苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.2.2《向量的数乘》课时同步（含答案）

《向量的数乘》课时同步详解
问题情境导入
一根细绳东西方向摆放,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为,那么它在同一方向上运动4秒钟的位移对应的向量怎样表示 是吗 蚂蚁向西运动4秒钟的位移对应的向量又怎样表示 是－吗 你能用图形表示吗
思考 类比实数的运算“",你能猜想实例中的结果吗
新课自主学习
自学导引
1.向量的数乘的定义:一般地,实数与向量的积是一个 ，记作 ，它的长度和方向规定如下：
(1) .
(2)若,则当时,与方向 ;当时,与方向 .
实数与向量相乘的运算,叫作向量的数乘.
2.特别地,当时, ;当时, .
3.向量数乘的几何意义.
当时,把向量沿着的 方向放大或缩小;
当时,把向量沿着的 方向放大或缩小.
4.向量的数乘的运算律.
设为向量,为实数,则有：
(1) ;
(2) ;
(3) .
5.向量的线性运算:向量的加法、减法和数乘统称为向量的 .向量线性运算的结果仍是 .
6.向量共线定理.
设为 ,如果有一个实数,使,那么与是 ;反之,如果与是共线向量,那么有且只有一个实数,使 .
答案
1.向量 (1) （2）相同 相反
2.0 0
3.相同 相反
4.(1)
(2)
(3)
5.线性运算 向量
6.非零向量 共线向量
预习测评
1.判断对错,并说明理由.
(1)若向量与共线,则存在唯一的实数使.( )
(2)若,则与共线(其中为实数).( )
(3)若,则(其中为实数).( )
2.下列说法正确的是( )
A.与不能相等
B.
C.
D.
3.若,则向量等于( )
A.
B.
C.
D.
4.等于( )
A.
B.
C.0
D.
5.已知是两个不共线的向量,,若与是共线向量,则实数 .
答案
1.(1)× (2)√ (3)×（点拨:对于(1)，当时,实数不唯一.当时,不存在实数.对于(2),由向量共线定理可知其正确.对于(3),若,则或
2.C(点拨:对于,当时,有.对于,当时,有正确.对于,当时,有.)
3.B（点拨:由题知.）
4.B（点拨:）
5.(点拨:∵不共线,∴向量不为0.
又∵共线,
∴存在实数,使,
即,
即,而不共线,
∴
新知合作探究
探究点 1 向量的数乘的定义
知识详解
1.定义:一般地,实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下：
(1).
(2)若,则当时,与方向相同;当时,与方向相反.
实数与向量相乘的运算,叫作向量的数乘.
2.特别地,当时,;当时,.
特别提示 从两个角度看向量的数乘:
1.代数角度.
是实数,是向量,它们的积仍是向量.另外,的条件是或.
2.几何角度.
对于向量的长度而言,
(1)当时,有,这意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上伸长到的倍.
(2)当时,有,这意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向0)上缩短到的.
典例探究
例1 已知,且,那么下列命题中正确的个数为（ ）
①时,与的方向一定相反；
②时,与的方向一定相同;
③时,与的方向一定相同;
④时, 与的方向一定相反.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 根据实数与向量的积的方向规定,易知①②都是正确的.对于③,由可得同为正或同为负,所以和或者都与同向,或者都与反向,所以与是同向的,故③正确.对于④,由可得,异号,所以和中,一个与同向,另一个与反向，所以与是反向的,故④正确.
答案 D
归纳总结 的正负决定向量的方向,的大小决定向量的模.
变式训练1 设是非零向量,是非零实数,下列结论中正确的是（ ）
A.与的方向相反
B.
C.
D.与的方向相同
答案 D
点拨 对于是非零向量,是非零实数,∴与的方向相反或相同.对于,当,且时,.对于是实数,是向量,它们不可能相等.对于与的方向相同.
探究点2 向量数乘的运算律
知识详解
1.向量数乘的运算律.
(1)设为向量,为实数,则有：
①;
②;
③.
(2)特别地,有.
2.向量的线性运算:向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量以及任意实数,恒有.
典例探究
例2 计算:(1);
(2);
(3).
解析 利用向量数乘的运算律进行计算.注意在去括号时,如果括号前是负号,则括号内各项前面的符号都要变号.
答案 (1)原式.
(2)
.
(3)原式
.
方法归纳 向量的数乘可类似于代数多项式的运算.例如,多项式运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的“系数”.
变式训练2
计算:
(1);
(2).
答案 (1)
.
(2)原式
探究点3 向量共线定理
知识详解
1.向量共线定理.
一般地,对于两个向量,有如下的向量共线定理:
设为非零向量,如果有一个实数,使,那么与是共线向量;反之,如果与是共线向量,那么有且只有一个实数,使.
也就是说,向量与共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使.
2.两个向量共线,则两个向量所在的直线平行或者重合,若有公共点,则两直线重合,这是证明三点共线的重要方法.
3.如果向量与向量共线,则存在一个实数,使得.这是利用向量共线定理求参数的一种方法.
特别提示 若与共线,不一定有.当,时,无解;当时,可取任意实数.所以,定理中才会有条件.
典例探究
例3 已知是非零共线向量,,判断与是否共线
解析 要判断两向量是否共线,只需看是否能找到一个实数,使得即可.
答案 ∵是非零共线向量，
∴存在,使,
∴,
.
当时,,因此与共线.
当时,与共线.
综上可知,与共线.
变式训练3 已知两个非零向量和不共线,如果，,求证：三点共线.
答案 因为
所以向量与向量共线.
又因为与有共同的起点,
所以三点共线.
易错易混解读
例 下列说法中正确的是 .
①与的方向不是相同就是相反(为实数)；
②若共线,则为实数）;
③若,则;
④若,则.
错解 ①②④
错因分析 对于①,时,的方向是任意的.对②,若与共线,不一定有,当时,无解.对于③,只知的模的关系,方向不能确定.④显然是正确的.
正解 ④
纠错心得 在研究向量的时候一定要注意两个方面：大小和方向.零向量的方向是任意的.
课堂快速检测
1.(多选题)已知,则下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.等于（ ）
A.
B.
C.
D.
3.设分别为的三边的中点,则等于（ ）
A.
B.
4.如果实数和非零向量与满足,则向量和 .（填“共线”或“不共线”）
5.已知在中,点满足,若存在实数使得成立,则 .
答案
1.
答案：ABD
解析：当时,不成立.当或时,不成立.又,而是向量,故不成立.)
2.
答案：D
解析：利用向量数乘的运算律,可得.
3.
答案：C
解析：如图,
4.
答案：共线
解析：由题知实数,则可化为，由向量共线定理可知共线.
5.
答案：3
解析：点M是的重心. ∴.
要点概括整合
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