2023届高三数学二轮复习-最近三年高考数学函数真题（PDF版含解析）
文档属性
| 名称 | 2023届高三数学二轮复习-最近三年高考数学函数真题（PDF版含解析） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 824.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-08 16:38:48 | ||
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文档简介
2020-2022 函数高考题分类合集
一．反函数(上海)
1．(2022上海春考)设函数 f (x) x3的反函数为 f 1(x)，则 f 1(27) ________．
2．(2021上海春季)下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )
A． f (x) x2 B． f (x) sin x C． f (x) 2x D． f (x) 1
3．(2021 3 1上海)已知 f (x) 2，则 f (1) ________．
x
4．(2020 ) 3 1 1上海 已知函数 f (x) x ， f (x)是 f (x)的反函数，则 f (x) ________, x R．
二．具体函数定义域
1．(2022上海春考)下列函数定义域为 R 的是( )
1 1 1
A． y x 2 B． y x 1 C． y x 3 D． y x 2
f (x) 12．(2022北京)函数 1 x 的定义域是________．
x
3．(2020北京)函数 f (x) 1 ln x的定义域是________．
x 1
三．函数的零点与方程根的关系
cos(2 x 2 a) x a
1．(2021天津)设 a R，函数 f (x) 2 ，若函数 f (x)在区间 (0, )
x 2(a 1)x a
2 5 x a
内恰有 6个零点，则 a的取值范围是( )
A (2 9 5 11 7． ， ] ( ， ] B． ( ， 2] (5 11， ]
4 2 4 4 2 4
C． (2 9， ] [11 7 11，3) D． ( ， 2) [ ，3)4 4 4 4
2．(2021北京)已知函数 f (x) | lg x | kx 2，给出下列四个结论：
(1)若 k 0 ，则 f (x)有 2个零点；
(2)存在负数 k，使得 f (x)恰有 1个零点；
- 1 -
(3)存在负数 k，使得 f (x)恰有 3个零点；
(4)存在正数 k，使得 f (x)恰有 3个零点．
其中所有正确结论的序号是________．
3
3 (2020 ) x , x 0,． 天津 已知函数 f (x) 若函数 g(x) f (x) | kx2 2x | (k R)恰有 4 个零
x, x 0
点，则 k的取值范围是( )
A． ( 1 ， ) (2 2 ， ) B． ( 1 ， ) (0， 2 2)
2 2
C． ( ， 0) (0， 2 2) D． ( ， 0) (2 2 ， )
4．(2020上海)设 a R，若存在定义域为 R 的函数 f (x)同时满足下列两个条件：
(1)对任意的 x0 R， f (x )的值为 x 或 x
2
0 0 0 ；
(2)关于 x的方程 f (x) a无实数解，
则 a的取值范围是________．
四．分段函数
ax 1, x a,
1. (2022北京)设函数 f x 2 若 f (x)存在最小值，则 a的一个取值为
x 2 , x a.
________；a的最大值为________．
x2 2, x 1,
1
2. (2022浙江)已知函数 f x 1 则 f f ________；若当 x [a,b]
x 1, x 1, 2 x
时，1 f (x) 3，则b a的最大值是________．
2
3 (2021 ) x 4, x 2,． 浙江 已知 a R，函数 f (x) 若 f ( f ( 6)) 3，则 a ________．
| x 3 | a, x 2
4．(2020上海)在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除
以时间，车辆密度是该路段一定
q
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 v ， x为道路密度， q为车
x
- 2 -
80
100 135 1 ( ) x ,0 x 40
辆密度，交通流量 v f (x) 3 ．
k(x 40) 85,40 x 80
(1)若交通流量 v 95，求道路密度 x的取值范围；
(2)已知道路密度 x 80时，测得交通流量 v 50，求车辆密度 q的最大值．
五．函数的图象与图象的变换
1. (2022全国乙卷文)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[ 3,3]的大致图像，则该函数
是( )
x3 3A. y 3x B.2 y
x x
x 1 x2 1
2x cos x 2sin x
C. y 2 D. y x 1 x2 1
2. (2022 x x全国甲卷)函数 y 3 3 cos x π在区间 ,
π
的图象大致为( ) 2 2
A. B.
- 3 -
C. D.
3．(2021 ) ln | x |天津 函数 f (x) 2 的图象大致为( )x 2
A． B．
C． D．
4．(2020浙江)函数 y x cos x sin x 在区间 [ ， ]上的图象可能是( )
A． B．
C． D．
5．(2020 4x天津)函数 y 2 的图象大致为( )x 1
A． B．
- 4 -
C． D．
6．(2020北京)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放
未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间 t 的关系为W f (t) ，用
f (b) f (a)
的大小评价在 [a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、
b a
乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在 [t1， t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 [0， t1]， [t1， t2 ]， [t2， t3 ]这三段时间中，在 [0， t1]的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是________．
六．函数单调性的性质与判断
1．(2022 上海春考)已知函数 f (x)的定义域为 R，现有两种对 f (x)变换的操作： 变换：
f (x) f (x t)； 变换： | f (x t) f (x) |，其中 t为大于 0的常数．
(1)设 f (x) 2x， t 1， g(x)为 f (x)做 变换后的结果，解方程： g(x) 2；
(2)设 f (x) x2， h(x)为 f (x)做 变换后的结果，解不等式： f (x) h(x) ；
(3)设 f (x)在 ( ,0)上单调递增，f (x)先做 变换后得到 u(x)，u(x)再做 变换后得到 h1(x)；
f (x)先做 变换后得到 v(x)， v(x)再做 变换后得到 h2 (x)．若 h1(x) h2 (x)恒成立，
证明：函数 f (x)在 R 上单调递增．
- 5 -
2．(2021甲卷文)下列函数中是增函数的为( )
A． f (x) x B． f (x) (2)x C． f (x) x2 D． f (x) 3 x
3
3．(2021上海春季)已知函数 f (x) | x a | a x．
(1)若 a 1，求函数的定义域；
(2)若 a 0，若 f (ax) a有 2个不同实数根，求 a的取值范围；
(3)是否存在实数 a，使得函数 f (x)在定义域内具有单调性？若存在，求出 a的取值范围．
4．(2020上海)命题 p：存在 a R 且 a 0，对于任意的 x R，使得 f (x a) f (x) f (a)；
命题 q1 : f (x)单调递减且 f (x) 0恒成立；
命题 q2 : f (x)单调递增，存在 x0 0使得 f (x0 ) 0，
则下列说法正确的是( )
A．只有 q1是 p的充分条件 B．只有 q2是 p的充分条件
C． q1， q2都是 p的充分条件 D． q1， q2都不是 p的充分条件
5．(2020新课标Ⅱ理)若 2x 2y 3 x 3 y ，则( )
A． ln(y x 1) 0 B． ln(y x 1) 0
C． ln | x y | 0 D． ln | x y | 0
七．复合函数的单调性
