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专题11 立体几何
命题点分析
近几年的高考中，立体几何是高考数学的重点内容，其考查重点是对空间结构的观察、分析、抽象、推理论证的能力，主要考查的知识点在题型区分度上比较明显，基本上是两小一大。小题主要考查空间几何体的三视图、表面积和体积计算，空间线面位置关系的判断等，答题侧重点考查空间线面位置关系的证明，难度中等，但需要有较强的空间想象能力和推理论证能力。
立体几何试题命制的基本依据是四个基本事实，空间直线、平面位置关系的概念与空间角的概念，以及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的判定定理和性质定理，空间直角坐标系与空间向量。通过立体几何试题的不同呈现形式，要求学生能用定义、判定定理和性质定理证明空间基本图形的位置关系的简单命题，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，会用向量方法解决立体几何中的夹角问题，会将立体几何中的各种夹角问题都转化为两个向量的夹角。
高考数学立体几何试题都是以最常见的空间几何体为命制背景，特点鲜明。解答题主要以三棱锥、三棱柱、四棱锥、四棱柱（包括正方体）为背景，因为这几个典型的空间几何体已经能够表现丰富的几何关系，能在学生熟悉的情境中考查最核心的内容，不人为设置障碍、不考细枝末节问题是立体几何试题的特点。对旋转体内容的考查多以选择题和填空题的形式呈现，主要考查旋转体的结构特征、性质、表面积和体积等基础知识。 在选择题和填空题的命制中，通过三视图、线面平行或垂直关系的判断、面积和体积的计算等内容，以识图、画图、想图、用图等方式考查学生的空间想象能力。在解答题的命制中，通过直线与平面的平行或垂直关系的论证，要求从已有的正确前提到被论证的结论之间建立逻辑推理过程，考查学生的知识储备和演绎推理能力，从而实现对学生理性思维的考查;在直线、平面的有关夹角的计算中，重点考查学生的数学转化能力和运算求解能力，通过建立空间直角坐标系，用向量语言表述几何对象，对几何图形和各几何量进行运算求解，体现出对核心内容和思想方法的重点考查。
立体几何的核心内容是空间线面位置关系的判定定理和性质定理，在备考复习中，首先要把教材上的定理记牢，准确理解，包括定理的文字语言、符号语言和图形语言；其次要以这些定理的使用为复习主线，不管是证明题还是计算题，都离不开这些定理；最后要多总结，总结做题方法，证明方法等，如证明线线平行时可以根据平行线的传递性证明，可以通过中点使用三角形的中位线、平行四边形等，也可以使用线面平行、面面平行的性质定理等，通过这些总结提高立体几何的推理论证能力。
习题精练 夯基础 做真题
选择题
1.(2022·全国甲卷(文、理))在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则
A. B.与平面所成的角为
C. D.与平面所成的角为
答案：D
解析：如图所示，连接，，令，在长方体中，面，面，
所以和分别为与平面和平面所成的角，即，所以在中，，，在中，，，所以，，，故选项A，C错误;
由图易知，在平面上的射影在上，所以为与平面所成的角，在中，，故选项B错误，如图，连接，
则在平面上的射影为，所以为与平面所成的角，在△中，，所以，所以选项D正确，故选：D．
2.(2022·全国甲卷(文、理))甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则
A． B． C． D．
答案：C
解析：如图，
甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，，高分别为，，则，，解得，，由勾股定理可得，．故选：C．
3.(2022·全国乙卷(文、理))在正方体中，，分别为，的中点，则
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
答案：A
解析：借助正方体模型，如图所示：
对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则，又，，，且，平面，平面，则平面，又平面，平面平面，选项A正确；
