苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.2.2向量的数量积 教学设计

第九章　平面向量
第9.2.2节　　向量的数量积
与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的．如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的．特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的．教学中要特别重视向量的运算．运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算．虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母(式)的运算(还有集合的运算)．现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破．要多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识．
课程目标 学科素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义. 2.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 3.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. a数学抽象: 通过理解平面向量数量积的物理背景，学习向量的夹角及数量积的概念. b数学运算: 利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
1.教学重点：掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.教学难点：理解平面向量数量积的概念及其几何意义.
多媒体调试、讲义分发。
如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ. 功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s的“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么呢？
问题　情景中涉及F与s的夹角.你能结合平面内角的定义及向量的概念给向量夹角下定义吗？两向量夹角的范围是怎样的呢？
1.向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量的数量积及其几何意义
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)投影
如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
3.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ
(2)a⊥b a·b＝0
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.　
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
4.平面向量数量积的运算律
平面向量数量积的运算律与运算性质与实数的运算律及运算性质类似，可类比记忆
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误
交换律 ab＝ba a·b＝b·a 正确
结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)c＝a(b·c) 错误
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c 正确
消去律 ab＝bc(b≠0) a＝c a·b＝b·c(b≠0) a＝c 错误
题型一　求向量的夹角
【例1】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
规律方法　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
题型二　向量数量积的几何意义
【例2】　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影.
解　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；
(2)a在b上的投影为|a|·cos θ＝＝＝－.
【变式】　在例题题设不变的情况下，求b在a上的投影.
解　b在a上的投影为|b|cos θ＝＝＝－2.
题型三　求向量的数量积
【例3】　已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解　(1)∵与的夹角为60°.
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
规律方法　求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
题型四　向量数量积的运算性质
【例4】　对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　)
A.|a·b|＝|a||b| B.|a＋b|＝|a|＋|b|
C.(a·b)c＝a(b·c) D.|a|＝
解析　因为a·b＝|a||b|cos θ，
所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；
根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；
因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；
因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，
所以|a|＝，所以D正确.
答案　D
题型五　求向量的模与夹角
【例5】　(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为.求|a＋b|，|a－b|.
解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－b|＝＝
＝＝5.
(2)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
解析　设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，
∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.
又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.
答案　A
规律方法　求向量夹角的基本步骤及注意事项
1、步骤：
2、求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
1.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　)
A.－2 B.2 C.－2 D.2
解析　·＝||||cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2.
答案　B
2.已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为(　　)
A.4 B.－4 C.2 D.－2
解析　向量b在a方向上的投影为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案　D
3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　)
A.2 B.2 C.6 D.12
解析　∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2
＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12，
∴|a－4b|＝2.
答案　B
4.已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是________.
解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
设a与b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案　
1.通过平面向量数量积的概念及其几何意义提升数学抽象素养.通过计算平面向量的数量积培养数学运算素养.
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
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