1 2．(2020海南)已知函数 f (x) lg(x 4x 5)在 (a, )上单调递增，则a的取值范围
是( )
A． (2, ) B．[2， ) C． (5, ) D．[5， )
八．函数奇偶性的性质与判断
1
1. (2022全国乙卷文)若 f x ln a b是奇函数，则a ________,b ________．
1 x
- 6 -
a2x 1 x 0
2．(2022上海)若函数 f (x) x a x 0，为奇函数，求参数 a的值为________．
0 x 0
3. (2022新高考 II)已知函数 f (x)的定义域为 R，且
22
f (x y) f (x y) f (x) f ( y), f (1) 1，则 f (k) ( )
k 1
A. 3 B. 2 C. 0 D. 1
4．(2021甲卷)设函数 f (x)的定义域为 R， f (x 1)为奇函数， f (x 2)为偶函数，当 x [1，
2]时， f (x) ax2 b．若 f (0) f (3) 6 f (9 ，则 ) ( )
2
A 9． B 3 C 7 5． ． D．
4 2 4 2
5．(2021乙卷)设函数 f (x) 1 x ，则下列函数中为奇函数的是( )
1 x
A． f (x 1) 1 B． f (x 1) 1 C． f (x 1) 1 D． f (x 1) 1
6 1 1．(2021文科甲卷)设 f (x)是定义域为 R 的奇函数，且 f (1 x) f ( x) ．若 f ( ) ，则
3 3
f (5) ( )
3
A 5 B 1 C 1 D 5． ． ． ．
3 3 3 3
7．(2021新高考Ⅰ)已知函数 f (x) x3(a 2x 2 x )是偶函数，则 a ________．
8．(2021新高考Ⅱ)已知函数 f (x)的定义域为 R ( f (x)不恒为 0)，f (x 2)为偶函数，f (2x 1)
为奇函数，则( )
A． f ( 1 ) 0 B． f ( 1) 0 C． f (2) 0 D． f (4) 0
2
2
9．(2020江苏)已知 y f (x)是奇函数，当 x 0时， f (x) x 3 ，则 f ( 8)的值是________．
10．(2021上海)以下哪个函数既是奇函数，又是减函数( )
A． y 3x B． y x3 C． y log3 x D． y 3
x
11．(2022上海春考)已知函数 y f (x)为定义域为 R的奇函数，其图像关于 x 1对称，且
当 x (0，1]时，f (x) lnx，若将方程 f (x) x 1的正实数根从小到大依次记为 x1，x2，x3 ，
， xn，则 lim(xn 1 xn ) ________．n
- 7 -
九．奇偶性与单调性的综合
1．(2021北京)函数 f (x) cos x cos2x是( )
A．奇函数，且最大值为 2 B．偶函数，且最大值为 2
C 9 9．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
8 8
2．(2021北京)设函数 f (x)的定义域为[0，1]，则“ f (x)在区间[0，1]上单调递增”是“ f (x)
在区间 [0，1]上的最大值为 f (1)”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2021 上海春季)已知函数 y f (x) 的定义域为 R，下列是 f (x)无最大值的充分条件是
( )
A． f (x)为偶函数且关于点 (1,1)对称
B． f (x)为偶函数且关于直线 x 1对称
C． f (x)为奇函数且关于点 (1,1)对称
D． f (x)为奇函数且关于直线 x 1对称
4．(2020海南)若定义在 R 的奇函数 f (x)在 ( , 0)单调递减，且 f (2) 0 ，则满足 xf (x 1) 0
的 x的取值范围是( )
A． [ 1，1] [3， ) B． [ 3， 1] [0，1]
C． [ 1， 0] [1， ) D． [ 1， 0] [1，3]
5．(2020新课标Ⅱ理)设函数 f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1|，则 f (x) ( )
A 1．是偶函数，且在 ( ， ) 单调递增
2
B 1 1．是奇函数，且在 ( ， )单调递减
2 2
C 1．是偶函数，且在 ( , )单调递增
2
D 1．是奇函数，且在 ( , )单调递减
2
十．指对数函数的图象与性质
1．(2022上海) f (x) log3 (a x) log3 (6 x)．
- 8 -
(1)若将函数 f (x)图像向下移m(m 0)后，图像经过 (3,0)， (5,0)，求实数 a，m的值．
(2)若 a 3且 a 0，求解不等式 f (x) f (6 x)．
2. (2022 a浙江)已知 2 5,log8 3 b，则 4a 3b ( )
25 5
A. 25 B. 5 C. D.
9 3
3．(2020 a b新课标Ⅰ理)若 2 log2 a 4 2log4 b，则( )
A． a 2b B． a 2b C． a b2 D． a b2
十一、指数函数的实际应用
1．(2020新课标Ⅲ) Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据
公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t)(t 的单位：天 )的 Logistic模型：
I (t) K * ，其中 K为最大确诊病例数．当 I(t ) 0.95K时，标志着已初步遏制疫情，
1 e 0.23(t 53)
则 t * 约为( ) (ln19 3)
A．60 B．63 C．66 D．69
十二、指对大小的比较
1. (2022全国甲卷文)已知9m 10,a 10m 11,b 8m 9，则( )
A. a 0 b B. a b 0
C. b a 0 D. b 0 a
2．(2021 1新高考Ⅱ)已知 a log5 2， b log8 3， c ，则下列判断正确的是( )2
A． c b a B．b a c C． a c b D． a b c
3．(2021天津)若 2a 5b 10 1 1，则 ( )
a b
A． 1 B． lg7 C．1 D． log710
4．(2021天津)设 a log2 0.3， b log 1 0.4， c 0.4
0.3，则三者大小关系为( )
2
A． a b c B． c a b C．b c a D． a c b
- 9 -
5．(2020天津)设 a 30.7 b (1， ) 0.8， c log0.7 0.8，则 a， b， c的大小关系为( )3
A． a b c B．b a c C．b c a D． c a b
6．(2020新课标Ⅲ)已知 55 84，134 85 ．设 a log 5 3 ， b log8 5， c log13 8，则( )
A． a b c B． b a c C． b c a D． c a b
十三、函数值域
1．(2022上海)设函数 f (x)满足 f (x) f ( 1 )，定义域为 D [0， )，值域为 A，若集
x 1
合{y | y f (x)， x [0， a]}可取得 A中所有值，则参数 a的取值范围为________．
2．(2021上海)已知 x1，x2 R，若对任意的 x2 x1 S ， f (x2 ) f (x1) S，则有定义： f (x)
是在 S关联的．
(1)判断和证明 f (x) 2x 1是否在 [0， )关联？是否有 [0，1]关联？
(2)若 f (x)是在{3}关联的， f (x)在 x [0，3)时， f (x) x2 2x，求解不等式：2 f (x) 3．
(3)证明： f (x)是{1}关联的，且是在 [0， )关联的，当且仅当“ f (x)在 [1，2]是关联的”．
十四、函数的实际应用
1. (2022北京)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制
冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T和
lgP的关系，其中 T表示温度，单位是 K；P表示压强，单位是 bar．下列结论中正确的是
( )
- 10 -
A. 当T 220， P 1026时，二氧化碳处于液态
B. 当T 270， P 128时，二氧化碳处于气态
C. 当T 300， P 9987时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当T 360， P 729时，二氧化碳处于超临界状态
2．(2021甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五
分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据V 满足
