数学人教A版（2019）必修第一册5.2.1 三角函数的概念（共35张ppt）

(共35张PPT)
5.2.1 三角函数的概念
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
O
a
b
M
P
c
1.2.1任意角的三角函数
回 顾
y
x
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
﹒
﹒
o
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
﹒
∽
M
O
y
x
P(a,b)
3.锐角三角函数（在单位圆中）
以原点O为圆心，以单位
长度为半径的圆，称为单位圆.
y
o
x
1
M
2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
那么:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ；
（2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ；
（3） 叫做 的正切，记作 ，即 。
所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.
﹒
使比值有意义的角的集合
即为三角函数的定义域.
例1 求 的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作
，易知
的终边与单位圆的交点坐标为
所以
思考：若把角 改为 呢
，
，
﹒
﹒
【例2】如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：
【解析】设α的终边与单位圆交于点P0(x0，y0)，分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则: |P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，|OM0|＝|x0|，|OM|＝|x|，ΔOMP∽ΔOM0P0
α
思考：根据例2，若已知点P（x，y）为角α终边上异于原点的任意一点，那么α的各个三角函数值是否可以确定？
α
故只要知道角α终边上任意一点，那么就可以求得角α的各个三角函数值，显然任意角α的三角函数值仅与α有关，而与点P在角的终边上的位置无关.
练习 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得
＼
定义法
设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，
点 与原点的距离
那么① 叫做 的正弦，即
② 叫做 的余弦，即
③ 叫做 的正切，即
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.
定义推广：
于是，
练习 1、已知角 的终边过点 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
角α的弧度数
sinα
cosα
tanα
问题2 三角函数符号与公式
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
（弧度制）
三角函数 定义域
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
x
o
y
x
o
y
x
o
+
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
R
口诀“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
探
究
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.
①
②
证明：
因为①式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限.
于是角 为第三象限角.
反过来请同学们自己证明.
思考：
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
其中
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为
求 角的三角函数值 .
例4 确定下列三角函数值的符号：
（1） （2） （3） （4）
解：
（1）因为 是第三象限角，所以 ；
（3）因为 = ，
而 是第一象限角，所以 ；
练习 确定下列三角函数值的符号
（2）因为 是第四象限角，所以 .
（4）因为 = ，
而 的终边在X轴上，所以 ；
例5 求下列三角函数值：
（1） （2） （3）
（2）
练习 求下列三角函数值
（3）
sin1480°10′,
（1）sin1480°10′＝sin(40°10′+4x360°)= sin40°10′≈0.645
解：
15页练习题
1. 内容总结：
①三角函数的概念.
②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.
③诱导公式一.
运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
划归的思想，数形结合的思想.
2 .方法总结：
3 .体现的数学思想：
三角函数的符号
三角函数在各象限内的符号：
o
x
y
上正下负横为0
o
x
y
三角函数在各象限内的符号：
左负右正纵为0
o
x
y
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
三角函数线
y
x
x
y
y
y
x
x
M
M
M
M
O
O
O
O
P
P
P
P
α的终边
α的终边
α的终边
α的终边
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
(Ⅳ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.
|MP|=|y|=|sinα|
|OM|=|x|=|cosα|
三角函数线——正弦线和余弦线
【思考】为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致
【定义】有向线段
* 带有方向的线段叫有向线段.
*有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:
有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.
y
x
x
y
y
y
x
x
M
M
M
M
O
O
O
O
P
P
P
P
α的终边
α的终边
α的终边
α的终边
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
(Ⅳ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:
当线段MP与y轴同向 时,MP的方向为正向,且有正值y;
当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.
MP=y=sinα 有向线段MP叫角α的正弦线
y
x
x
y
y
y
x
x
M
M
M
M
O
O
O
O
P
P
P
P
α的终边
α的终边
α的终边
α的终边
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
(Ⅳ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
|MP|=|y|=|sinα|
|OM|=|x|=|cosα|
当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:
当线段OM与x轴同向 时,OM的方向为正向,且有正值x;
当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.
OM=x=cosα 有向线段OM叫角α的余弦线
T
T
T
y
x
x
y
y
y
x
x
M
M
M
M
O
O
O
O
P
P
P
P
α的终边
α的终边
α的终边
α的终边
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
(Ⅳ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
T
过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T.
有向线段AT叫角α的正切线
这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线
y
x
T
M
O
P
α的终边
A(1,0)
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;
当角α的终边与y轴重合时,余
弦线变成一个点,正切线不存
在,此时角α的正切值不存在.
例1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线
（1）
π
3
（2） —
2π
3
六、例题
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Thank You !