2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图第一高级中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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(
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
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)
2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图第一高级中学高二（上）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围( )
A. B.
C. D.
使不等式成立的的取值不可能是( )
A. B. C. D.
位大学生在暑假期间主动参加，，三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有人参加，至多有人参加，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
若，则( )
A. B. C. D.
已知直线与圆：相切，且直线在轴、轴上的截距相等，则直线的方程不可能是( )
A. B.
C. D.
满足的点的轨迹是( )
A. 圆 B. 双曲线 C. 直线 D. 抛物线
已知两点、，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差直线”则下列直线中，不是“点定差直线”的有( )
A. B.
C. D.
双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且：：，则双曲线的离心率的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列说法正确的有( )
A. 直线过定点
B. 过点作圆的切线，则的方程为
C. 圆上存在两个点到直线的距离为
D. 若圆：与圆：有唯一公切线，则
在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理门学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、化学、生物门科目中选择门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A. 若任意选科，选法总数为
B. 若化学必选，选法总数为
C. 若政治和地理至少选一门，选法总数为
D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的可能取值为( )
A. B. C. D.
关于多项式的展开式，下列结论正确的是( )
A. 各项系数之和为 B. 各项系数的绝对值之和为
C. 存在常数项 D. 的系数为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知双曲线：的焦点为、，点为双曲线上任意一点，且满足，则
______．
把标号为、、、的四个小球分别放入标号为、、、的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则号球和号球都不放入号盒子的方法共有______种．
如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是由，的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以，为焦点的椭圆．
如图，一个半径为的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为______．
，则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
从集合中取一个数字，从集合中取两个数字．
可以组成多少个三位数？
可以组成多少个含有一个重复数字的四位数？
本小题分
经过：，：的交点，且在轴上的截距为的直线方程；
经过的入射光线，经直线：反射后过点，求反射光线所在的直线方程．
本小题分
已知，．
若的二项展开式中只有第项的二项式系数最大，求展开式中的系数；
若，且，求
本小题分
已知椭圆：的离心率为，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．
求椭圆的方程；
设不过点的直线与相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点，且求证直线的斜率是定值，并求出该定值．
本小题分
已知双曲线，过点的直线与该双曲线两支分别交于，两点，设，
若，点为坐标原点，当时，求的值；
设直线与轴交于点，，，证明：为定值．
本小题分
已知抛物线上一点到其焦点的距离为．
Ⅰ求与的值；
Ⅱ过点作斜率存在的直线与抛物线交于，两点异于原点，为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，且，
，，
，，
故选：．
直线的斜率为，且，可得，，即可得出．
本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，得，
即，得，
的取值不可能是．
故选：．
由已知结合组合数公式求解．
本题考查组合及组合数公式，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为位大学生在暑假期间主动参加，，三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有人参加，至多有人参加，
所以名大学生分成组，每组的人数分别为，，，
所以不同的安排方式有种，
故选：．
由于每个社区至少有人参加，至多有人参加，所以名大学生分成组为，，，然后分配到三个社区即可．
本题考查了排列组合的应用问题，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得，
令，则，令得，
所以，
故选：．
由题意可得，然后分别令，，建立方程即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于直线在轴、轴上的截距相等，
设直线为：或，由于直线与圆相切，
故圆心到直线的距离等于半径，解得，，
圆心到直线的距离等于半径，解得，
故直线的方程为：，，，
故选：．
设出直线方程，利用直线与圆的位置关系，列出方程求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线与圆相切的充要条件的应用，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：依题意得，点到和到直线：的距离相等，但在直线上，
所以点的轨迹是直线，
故选：．
根据条件点到和到直线：的距离相等，但在直线上，所以点的轨迹是直线．
本题考查了轨迹方程，双曲线的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为、，
所以，
则，
故是以，为焦点的双曲线的右支，
因为，，所以，
所以双曲线方程为，
从而为双曲线右支与直线的交点，
因为渐近线方程，
：因为，所以直线与双曲线的右支有公共点，符合题意；
：易得与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意；
：，直线与双曲线右支没有公共点，不符合题意；
：，直线与双曲线右支只有一个公共点，符合题意．
故选：．
由已知结合双曲线定义可知是以，为焦点的双曲线的右支，然后结合双曲线性质检验各选项即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了双曲线的定义及性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：可设，，，
由为的内心，可得
，
则，
若，
又为的角平分线，
可得，
则，
又，，
解得，，
，即，
则．
故选：．
可设，，，运用三角形的内角平分线定理和双曲线的定义，以及离心率公式，计算即可得到所求值．