L 5 lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约
为( ) (1010 1.259)
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
十五、函数求值
1
1. (2022北京)己知函数 f (x) x ，则对任意实数 x，有( )1 2
A. f (- x)+ f (x) = 0 B. f ( x) f (x) 0
C. f ( x) f (x) 1 D. f ( x) f (x) 1
3
2. (2022全国乙卷理)已知函数 f (x), g(x)的定义域均为 R，且
f (x) g(2 x) 5, g(x) f (x 4) 7．若 y g(x)的图像关于直线 x 2对称，
22
g(2) 4，则 f (k ) ( )
k 1
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
- 11 -
2020-2022 函数高考题分类合集解析
一．反函数(上海)
1．【解答】函数 f (x) x3的反函数为 f 1(x)，
整理得 f 1(x) 3 x；
所以 f 1(27) 3．
故答案为：3．
2．【解答】选项 A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数， A错误，
选项 B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数， B 错误，
选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，
选项 D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，
故选：C ．
3 f (x) 3．【解答】因为 2，
x
令 f (x) 1 3，即 2 1，解得 x 3，
x
f 1故 (1) 3 ．
故答案为： 3．
4 3．【解答】由 y f (x) x ，得 x 3 y ，
把 x 3 1与 y 互换，可得 f (x) x 的反函数为 f (x) 3 x．
故答案为： 3 x ．
二．具体函数定义域
- 12 -
1
1．【解答】 y x 2 1 ，定义域为{x | x 0}，
x
y x 1 1 ，定义域为{x | x 0}，
x
1
y x 3 3 x ，定义域为 R，
1
y x 2 x ，定义域为{x | x 0}．
1
定义域为 R 的是 y x 3 ．
故选：C．
1 1 x 0
2.【解答】因为 f x 1 x，所以 ，解得 x 1且 x 0，x x 0
故函数的定义域为 ,0 0,1 ；
故答案为： ,0 0,1
x 1 0
3．【解答】要使函数有意义，则 ，
x 0
x 1
所以 ，所以 x 0 ，
x 0
所以函数的定义域为{x | x 0}，
故答案为：{x | x 0}．
三．函数的零点与方程根的关系
1．【解答】 f (x)在区间 (0, )内恰有 6个零点
又 二次函数最多有两个零点，
当 x a时， f (x) 0至少有四个根，
f (x) cos(2 x 2 a) cos[2 (x a)]，
令 f (x) 0，即 2 (x a) k k Z ，
2
- 13 -
x k 1 a，
2 4
又 x (0, )，
0 k 1 a a 2a 1 1 ，即 k ，
2 4 2 2
①当 x a时， 5 2a 1 7 9 4， f (x)有 4个零点，即 a ，
2 4 4
6 2a 1 5， f (x) 5 9 a 11有 个零点，即 ，
2 4 4
7 2a 1 6 f (x) 6 11 a 13 ， 有 个零点，即 ，
2 4 4
②当 x a时， f (x) x2 2(a 1)x a2 5，
△ b2 4ac 4(a 1)2 4(a2 5) 8a 16 0，解得 a 2，
当 a 2时，△ 0， f (x)无零点，
当 a 2时，△ 0， f (x)有 1个零点，
当 a 2时， f (a) a2 2a(a 1) a2 5 2a 5，
f (x)的对称轴 x a 1，即 f (a)在对称轴的左边，
5
当 2a 5 0时，即 2 a ， f (x)有两个零点，
2
5
当 2a 5 0时，即 a ， f (x)有 1个零点，
2
综合①②可得，若函数 f (x)在区间 (0, )内恰有 6个零点，则需满足：
7 a 9 9 a 11 11 13 4 4 4 4 a
或 或 4 4 ，
2 5 a a 5 或a 2 a 2 2 2
a (2 9解得 ， ] (5 11， ]．
4 2 4
故选： A．
2．【解答】函数 f (x) | lg x | kx 2的零点的个数可转化为函数 y | lg x |与直线 y kx 2的
交点的个数；
作函数 y | lg x |与直线 y kx 2的图象如右图，
若 k 0 ，则函数 y | lg x |与直线 y kx 2的图象在 (0,1)与 (1, )上各有一个交点，如直线
l1，则 f (x)有两个零点，故(1)正确；
- 14 -
当 k 2 时，当 x (0，1]时， f (x) lg x 2x 2，
f (10 2 ) 2 1 1 2 0， f (10 1) 1 2 0，
50 5
故 f (x)在 (10 2 10 1， )上至少有一个零点，
又 f (1) 0 ，结合图象知， f (x)在 (0，1]上有两个零点，
即 y | lg x |与 y 2x 2有两个不同的交点，故当直线绕点 (0, 2)顺时针旋转时，
存在直线 y kx 2与函数 y | lg x |与直线的图象相切，即 f (x)有一个零点，如直线 l2 ，故(2)
正确；
当 k 0 时，函数 y | lg x |与直线 y kx 2的图象至多有两个交点，故(3)不正确；
当 k 0 且 k足够小时，函数 y | lg x |与直线 y kx 2的图象在 (0,1)与 (1, )上分别有 1个、
2个交点，如直线 l3，故(4)正确；
故答案为：(1)(2)(4)．
3．【解答】若函数 g(x) f (x) | kx2 2x | (k R)恰有 4个零点，
则 f (x) | kx2 2x |有四个根，
即 y f (x)与 y h(x) | kx2 2x |有四个交点，
当 k 0时， y f (x)与 y | 2x | 2 | x |图象如下：
- 15 -
两图象只有两个交点，不符合题意，
当 k 0时， y | kx2 2x | 2与 x轴交于两点 x1 0， x2 (x2 x1)k
图象如图所示，
1 1
当 x 时，函数 y | kx2 2x |的函数值为 ，
k k
x 1 1当 时，函数 y x的函数值为 ，
k k
所以两图象有 4个交点，符合题意，
当 k 0时，
y | kx2 2x | 2与 x轴交于两点 x1 0， x2 (x x )k 2 1
在 [0 2， )内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
k
只需 y x3与 y kx2 2x (2在 ， )还有两个交点，即可，
k
即 x3 kx2 2 2x在 ( ， )还有两个根，
k
- 16 -
k x 2 (2即 在 ， )还有两个根，
x k
函数 y x 2 2 2 ，(当且仅当 x 2 ，即 x 2 时，取等号)，
x x
2
所以 0 2，且 k 2 2 ，
k
所以 k 2 2 ，
综上所述， k的取值范围为 ( ， 0) (2 2 ， )．
故选： D．
4．【解答】根据条件(1)可得 f (0) 0或 f (1) 1，
又因为关于 x的方程 f (x) a无实数解，所以 a 0或 1，
故 a ( ， 0) (0，1) (1， )，
故答案为： ( ， 0) (0，1) (1， )．
四．分段函数
1 , x 0
1.【解答】若 a 0时， f (x) ，∴ f (x) 0；
(x 2)
2 , x 0 min
若 a 0时，当 x a时， f (x) ax 1单调递增，当 x 时， f (x) ，故 f (x)没
- 17 -
有最小值，不符合题目要求；
若 a 0时，
当 x a时， f (x) ax 1单调递减， f (x) f (a) a2 1，
0 (0 a 2)
当 x a时， f (x)min {(a 2)2 (a 2)
∴ a2 1 0或 a2 1 （a 2）2，
解得0 a 1，
综上可得0 a 1；
故答案为：0(答案不唯一)，1
2 7
2. 1 1 7【解答】由已知 f ( ) 2 ， f ( )
7 4 37
1 ，
2 2 4 4 4 7 28
1 37
所以 f f ( ) ， 2 28
当 x 1时，由1 f (x) 3可得1 x2 2 3，所以 1 x 1，
1
当 x 1时，由1 f (x) 3可得1 x 1 3，所以1 x 2 3，x
1 f (x) 3等价于 1 x 2 3，所以[a,b] [ 1,2 3]，
所以b a的最大值为3 3 .