对于B，由选项可知，平面平面，而平面平面，故平面不可能与平面垂直，选项B错误；
对于C，在平面上，易知与必相交，故平面与平面不平行，选项C错误；
对于D，易知平面平面，而平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，选项D错误．故选：A．
4.(2022·全国乙卷(文、理))已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，该四棱锥的高，
该四棱锥的体积，当且仅当，即时，等号成立，该四棱锥的体积最大时，其高，故选：C．
5.(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为
A. B. C. D.
答案：C
解析：，，根据题意，增加的水量约为
．故选：C．
6.(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是
A.， B.， C.， D.，
答案：C
解析：如图所示:
正四棱锥各顶点都在同一球面上，连接与交于点，连接，则球心在直线上，连接，设正四棱锥的底面边长为，高为，在中，，即，球的体积为，∴球的半径，在中，，即，，
，，又∵3≤l≤3，∴≤h≤，该正四棱锥体积，，当≤h＜4时，，单调递增；当4＜h≤时，，单调递减，(4)，
又，，且，≤V(h)≤，即该正四棱锥体积的取值范围是，，故选：C．
7.(2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知正方体，则
A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为
C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面所成的角为
答案：ABD
解析：如图，
连接，由，，得四边形为平行四边形，可得，，直线与所成的角为，故A正确；
，，，平面，而平面，
，即直线与所成的角为，故B正确；
设，连接，可得平面，即为直线与平面所成的角，，直线与平面所成的角为，故C错误；
底面，为直线与平面所成的角为，故D正确．
故选：ABD．
8.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为，下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图，
设球的半径为，则轴截面中由几何知识可得
或解得，该球的表面积为．故选：A．
9.(2022·新高考Ⅱ卷)(多选)如图，四边形为正方形，平面，，．记三棱锥，，的体积分别为，，，则
A. B. C. D.
答案：CD
解析：设，平面，为四棱锥的高，，为三棱锥的高，平面平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，即三棱锥的高，几何体的体积
，
，，．故C、D正确，A、B错误．故选：CD．
10.(2022·北京卷)已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则表示的区域的面积为
A. B. C. D.
答案：B
解析：设点在面内的投影为点，连接，则，
所以，由，知表示的区域是以为圆心，1为半径的圆，所以其面积．故选：B．
11.(2022·上海卷(春季))上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为
A.0 B.2 C.4 D.12
答案：B
解析：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直(异面垂直)，每天0点至12点(包含0点，不含12点)，相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．
12.(2022·上海卷(秋季))如图正方体中，P、Q、R、S分别为棱、、、的中点，联结，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为
A.点 B.点 C.点 D.点
答案：D
解析：线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、不相交，因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段、相交，对A选项，如图一所示，连接、、，因为P、S分别为、的中点，易证，故、、、四点共面，与相交，错误；
图一 图二 图三
对、选项，如图二，连接、，易证、、、四点共面，故、都与相交，、错误；对选项，连接，由选项分析知、、、四点共面记为平面，平面，平面，且平面，点，与为异面直线，同理由，选项的分析知、、、四点共面记为平面，如图三，平面，平面，且平面，点，与为异面直线，故与，都没有公共点，选项正确．故选：D．
13.(2022·天津卷)如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面形状为顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为
A. 23 B. 24 C. 26 D. 27
答案：D
解析：如图所示：
是等腰三角形，三角形的高，底面BCDE是边长为的正方形，，，.故选：D.
14.(2021·全国乙卷(文、理))在正方体中，P为中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如图所示，连接，
因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.故选：D
15.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.
16.(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
17.(2021·新高考Ⅱ卷)(多选)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是( )
A B C D
答案：BC
解析：设正方体的棱长为，对于A，如图(1)所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A错误.
对于B，如图(2)所示，取的中点为，连接，，则，，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图(3)，连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于D，如图(4)，取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.
