ为a与b的夹角)
【例2】　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影.
解　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；
【变式】　在例题题设不变的情况下，求b在a上的投影.
规律方法　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影等于|a|cos θ
(θ为向量a，b的夹角)，即该投影与b的模无关.
题型三　
求向量的数量积
在进行向量数量积运算时，一定要注意两个向量的夹角，必须是同起点时形成的角
【例3】　已知正三角形ABC的边长为1，求：
规律方法　求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
【例题4】　对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　)
题型四　
向量数量积的运算性质
解析　因为a·b＝|a||b|cos θ，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；
根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；
因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；
答案　D
题型五　求向量的模与夹角
在求解向量夹角时要特别注意
先写出向量夹角的取值范围，
再写出角的大小
解析　设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
答案　A
规律方法　求向量夹角的基本步骤及注意事项
(1)步骤：
(2)注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值.
答案　B
2.已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为(　　)
A.4 B.－4 C.2 D.－2
解析　向量b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案　D
3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　)
答案　B
解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，设a与b的夹角为θ，