37
故答案为： ，
28 3 3
.
2
3 x 4, x 2．【解答】因为函数 f (x) ，
| x 3 | a, x 2
所以 f ( 6) ( 6)2 4 2，
则 f ( f ( 6)) f (2) | 2 3 | a 3，解得 a 2．
故答案为：2．
4．【解答】(1)按实际情况而言，交通流量 v随着道路密度 x的增大而减小，
- 18 -
故 v f (x)是单调递减函数，
所以 k 0，
当 40 x 80时， v最大为 85，
80
于是只需令100 135 (1) x 95 x 80，解得 ，
3 3
80
故道路密度 x的取值范围为 (0, )．
3
(2)把 x 80， v 50代入 v f (x) k (x 40) 85中，
7
得 50 k 40 85，解得 k ．
8
80
100x 135 (
1
) x x,0 x 40
q vx 3 ，
7
(x 40)x 85x, 40 x 80 8
80
①当 0 x 40时， v 100 135 (1 ) x 100，
3
q vx 100 40 4000．
②当 40 x 80 7时， q是关于 x的二次函数， q x2 120x，
8
x 480 q 7 (480)2 120 480 28800对称轴为 ，此时 有最大值，为 4000．
7 8 7 7 7
综上所述，车辆密度 q 28800的最大值为 ．
7
五．函数的图象与图象的变换
1. x
3 x
【解答】设 f x ，则 f 1 0，故排除 B;
x2 1
h x 2x cos x π设 2 ，当 x x 1
0, 时，0 cos x 1，
2
所以 h x 2x cos x 2x 2 2 1，故排除 C;x 1 x 1
g x 2sin x 2sin 3设
x2
，则 g 3 0，故排除 D.
1 10
故选：A.
2. x x【解答】令 f x 3 3 cos x, x ,
，
2 2
- 19 -
则 f x 3 x 3x cos x 3x 3 x cos x f x ，
所以 f x 为奇函数，排除 BD；
x 0, 又当 x 时，3 3 x 0,cos x 0，所以 f x 0，排除 C.
2
故选：A.
3 f (x) ln | x |．【解答】根据题意， 2 ，其定义域为{x | x 0}，x 2
有 f ( x) ln | x | 2 f (x)，是偶函数，排除 AC，x 2
在区间 (0,1)上， ln | x | ln x 0，必有 f (x) 0，排除D，
故选： B．
4．【解答】 y f (x) x cos x sin x，
则 f ( x) xcos x sin x f (x)，
f (x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D，
当 x 时， y f ( ) cos sin 0 ，故排除 B，
故选： A．
5 4x．【解答】函数 y 2 的定义域为实数集 R，关于原点对称，x 1
4x 4x
函数 y f (x) 2 ，则 f ( x) 2 f (x)，则函数 y f (x)为奇函数，故排除C ，x 1 x 1
D，
当 x 0时， y f (x) 0，故排除 B，
故选： A．
6．【解答】设甲企业的污水排放量W 与时间 t的关系为W f (t)，乙企业的污水排放量W 与
时间 t的关系为W g(t)．
f (t ) f (t )
对于①，在 [t1， t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力为
2 1 ，
t2 t1
g(t ) g(t )
乙企业的污水治理能力为 2 1 ．
t2 t1
- 20 -
f (t2 ) f (t1) g(t2 ) g(t )由图可知， f (t1 ) f (t
1
2 ) g (t1 ) g (t2 )， ，t2 t1 t2 t1
即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
对于②，由图可知， f (t)在 t2 时刻的切线的斜率小于 g (t)在 t2 时刻的切线的斜率，但两切
线斜率均为负值，
在 t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；
对于③，在 t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
在 t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；
对于④，由图可知，甲企业在 [0， t1]，[t1， t2 ]，[t2， t3 ]这三段时间中，在 [t1， t2 ]的污水
治理能力最强，
故④错误．
正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
六．函数单调性的性质与判断
1．【解答】(1) f (x) 2x ， t 1， g(x)为 f (x)做 变换后的结果， g(x) 2，
g(x) f (x) f (x 1) 2x 2x 1 2x 1 2，
解得 x 2．
(2) f (x) x2 ， h(x)为 f (x)做 变换后的结果， f (x) h(x) ，
x2 | (x t)2 x2 | | 2tx t 2 |，
t
当 x 时， f (x) h(x)恒成立；
2
t
当 x 时， 2tx t 2 x2 ，
2
解得 x (1 2)t，或 x (1 2)t，
综上，不等式： f (x) h(x)的解集为 ( ， (1 2)t] [(1 2)t， )．
(3)证明： f (x)先做 变换后得到 u(x)，u(x)再做 变换后得到 h1(x)，
u(x) f (x) f (x t) ， h1(x) | f (x t) f (x) [ f (x) f (x t)] |，
- 21 -
f (x)先做 变换后得到 v(x)， v(x)再做 变换后得到 h2 (x)，
v(x) | f (x t) f (x) |， h2 (x) | f (x t) f (x) | | f (x) f (x t) |，
h1(x) h2 (x)， f (x)在 ( ,0)上单调递增，
| f (x t) f (x) [ f (x) f (x t)] | | f (x t) f (x) | | f (x) f (x t) | ，
f (x t) f (t) f (t) f (t 1)
t 0 ， f (x t) f (x) 0 ，
f (x) f (x t)
函数 f (x)在 R 上单调递增．
2．【解答】由一次函数性质可知 f (x) x在 R 上是减函数，不符合题意；
2
由指数函数性质可知 f (x) ( )x在 R 上是减函数，不符合题意；
3
由二次函数的性质可知 f (x) x2在 R 上不单调，不符合题意；
根据幂函数性质可知 f (x) 3 x 在 R 上单调递增，符合题意．
故选： D．
3．【解答】(1)当 a 1时， f (x) | x 1| 1 x ，
由 | x 1| 1 0，得 | x 1| 1，解得 x 2或 x 0．
函数的定义域为 ( ， 2] [0， )；
(2) f (ax) | ax a | a ax ，
f (ax) a | ax a | a ax a ，
设 ax a t 0， t a t有两个不同实数根，整理得 a t t2 ， t 0，