二、填空题
18.(2022·上海卷(秋季))已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 ．
答案：
解析：因为圆柱的底面积为，即，所以，所以．故答案为：．
19.(2021·全国甲卷(文))已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
答案：39π
解析：∵，∴，∴
∴
三、解答题
20.(2022·全国甲卷(文))小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8(单位：cm)的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度)．
(1)证明：如图所示：
，
分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，
因为为全等的正三角形，
所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
根据线面垂直的性质定理可知，而，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
(2)解：如图所示：
分别取AD,DC中点K,L，由(1)知，且，
同理有，，，
由平面知识可知，，，，
所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，
所以该几何体的体积．
21.(2022·全国甲卷(理))在四棱锥中，底面，，，，．
(1)证明：；
(2)求与平面所成的角的正弦值．
(1)证明：底面，面，
，
取中点，连接，则，
则，且，
四边形为平行四边形，，
，
为直角三角形，且为斜边，，
又，面，面，
面，又面，；
(2)解：设点到平面的距离为，在中，
，,
由等体积法得：,,
，
设与平面所成角为,则
22.(2022·全国乙卷(文))如图，四面体中，，，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
(1)证明：，，，
，，
又为的中点．，
，为的中点．
，
又，
平面，
又平面，
平面平面；
(2)解：由(1)可知，
，，是等边三角形，边长为2，
，，，，
，，
又，，
平面，
由(1)知，，连接，则，
，
当时，最短，此时的面积最小，
过点作于点，
则，平面，
，
，，
三棱锥的体积．
23.(2022·全国乙卷(理))如图，四面体中，，，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
(1)证明：，，，
，，
又为的中点．，
，为的中点．
，
又，
平面，
又平面，
平面平面；
(2)解：如图所示，连接，由(1)知，，
故最小时，的面积最小，时，的面积最小，
又平面，平面，，又，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
过作于点，则平面，
故，即为直线与平面所成的角，
由，，知是2为边长的等边三角形，
故，由已知可得，，又，，
，所以，
，，
在中，由余弦定理得，
．
故与平面所成的角的正弦值为．
24.(2022·上海卷(春季)改编)如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为、，为圆柱的母线，底面半径长为1．
(1)若，为的中点，求直线与上底面所成角的正切值；
(2)若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．
解：(1)因为为圆柱的母线，所以垂直于上底面，
所以是直线与上底面所成角，
(2)因为圆柱过的截面为正方形，所以，
所以圆柱的体积为，
圆柱的侧面积为．
25.(2021·全国甲卷(文))已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)已知D为棱上的点，证明：.
解：(1)由于，，所以，
又AB⊥BB1，，故平面，
则，为等腰直角三角形，
，.
证明：(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，
正方形中，为中点，则，
又，
故平面，而平面，
从而.
26.(2021·全国乙卷(文))如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求四棱锥的体积．
(1)证明：因底面，平面，
所以，
又，，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
(2)解：由(1)可知．
于是，故．
因为，所以，即．
故四棱锥的体积．
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【备考2023】文科数学近三年试题分类汇编 专题 11 立体几何 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
专题11 立体几何
命题点分析
近几年的高考中，立体几何是高考数学的重点内容，其考查重点是对空间结构的观察、分析、抽象、推理论证的能力，主要考查的知识点在题型区分度上比较明显，基本上是两小一大。小题主要考查空间几何体的三视图、表面积和体积计算，空间线面位置关系的判断等，答题侧重点考查空间线面位置关系的证明，难度中等，但需要有较强的空间想象能力和推理论证能力。
立体几何试题命制的基本依据是四个基本事实，空间直线、平面位置关系的概念与空间角的概念，以及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的判定定理和性质定理，空间直角坐标系与空间向量。通过立体几何试题的不同呈现形式，要求学生能用定义、判定定理和性质定理证明空间基本图形的位置关系的简单命题，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，会用向量方法解决立体几何中的夹角问题，会将立体几何中的各种夹角问题都转化为两个向量的夹角。
高考数学立体几何试题都是以最常见的空间几何体为命制背景，特点鲜明。解答题主要以三棱锥、三棱柱、四棱锥、四棱柱（包括正方体）为背景，因为这几个典型的空间几何体已经能够表现丰富的几何关系，能在学生熟悉的情境中考查最核心的内容，不人为设置障碍、不考细枝末节问题是立体几何试题的特点。对旋转体内容的考查多以选择题和填空题的形式呈现，主要考查旋转体的结构特征、性质、表面积和体积等基础知识。 在选择题和填空题的命制中，通过三视图、线面平行或垂直关系的判断、面积和体积的计算等内容，以识图、画图、想图、用图等方式考查学生的空间想象能力。在解答题的命制中，通过直线与平面的平行或垂直关系的论证，要求从已有的正确前提到被论证的结论之间建立逻辑推理过程，考查学生的知识储备和演绎推理能力，从而实现对学生理性思维的考查;在直线、平面的有关夹角的计算中，重点考查学生的数学转化能力和运算求解能力，通过建立空间直角坐标系，用向量语言表述几何对象，对几何图形和各几何量进行运算求解，体现出对核心内容和思想方法的重点考查。
