苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.2.2向量的数量积 练习（解析版）

9.2.2　向量的数量积
基础达标
一、选择题
1.已知 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
2. (多选题)已知向量a，b和实数λ，下列选项中正确的是(　　)
A.|a|2＝a2 B.|a·b|＝|a||b|
C.λ(a＋b)＝λa＋λb D.|a·b|≤|a||b|
3.已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)
A.－4 B.4 C.－2 D.2
4.已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b的值为(　　)
A.3 B. C.2 D.
5.设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　)
A.150° B.120° C.60° D.30°
6.已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝(　　)
A.16 B.256 C.8 D.64
7.(多选题)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论错误的是(　　)
A.a∥b B.a⊥b
C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b
8.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　)
A.2 B.4 C.6 D.12
二、填空题
9.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________.
10.(多填题)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为________，(a－b)·c＝________.
11.已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.
12.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________.
三、解答题
13.已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝2，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值.
14.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，则＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值.
15.已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
16.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影.
能力提升
1.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
2.已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影为(　　)
A.1 B. C.－1 D.
3. (多填题)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________.
4.如图，已知△ABC是等边三角形.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角.
5.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围.
9.2.2　向量的数量积答案
基础达标
一、选择题
1.已知 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】　如图，与的夹角为∠ABC＝120°.
【答案】　C
2. (多选题)已知向量a，b和实数λ，下列选项中正确的是(　　)
A.|a|2＝a2 B.|a·b|＝|a||b|
C.λ(a＋b)＝λa＋λb D.|a·b|≤|a||b|
【解析】　选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角.
【答案】　ACD
3.已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)
A.－4 B.4 C.－2 D.2
【解析】　根据投影的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影是|a|cos θ＝＝－4，故选A.
【答案】　A
4.已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b的值为(　　)
A.3 B. C.2 D.
【解析】　设a与b的夹角为θ，
∵|a|cos θ＝，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.
【答案】　B
5.设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　)
A.150° B.120° C.60° D.30°
【解析】　由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，
平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2 2a·b＝－|a|2
2|a|·|b|·cos θ＝－|a|2 cos θ＝－ θ＝120°.
【答案】　B
6.已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝(　　)
A.16 B.256 C.8 D.64
【解析】　∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.
【答案】　A
7.(多选题)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论错误的是(　　)
A.a∥b B.a⊥b
C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b
【解析】　由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，∴a⊥b，B正确.
【答案】　ACD
8.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　)
A.2 B.4 C.6 D.12
【解析】　∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72，
∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72，
∴|a|2－2|a|－24＝0，
解得|a|＝6或|a|＝－4.
又|a|≥0，∴|a|＝6.
【答案】　C
二、填空题
9.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________.
【解析】　由题意可画出图形，在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
【答案】　90°
10.(多填题)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为________，(a－b)·c＝________.
【解析】　由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又0°≤θ≤180°，所以向量a与b的夹角θ＝120°.
(a－b)·c＝(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－4＝－3.
【答案】　120°　－3
11.已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.
【解析】　∵a⊥b，∴a·b＝0，
(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，
|a＋2b|＝＝，
|a－2b|＝＝，
∴a2－4b2＝··cos 120°，
化简得a2－2b2＝0，
∴＝.
【答案】　
12.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________.
【解析】　当b＝0时，符合题意；当b≠0时，b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1.
【答案】　[0，1]
三、解答题
13.已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝2，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值.
解　如图，作＝a，＝b，∠AOB＝30°.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，AB交于点D，则＝p＝a＋b，＝q＝a－b，∠ADC＝θ.在△ABO中，由勾股定理得，AB＝1，则BD＝.在△BCD中，由BC＝|a|＝，得CD＝，所以cos ∠BDC＝，所以cos θ＝cos(180°－∠BDC)＝－.
14.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，则＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值.
解　(1)若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
(2)因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以||＝2.
又因为＝3，所以||＝.
所以||＝＝，cos ∠OPB＝.
所以与的夹角θ的余弦值为－.
所以·＝||||cos θ＝－3.
15.已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
解　(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2
＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256.
∴|4a－2b|＝16.
16.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影.
解　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，∴|a＋b|＝.
(2)设a与a＋b的夹角为θ，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，
∴cos θ＝＝，则a在a＋b方向上的投影为|a|cos θ＝4×＝.
能力提升
1.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
【解析】　因为(－)·(＋－2)＝0，
即·(＋)＝0，
又因为－＝，
所以(－)·(＋)＝0，
即||＝||，
所以△ABC是等腰三角形.
【答案】　A
2.已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影为(　　)
A.1 B. C.－1 D.
【解析】　如图，作＝a，＝b，OA⊥OB.延长OB至点C，使OB＝BC，以OA，OC为邻边作矩形OCDA，则＝2b，＝a－2b，∠ACD即为a－2b与a的夹角，cos ∠ACD＝＝.则向量a－2b在a的方向上的投影为|a－2b|cos ∠ACD＝1.
【答案】　A
3. (多填题)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________.
【解析】　·＝||||cos ∠BAC，
即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝，
因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.
此时·＝||||cos 120°＝－8.
【答案】　等边三角形　－8
4.如图，已知△ABC是等边三角形.
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角.
解　(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则＝，
∴∠DBC为向量与的夹角.
∵∠DBC＝120°，
∴向量与的夹角为120°.
(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∴与的夹角为90°.
5.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围.
(1)证明　因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|·cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)解　因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2，
即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).
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