a (t 1)2 1 1 ， t 0，当且仅当 0 a 时，方程有 2个不同实数根，
2 4 4
又 a 0， a的取值范围是 (0, 1)；
4
(3)当 x a时， f (x) | x a | a x x x ( x 1)2 1 1 ，在 [ ， )上单调递减，
2 4 4
- 22 -
a 1此时需要满足 ，即 a 1 ，函数 f (x)在[ a， )上递减；
4 4
当 x a时， f (x) | x a | a x x 2a x，在 ( ， 2a]上递减，
a 1 0， 2a a 1 0，即当 a 时，函数 f (x)在 ( , a)上递减．
4 4
1
综上，当 a ( ， ]时，函数 f (x)在定义域 R 上连续，且单调递减．
4
4．【解答】对于命题 q1：当 f (x)单调递减且 f (x) 0恒成立时，
当 a 0时，此时 x a x，
又因为 f (x)单调递减，
所以 f (x a) f (x)
又因为 f (x) 0恒成立时，
所以 f (x) f (x) f (a)，
所以 f (x a) f (x) f (a)，
所以命题 q1 命题 p，
对于命题 q2：当 f (x)单调递增，存在 x0 0使得 f (x0 ) 0，
当 a x0 0时，此时 x a x， f (a) f (x0 ) 0，
又因为 f (x)单调递增，
所以 f (x a) f (x)，
所以 f (x a) f (x) f (a)，
所以命题 p2 命题 p，
所以 q1， q2都是 p的充分条件，
故选：C．
5．【解答】由 2x 2y 3 x 3 y ，可得 2x 3 x 2y 3 y ，
令 f (x) 2x 3 x，则 f (x)在 R 上单调递增，且 f (x) f (y)，
所以 x y ，即 y x 0，由于 y x 1 1，
故 ln(y x 1) ln1 0．
- 23 -
七．复合函数的单调性
1．【解答】由 x2 4x 5 0，得 x 1或 x 5 ．
令 t x2 4x 5，
外层函数 y lg t是其定义域内的增函数，
要使函数 f (x) lg(x2 4x 5)在 (a, )上单调递增，
则需内层函数 t x2 4x 5在 (a, )上单调递增且恒大于 0，
则 (a， ) (5， )，即 a 5．
a的取值范围是 [5， )．
故选： D．
八．函数奇偶性的性质与判断
1. 【解答】因为函数 f x ln a 1 b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
1 x
a 1 a 1 1由 0可得， 1 x a 1 ax 0，所以 x 1，解得：a ，即函
1 x a 2
数的定义域为 , 1 1,1 1, ，再由 f 0 0可得，b ln 2．即
f x ln 1 1 ln 2 ln 1 x ，在定义域内满足 f x f x ，符合题意．
2 1 x 1 x
1
故答案为： ； ln 2．
2
a2x 1 x 0
2 ．【解答】 函数 f (x) x a x 0，为奇函数， f ( x) f (x)，
0 x 0
f ( 1) f (1)， a2 1 (a 1)，即 a(a 1) 0，求得 a 0或 a 1．
1, x 0
当 a 0时， f (x) 0, x 0 ，不是奇函数，故 a 0；
x, x 0
- 24 -
x 1, x 0
当 a 1时， f (x) 0, x 0 ，是奇函数，故满足条件，
x 1, x 0
综上， a 1，
故答案为：1．
3.【解答】因为 f x y f x y f x f y ，令 x 1, y 0可得，
2 f 1 f 1 f 0 ，所以 f 0 2，令 x 0可得， f y f y 2 f y ，即
f y f y ，所以函数 f x 为偶函数，令 y 1得，
f x 1 f x 1 f x f 1 f x ，即有 f x 2 f x f x 1 ，从而可知
f x 2 f x 1 ， f x 1 f x 4 ，故 f x 2 f x 4 ，即
f x f x 6 ，所以函数 f x 的一个周期为6．
因为 f 2 f 1 f 0 1 2 1， f 3 f 2 f 1 1 1 2，
f 4 f 2 f 2 1， f 5 f 1 f 1 1， f 6 f 0 2，所以
一个周期内的 f 1 f 2 f 6 0．由于 22除以 6余 4，
22
所以 f k f 1 f 2 f 3 f 4 1 1 2 1 3．
k 1
故选：A．
4．【解答】 f (x 1)为奇函数， f (1) 0，且 f (x 1) f ( x 1)，
f (x 2)偶函数， f (x 2) f ( x 2)，
f [(x 1) 1] f [ (x 1) 1] f ( x) ，即 f (x 2) f ( x)，
f ( x 2) f (x 2) f ( x)．
令 t x，则 f (t 2) f (t) ，
f (t 4) f (t 2) f (t)， f (x 4) f (x)．
当 x [1， 2]时， f (x) ax2 b．
f (0) f ( 1 1) f (2) 4a b，
- 25 -
f (3) f (1 2) f ( 1 2) f (1) a b，
又 f (0) f (3) 6， 3a 6，解得 a 2，
f (1) a b 0， b a 2，
当 x [1， 2]时， f (x) 2x2 2，
f (9) 1 3 9 5 f ( ) f ( ) ( 2 2) ．
2 2 2 4 2
故选： D．
5．【解答】因为 f (x) 1 x (x 1) 2 2 1 ，
1 x 1 x x 1
所以函数 f (x)的对称中心为 ( 1, 1)，
所以将函数 f (x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数 y f (x 1) 1，该函数的对称中心为 (0,0)，
故函数 y f (x 1) 1为奇函数．
故选： B．
6．【解答】由题意得 f ( x) f (x)，
又 f (1 x) f ( x) f (x) ，
所以 f (2 x) f (x)，
又 f ( 1 1 ) ，
3 3
则 f (5) f (2 1 ) f ( 1 ) 1 ．
3 3 3 3
故选：C．
7．【解答】函数 f (x) x3(a 2x 2 x )是偶函数，
y x3为 R 上的奇函数，
故 y a 2x 2 x也为 R 上的奇函数，
所以 y | a 20x 0 2
0 a 1 0，
所以 a 1．
8．【解答】 函数 f (x 2)为偶函数，
- 26 -
f (2 x) f (2 x)，
f (2x 1)为奇函数，
f (1 2x) f (2x 1)，
用 x替换上式中 2x 1，得 f (2 x) f (x)，
f (2 x) f (x)， f (4 x) f (2 x) f (x) ，即 f (x) f (x 4)，
故函数 f (x)是以 4为周期的周期函数，
f (2x 1)为奇函数，
f (1 2x) f (2x 1)，即 f (2x 1) f ( 2x 1) 0 ，
用 x替换上式中 2x 1，可得， f (x) f (2 x) 0，
f (x)关于 (1,0)对称，
又 f (1) 0，
f ( 1) f (2 1) f ( 1) 0 ．
故选： B．
9．【解答】 y f (x)是奇函数，可得 f ( x) f (x)，
2 2
当 x 0时， f (x) x 3 ，可得 f (8) 83 4，
则 f ( 8) f (8) 4，