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和内角平分线定理，考查运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，直线即，过定点，A正确；
对于，当过点的直线斜率不存在时，方程为，与圆相切，B错误；
对于，的圆心，半径，
圆心直线的距离，
所以圆上存在两个点到直线的距离为，故C正确；
对于，圆：，即，，半径，
圆：，即，则，半径，
由圆：与圆：有唯一公切线，
两圆内切，则有，解可得，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程的形式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A：若任意选科，选法总数为，故A错误；
选项B：若化学必选，则选法总数为，故B正确；
选项C：若政治和地理至少选一门，则选法总数为，故C错误；
选项D：若物理必选，化学，生物至少选一门，选法总数为，故D正确．
故选：．
根据排列组合的简单计数问题对应各个选项逐个计数即可．
本题考查了排列组合的简单计数问题，涉及到分类以及分步完成的问题，考查了学生的运算分析问题的能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
取椭圆的左焦点，连接，，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，可得，的表达式，由进而可得离心率的表达式，由的范围求出离心率的取值范围．
本题考查椭圆的性质的应用及三角函数的恒等变形，三角函数的最值的求法，属于较难题．
【解答】
解：取椭圆的左焦点，连接，，
因为，由，关于原点对称及椭圆的对称性可得，，
所以四边形为矩形，
所以可得，，
可得，，
可得，
由椭圆的定义可得：，
离心率，
因为，则，
所以，
所以，
所以，
故选：．

12.【答案】
【解析】解：令，则展开式的各项系数和为，故A错误，
多项式的展开式的各项系数和为，则多项式的各项系数的绝对值和为，故B正确，
因为多项式表示个因式的乘积，
所以选个即可得到展开式的常数项为，故C正确，
从个因式中选择个，个或者选个，个，个即可得到含的项的系数，
即，故D错误，
故选：．
令，即可判断选项A，求出多项式的展开式的各项系数和，即可判断选项B，因为多项式表示个因式的乘积，
所以选个即可得到展开式的常数项，即可判断选项C，从个因式中选择个，个或者选个，个，个即可得到含的项的系数，由此即可判断选项D．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到组合数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：双曲线：化为双曲线：，，，，
点为上一点，，
由题意在双曲线的左支上，则，
，
故答案为：．
由题意在双曲线的左支上，则，即可得出结论．
本题考查双曲线的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：号球和号球都不放入号盒子的，
号盒子有号球，号球两种方法，
剩下个盒子各放一个球有种方法，
号球和号球都不放入号盒子的方法共有种．
故答案为：．
先确定号盒子的选择情况，再确定剩下盒子的选择情况，再结合分步乘法计数原理，即可求解．
本题主要考查排列及简单计数问题，掌握分步乘法计数原理是解本题的关键，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：圆切于，切于，，球半径为，
所以，
，，
在中，，
所以，
所以，解得，
根据椭圆在圆锥中的截面与二面球相切的切点为椭圆的焦点知：
球与相切的切点为椭圆的一个焦点，且，
所以，，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：．
利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，，得出离心率．
本题考查空间图形的辨别能力，解题关键是借助平面图形来求解．
16.【答案】
【解析】解：，
则，
故答案为：．
由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意可分两类求解：
组成的三位数没有时，可以组成的三位数个数共有，
组成的三位数有时，可以组成的三位数个数共有，
故可以组成满足题意的四位偶数共有个．
可以组成含有一个数重复字的四位数，
组成的三位数没有时，可以组成的四位数个数共有，
组成的三位数有时，重复时，可以组成的四位数个数，
不重复时，可以组成的四位数个数，
共有个．
【解析】分类讨论，利用两个计数原理，排列组合数公式即可求解；
利用两个计数原理，利用分类讨论，通过讨论重复数字，利用排列组合数公式结合计数原理求解即可．
本题考查利用两个计数原理，排列组合数公式，捆绑法，补集思想，分类讨论思想，属中档题．
18.【答案】解：由解得，所以交点为，
又在轴上的截距为，所以直线过，
所以直线的斜率为，所以直线方程为：，
即，
设关于直线：的对称点为
则解得，所以对称点点为，
由，得直线的斜率为，
所以直线方程为：，
即．
【解析】首先利用二元一次方程组求出交点的坐标，进一步利用点斜式求出直线的方程；
利用中点的坐标公式和直线垂直的充要条件求出对称点的坐标，进一步利用点斜式求出直线的方程．
本题考查的知识要点：直线方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可知，
所以含有的系数为：；
，当时，，
的值相当于中的的值，
．
．
【解析】利用二项式定理的展开式性质，即可解出；
用转化的方式，结合赋值法，转化求解即可．
本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：由且，得，
又因为，所以，解得，，
故椭圆的方程为；
证明：当直线的斜率不存在时，设直线：，
设与相交于，两点，
直线，直线分别与轴相交于两点，，
因为，所以，
即，与已知矛盾，故直线斜率存在，
设直线：，代入整理得：，
设，，则，且，，
因为，所以，即，
所以，
即．
所以，
整理得：，
所以或，
当时，直线：过点，不合题意，故舍去．
所以，即，即直线的斜率是定值．
【解析】依题意得到，再根据，即可求出，，即可求出椭圆方程；
首先说明直线斜率存在，设直线：、，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，即可得到，整理再将韦达定理代入，整理得，即可得证．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定值问题等知识，属于中等题．
21.【答案】解：当时，双曲线，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
与联立得，
由判别式大于零可得，
由，
可得，
所以，
所以．
证明：由题意可知直线的斜率必存在，设直线的方程为，则．
由，得，
所以，，，．
又点在双曲线上，所以，
化简得，
同理．
故，是方程的两根，则，为定值．
【解析】由题知，进而设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理，向量数量积的坐标表示求解即可；
设直线的方程为，进而结合向量的坐标表示得，，，，再结合，在双曲线上得，是方程的两根，进而得．
本题主要考查双曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线与向量的综合问题，圆锥曲线中的定值问题等知识，属于中等题．
22.【答案】解：Ⅰ根据抛物线的定义得：，，
将点代入抛物线方程得：，，
Ⅱ设，，，，
直线的方程为．
代入抛物线方程得：得，
由题得，设过点的直线方程为，
代入抛物线方程得：，
，同理，
又由已知可得直线的方程为：，
整理得：，
将和代入直线方程得：，
代入上式可得：，
即，得，
所以直线过定点．
【解析】Ⅰ根据抛物线的定义得，将点代入抛物线方程得即可，
Ⅱ设，，，，直线的方程为．
代入抛物线方程得：利用韦达定理，设过点的直线方程为，代入抛物线方程得：，结合韦达定理，转化求解直线方程，推出直线过定点．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
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