立体几何的核心内容是空间线面位置关系的判定定理和性质定理，在备考复习中，首先要把教材上的定理记牢，准确理解，包括定理的文字语言、符号语言和图形语言；其次要以这些定理的使用为复习主线，不管是证明题还是计算题，都离不开这些定理；最后要多总结，总结做题方法，证明方法等，如证明线线平行时可以根据平行线的传递性证明，可以通过中点使用三角形的中位线、平行四边形等，也可以使用线面平行、面面平行的性质定理等，通过这些总结提高立体几何的推理论证能力。
习题精练 夯基础 做真题
选择题
1.(2022·全国甲卷(文、理))在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则
A. B.与平面所成的角为
C. D.与平面所成的角为
2.(2022·全国甲卷(文、理))甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则
A． B． C． D．
3.(2022·全国乙卷(文、理))在正方体中，，分别为，的中点，则
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
4.(2022·全国乙卷(文、理))已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为
A. B. C. D.
5.(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为
A. B. C. D.
6.(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是
A.， B.， C.， D.，
7.(2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知正方体，则
A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为
C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面所成的角为
8.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是
A. B. C. D.
答案：A
9.(2022·新高考Ⅱ卷)(多选)如图，四边形为正方形，平面，，．记三棱锥，，的体积分别为，，，则
A. B. C. D.
10.(2022·北京卷)已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则表示的区域的面积为
A. B. C. D.
11.(2022·上海卷(春季))上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为
A.0 B.2 C.4 D.12
12.(2022·上海卷(秋季))如图正方体中，P、Q、R、S分别为棱、、、的中点，联结，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为
A.点 B.点 C.点 D.点
13.(2022·天津卷)如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面形状为顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为
A. 23 B. 24 C. 26 D. 27
14.(2021·全国乙卷(文、理))在正方体中，P为中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
15.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
16.(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A. B. C. D.
17.(2021·新高考Ⅱ卷)(多选)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是( )
A B C D
二、填空题
18.(2022·上海卷(秋季))已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 ．
19.(2021·全国甲卷(文))已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
三、解答题
20.(2022·全国甲卷(文))小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8(单位：cm)的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度)．
21.(2022·全国甲卷(理))在四棱锥中，底面，，，，．
(1)证明：；
(2)求与平面所成的角的正弦值．
22.(2022·全国乙卷(文))如图，四面体中，，，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
23.(2022·全国乙卷(理))如图，四面体中，，，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
24.(2022·上海卷(春季)改编)如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为、，为圆柱的母线，底面半径长为1．
(1)若，为的中点，求直线与上底面所成角的正切值；
(2)若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．
25.(2021·全国甲卷(文))已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)已知D为棱上的点，证明：.
26.(2021·全国乙卷(文))如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
(1)证明：平面平面；
(2)若，求四棱锥的体积．
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【备考2023】文科数学近三年试题分类汇编 专题 11 立体几何 1/1