故答案为： 4．
10．【解答】 y 3x在 R 上单调递减且为奇函数， A符合题意；
因为 y x3在 R 上是增函数， B不符合题意；
y log3 x， y 3
x 为非奇非偶函数，C 不符合题意；
故选： A．
11．【解答】 函数 y f (x)为定义域为 R 的奇函数，其图像关于 x 1对称，且当 x (0，1]
时， f (x) lnx，
f (x)是周期为 4的周期函数，图象如图：
- 27 -
将方程 f (x) x 1的正实数根从小到大依次记为 x1， x2， x3 ， ， xn，
则 lim(xn 1 xn )的几何意义是两条渐近线之间的距离 2，n
lim(x x ) 2．
n n 1 n
故答案为：2．
九．奇偶性与单调性的综合
1．【解答】因为 f (x) cos x cos2x cos x (2cos2 x 1) 2cos2 x cos x 1，
因为 f ( x) 2cos2 ( x) cos( x) 1 2cos2 x cos x 1 f (x)，
故函数 f (x)为偶函数，
令 t cos x，则 t [ 1，1]，
故 f (t) 2t2 t 1是开口向下的二次函数，
t 1 1 f (t) 1 1 1 9所以当 时， 取得最大值 f ( ) 2 ( )2 1 ，
2 ( 2) 4 4 4 4 8
9
故函数的最大值为 ．
8
综上所述，函数 f (x) 9是偶函数，有最大值 ．
8
故选： D．
2．【解答】若函数 f (x)在 [0，1]上单调递增，
则函数 f (x)在 [0，1]上的最大值为 f (1)，
若 f (x) (x 1 )2 ，则函数 f (x)在[0，1]上的最大值为 f (1)，
3
但函数 f (x)在 [0，1]上不单调，
- 28 -
故选： A．
3．【解答】根据题意，依次判断选项：
对于 A， f (x) cos x 1， f (x)为偶函数，且关于点 (1,1)对称，存在最大值， A错误，
2
对于 B， f (x) cos( x) ， f (x)为偶函数且关于直线 x 1对称，存在最大值， B错误，
对于C，假设 f (x)有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为 (a,M )，
f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，则 f (x)的图象存在最低点 ( a, M )，
又由 f (x)的图象关于点 (1,1)对称，则 ( a, M )关于点 (1,1)对称的点为 (2 a, 2 M )，
与最大值为M 相矛盾，则此时 f (x)无最大值，C 正确，
对于 D， f (x) sin x ， f (x)为奇函数且关于直线 x 1对称， D错误，
2
故选：C．
4．【解答】 定义在 R 的奇函数 f (x)在 ( , 0)单调递减，且 f (2) 0 ， f (x)的大致图象如
图：
f (x)在 (0, )上单调递减，且 f ( 2) 0；
故 f ( 1) 0；
当 x 0 时，不等式 xf (x 1) 0成立，
当 x 1时，不等式 xf (x 1) 0成立，
当 x 1 2或 x 1 2 时，即 x 3或 x 1时，不等式 xf (x 1) 0成立，
当 x 0 时，不等式 xf (x 1) 0等价为 f (x 1) 0，
x 0
此时 ，此时1 x 3，
0 x 1 2
当 x 0 时，不等式 xf (x 1) 0等价为 f (x 1) 0，
- 29 -
x 0
即 ，得 1 x 0，
2 x 1 0
综上 1 x 0或1 x 3，
即实数 x的取值范围是 [ 1， 0] [1，3]，
故选： D．
2x 1 0
5 1．【解答】由 ，得 x ．
2x 1 0 2
又 f ( x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| (ln | 2x 1| ln | 2x 1|) f (x)，
f (x)为奇函数；
f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ln | 2x 1| ln | 2x 1由 |，
| 2x 1| 2x 1
2x 1 2x 1 2 1 2 2 1 1 1 ．
2x 1 2x 1 2x 1 2(x 1) x 1
2 2
t | 2x 1可得内层函数 |的图象如图，
2x 1
1 1 1
在 ( , )上单调递减，在 ( ， )上单调递增，
2 2 2
1
则 ( ， ) 上单调递减．
2
又对数式 y ln t是定义域内的增函数，
f (x) ( , 1由复合函数的单调性可得， 在 )上单调递减．
2
故选： D．
- 30 -
十．指对数函数的图象与性质
1．【解答】(1)因为函数 f (x) log3 (a x) log3 (6 x)，
将函数 f (x)图像向下移m(m 0)后，得 y f (x) m log3 (a x) log3 (6 x) m的图像，
由函数图像经过点 (3,0)和 (5,0)，
log3(3 a) 1 m 0
所以 ，
log3(5 a) 0 m 0
解得 a 2，m 1．
(2) a 3且 a 0时，不等式 f (x) f (6 x)可化为
log3 (a x) log3 (6 x) log3 (a 6 x) log3 x，
a x 0
6 x 0
等价于 a 6 x 0 ，
x 0
(a x)(6 x) x(a 6 x)
x a
x 6
解得 x a 6 ，
x 0
a(x 3) 0
当 3 a 0时， 0 a 3， 3 a 6 6，解不等式得 a x 3，
当 a 0时， a 0， a 6 6，解不等式得 3 x 6；
综上知， 3 a 0时，不等式 f (x) f (6 x)的解集是 ( a， 3]，
a 0时，不等式 f (x) f (6 x)的解集是 [3， 6)．
2.【解答】因为2a 5，b log 3
1
log 3，即 23b8 2 3，所以3
a
a 3b 4 2a
2
524 25
43b
3b 2 32
．
2 9
- 31 -
故选：C.
3 a b．【解答】因为 2 log2 a 4 2log4 b 2
2b log2 b；
22b log b 22b 2b因为 2 log2 2b 2 log2 b 1，
2a log a 22b所以 2 log2 2b，
令 f (x) 2x log2 x，由指对数函数的单调性可得 f (x)在 (0, )内单调递增；
且 f (a) f (2b) a 2b；
故选： B ．
十一、指数函数的实际应用
K
1 * 1．【解答】由已知可得 * 0.95K，解得 0.23(t 53) ，
1 e 0.23(t 53)
e
19
0.23(t*两边取对数有 53) ln19，
解得 t* 66，
故选：C ．
十二、指对大小的比较
lg10
1.【解答】由9m 10可得m log910 1，而lg9
2 2 lg10 lg11
lg9lg11 lg9 lg11 lg99 1 lg10
2
，所以 ，即m lg11，所
2 2 lg9 lg10
以 a 10m 11 10lg11 11 0．
lg8 lg10 2 lg80 2 2 lg9 lg10
又 lg8lg10 lg9 ，所以 ，即 log2 2 lg8 lg9 8
9 m，
所以b 8m 9 8log8 9 9 0．综上， a 0 b．
- 32 -
故选：A.
1 1 12 log 2 log 5 2 log 3 log 8 2 1．【解答】 5 5 ， 8 8 ，2 2
a c b．
故选：C．
3．【解答】 2a 5b 10， a log210，b log510，
1 1 1 1
log10 2 log10 5 lg10 1，a b log210 log510
故选：C．
4．【解答】 log2 0.3 log21 0， a 0，
log1 0.4 log1 0.5 1， b 1，
2 2
0 0.40.3 0.40 1， 0 c 1，
a c b，
故选： D．
5．【解答】 a 30.7 ， b (1 ) 0.8 30.8，
3
则 b a 1，
log0.7 0.8 log0.7 0.7 1，
c a b，
故选： D．
6 3 3．【解答】由 log5 5 log 8，4 4 8
3 3
log5 54 log 3，而 log 845 8 log8 5
log5 3 log8 5，
即 a b ；
55 84 ， 5 4 log5 8， log 5 8 1.25， b log8 5 0.8；
134 85 ， 4 5 log13 8， c log13 8 0.8， c b ，
- 33 -
综上， c b a．
故选： A．
十三、函数值域
1 1．【解答】令 x 得，
x 1
x 5 1 5 1 或 x (舍去)；
2 2
当 x 5 1 时，
2
1 1 5 1
，
x 1 5 1 2
1
2
x 5 1故对任意 ，
2
x [0 5 1都存在 0 ， ]
1
， x ，
2 x 1 0
故 f (x) f (x0 )，
0 x 5 1而当 时，
2
1 1 5 1
，
x 1 5 1 2
1
2
故 A {y | y f (x) x [0 5 1， ， ]}，
2
故当 A {y | y f (x)， x [0， a]}时，
[0 5 1， ] [0， a]，
2
a 5 1故参数 的最小值为 ，
2
a [ 5 1故参数 的取值范围为 ， )，
2
5 1
故答案为： [ ， )．
2
2．【解答】(1) f (x)在 [0， )关联，在 [0，1]不关联，
任取 x1 x2 [0， )，则 f (x1) f (x2 ) 2(x1 x2 ) [0， )， f (x)在 [0， )关联；
- 34 -
取 x1 1， x2 0，则 x1 x2 1 [0，1]，
f (x1) f (x2 ) 2(x1 x2 ) 2 [0，1]， f (x)在 [0，1]不关联；
(2) f (x)在{3}关联， 对于任意 x1 x2 3，都有 f (x1) f (x2 ) 3，
对任意 x，都有 f (x 3) f (x) 3，
由 x [0， 3)时， f (x) x2 2x，得 f (x)在 x [0， 3)的值域为 [ 1， 3)，
f (x)在 x [3， 6)的值域为 [2， 6)，
2 f (x) 3仅在 x [0， 3)或 x [3， 6)上有解，
x [0， 3)时， f (x) x2 2x，令 2 x2 2x 3，解得 3 1 x 3，
x [3， 6)时， f (x) f (x 3) 3 x2 8x 18，令 2 x2 8x 18 3，解得 3 x 5，
不等式 2 f (x) 3的解为 [ 3 1， 5]，
(3)证明：①先证明： f (x)是在{1}关联的，且是在 [0， )关联的 f (x)在 [1， 2]是关联
的，
由已知条件可得， f (x 1) f (x) 1，
f (x n) f (x) n， n Z ，
又 f (x)是在 [0， )关联的，
任意 x2 x1， f (x2 ) f (x1)成立，
若1 x2 x1 2，
x1 1 x2 x1 2，
f (x1 1) f (x2 ) f (x1 2)，即 f (x1) 1 f (x2 ) f (x1) 2，
1 f (x2 ) f (x1) 2，
f (x)是[1， 2]关联，
②再证明： f (x)在 [1， 2]是关联的 f (x)是在{1}关联的，且是在[0， )关联的，
f (x)在[1， 2]是关联的， 任取 x1 x2 [1， 2]，都有 f (x1) f (x2 ) [1， 2]成立，
即满足1 x1 x2 2，都有1 f (x1) f (x2 ) 2，
下面用反证法证明 f (x 1) f (x) 1，
- 35 -
若 f (x 1) f (x) 1，则 f (x 2) f (x) f (x 2) f (x 1) f (x 1) f (x) 2 ，与 f (x)在 [1，
2]是关联的矛盾，
若 f (x 1) f (x) 1，而 f (x)在 [1， 2]是关联的，则 f (x 1) f (x) 1，矛盾，
f (x 1) f (x) 1成立，即 f (x)是在{1}关联的，
再证明 f (x)是在 [0， )关联的，
任取 x1 x2 [n， )(n N )，则存在 n N ，使得任取 x1 x2 [n， n 1](n N )，
1 x1 (n 1) x2 2，
f [x1 (n 1)] f (x2 ) f (x1) (n 1) f (x2 ) [1， 2]，
f (x1) f (x2 ) [n， n 1] [0， )，
f (x)是在 [0， )关联的；
综上所述， f (x)是{1}关联的，且是在[0， )关联的，当且仅当“ f (x)在 [1，2]是关联的”，
故得证．
十四、函数的实际应用
1.【解答】当T 220，P 1026时， lg P 3，此时二氧化碳处于固态，故 A错误.
当T 270， P 128时， 2 lg P 3，此时二氧化碳处于液态，故 B错误.
当T 300， P 9987时， lgP与 4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，T 300时对应的是非超临界状态，故 C错误.
当T 360， P 729时，因 2 lg P 3 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故 D正确.
故选：D
2．【解答】在 L 5 lgV 中， L 4.9，所以 4.9 5 lgV ，即 lgV 0.1，
解得V 10 0.1 1 1 1
100.1
0.8 ，
1010 1.259
所以其视力的小数记录法的数据约为 0.8．
故选：C．
- 36 -
十五、函数求值
x
1. 【解答】 f x f x 1 1 2 1 1，故 A错误，C正确；
1 2 x 1 2x 1 2x 1 2x
x x
f x f x 1 1 2 1 2 1 2 1 ，不是常数，故 BD
1 2 x 1 2x 1 2x 1 2x 2x 1 2x 1
错误；
故选：C．
2.【解答】因为 y g(x)的图像关于直线 x 2对称，
所以 g 2 x g x 2 ，
因为 g(x) f (x 4) 7，所以 g(x 2) f (x 2) 7，即 g(x 2) 7 f (x 2)，
因为 f (x) g(2 x) 5，所以 f (x) g(x 2) 5，
代入得 f (x) 7 f (x 2) 5，即 f (x) f (x 2) 2，
所以 f 3 f 5 f 21 2 5 10，
f 4 f 6 f 22 2 5 10 .
因为 f (x) g(2 x) 5，所以 f (0) g(2) 5，即 f 0 1，所以
f (2) 2 f 0 3 .
因为 g(x) f (x 4) 7，所以 g(x 4) f (x) 7，又因为 f (x) g(2 x) 5，
联立得， g 2 x g x 4 12，
所以 y g(x)的图像关于点 3,6 中心对称，因为函数 g(x)的定义域为 R，
所以 g 3 6
因为 f (x) g(x 2) 5，所以 f 1 5 g 3 1 .
所以
- 37 -
22
f (k) f 1 f 2 f 3 f 5 f 21 f 4 f 6 f 22 1 3 10 10 24
k 1
故选：D
- 38 -
一．反函数(上海)
1．(2022上海春考)设函数 f (x) x3的反函数为 f 1(x)，则 f 1(27) ________．
2．(2021上海春季)下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )
A． f (x) x2 B． f (x) sin x C． f (x) 2x D． f (x) 1
3．(2021 3 1上海)已知 f (x) 2，则 f (1) ________．
x
4．(2020 ) 3 1 1上海 已知函数 f (x) x ， f (x)是 f (x)的反函数，则 f (x) ________, x R．
二．具体函数定义域
1．(2022上海春考)下列函数定义域为 R 的是( )
1 1 1
A． y x 2 B． y x 1 C． y x 3 D． y x 2
f (x) 12．(2022北京)函数 1 x 的定义域是________．
x
3．(2020北京)函数 f (x) 1 ln x的定义域是________．
x 1
三．函数的零点与方程根的关系
cos(2 x 2 a) x a
1．(2021天津)设 a R，函数 f (x) 2 ，若函数 f (x)在区间 (0, )
x 2(a 1)x a
2 5 x a
内恰有 6个零点，则 a的取值范围是( )
A (2 9 5 11 7． ， ] ( ， ] B． ( ， 2] (5 11， ]
4 2 4 4 2 4
C． (2 9， ] [11 7 11，3) D． ( ， 2) [ ，3)4 4 4 4
2．(2021北京)已知函数 f (x) | lg x | kx 2，给出下列四个结论：
(1)若 k 0 ，则 f (x)有 2个零点；
(2)存在负数 k，使得 f (x)恰有 1个零点；
- 1 -
(3)存在负数 k，使得 f (x)恰有 3个零点；
(4)存在正数 k，使得 f (x)恰有 3个零点．
其中所有正确结论的序号是________．
3
3 (2020 ) x , x 0,． 天津 已知函数 f (x) 若函数 g(x) f (x) | kx2 2x | (k R)恰有 4 个零
x, x 0
点，则 k的取值范围是( )
A． ( 1 ， ) (2 2 ， ) B． ( 1 ， ) (0， 2 2)
2 2
C． ( ， 0) (0， 2 2) D． ( ， 0) (2 2 ， )
4．(2020上海)设 a R，若存在定义域为 R 的函数 f (x)同时满足下列两个条件：
(1)对任意的 x0 R， f (x )的值为 x 或 x
2
0 0 0 ；
(2)关于 x的方程 f (x) a无实数解，
则 a的取值范围是________．
四．分段函数
ax 1, x a,
1. (2022北京)设函数 f x 2 若 f (x)存在最小值，则 a的一个取值为
x 2 , x a.
________；a的最大值为________．
x2 2, x 1,
1
2. (2022浙江)已知函数 f x 1 则 f f ________；若当 x [a,b]
x 1, x 1, 2 x
时，1 f (x) 3，则b a的最大值是________．
2
3 (2021 ) x 4, x 2,． 浙江 已知 a R，函数 f (x) 若 f ( f ( 6)) 3，则 a ________．
| x 3 | a, x 2
4．(2020上海)在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除
以时间，车辆密度是该路段一定
q
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 v ， x为道路密度， q为车
x
- 2 -
80
100 135 1 ( ) x ,0 x 40
辆密度，交通流量 v f (x) 3 ．
k(x 40) 85,40 x 80
(1)若交通流量 v 95，求道路密度 x的取值范围；
(2)已知道路密度 x 80时，测得交通流量 v 50，求车辆密度 q的最大值．
五．函数的图象与图象的变换
1. (2022全国乙卷文)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[ 3,3]的大致图像，则该函数
是( )
x3 3A. y 3x B.2 y
x x
x 1 x2 1
2x cos x 2sin x
C. y 2 D. y x 1 x2 1
2. (2022 x x全国甲卷)函数 y 3 3 cos x π在区间 ,
π
的图象大致为( ) 2 2
A. B.
- 3 -
C. D.
3．(2021 ) ln | x |天津 函数 f (x) 2 的图象大致为( )x 2
A． B．
C． D．
4．(2020浙江)函数 y x cos x sin x 在区间 [ ， ]上的图象可能是( )
A． B．
C． D．
5．(2020 4x天津)函数 y 2 的图象大致为( )x 1
A． B．
- 4 -
C． D．
6．(2020北京)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放
未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间 t 的关系为W f (t) ，用
f (b) f (a)
的大小评价在 [a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、
b a
乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在 [t1， t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 [0， t1]， [t1， t2 ]， [t2， t3 ]这三段时间中，在 [0， t1]的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是________．
六．函数单调性的性质与判断
1．(2022 上海春考)已知函数 f (x)的定义域为 R，现有两种对 f (x)变换的操作： 变换：
f (x) f (x t)； 变换： | f (x t) f (x) |，其中 t为大于 0的常数．
(1)设 f (x) 2x， t 1， g(x)为 f (x)做 变换后的结果，解方程： g(x) 2；
(2)设 f (x) x2， h(x)为 f (x)做 变换后的结果，解不等式： f (x) h(x) ；
(3)设 f (x)在 ( ,0)上单调递增，f (x)先做 变换后得到 u(x)，u(x)再做 变换后得到 h1(x)；
f (x)先做 变换后得到 v(x)， v(x)再做 变换后得到 h2 (x)．若 h1(x) h2 (x)恒成立，
证明：函数 f (x)在 R 上单调递增．
- 5 -
2．(2021甲卷文)下列函数中是增函数的为( )
A． f (x) x B． f (x) (2)x C． f (x) x2 D． f (x) 3 x
3
3．(2021上海春季)已知函数 f (x) | x a | a x．
(1)若 a 1，求函数的定义域；
(2)若 a 0，若 f (ax) a有 2个不同实数根，求 a的取值范围；
(3)是否存在实数 a，使得函数 f (x)在定义域内具有单调性？若存在，求出 a的取值范围．
4．(2020上海)命题 p：存在 a R 且 a 0，对于任意的 x R，使得 f (x a) f (x) f (a)；
命题 q1 : f (x)单调递减且 f (x) 0恒成立；
命题 q2 : f (x)单调递增，存在 x0 0使得 f (x0 ) 0，
则下列说法正确的是( )
A．只有 q1是 p的充分条件 B．只有 q2是 p的充分条件
C． q1， q2都是 p的充分条件 D． q1， q2都不是 p的充分条件
5．(2020新课标Ⅱ理)若 2x 2y 3 x 3 y ，则( )
A． ln(y x 1) 0 B． ln(y x 1) 0
C． ln | x y | 0 D． ln | x y | 0
七．复合函数的单调性
1 2．(2020海南)已知函数 f (x) lg(x 4x 5)在 (a, )上单调递增，则a的取值范围
是( )
A． (2, ) B．[2， ) C． (5, ) D．[5， )
八．函数奇偶性的性质与判断
1
1. (2022全国乙卷文)若 f x ln a b是奇函数，则a ________,b ________．
1 x
- 6 -
a2x 1 x 0
2．(2022上海)若函数 f (x) x a x 0，为奇函数，求参数 a的值为________．
0 x 0
3. (2022新高考 II)已知函数 f (x)的定义域为 R，且
22
f (x y) f (x y) f (x) f ( y), f (1) 1，则 f (k) ( )
k 1
A. 3 B. 2 C. 0 D. 1
4．(2021甲卷)设函数 f (x)的定义域为 R， f (x 1)为奇函数， f (x 2)为偶函数，当 x [1，
2]时， f (x) ax2 b．若 f (0) f (3) 6 f (9 ，则 ) ( )
2
A 9． B 3 C 7 5． ． D．
4 2 4 2
5．(2021乙卷)设函数 f (x) 1 x ，则下列函数中为奇函数的是( )
1 x
A． f (x 1) 1 B． f (x 1) 1 C． f (x 1) 1 D． f (x 1) 1
6 1 1．(2021文科甲卷)设 f (x)是定义域为 R 的奇函数，且 f (1 x) f ( x) ．若 f ( ) ，则
3 3
f (5) ( )
3
A 5 B 1 C 1 D 5． ． ． ．
3 3 3 3
7．(2021新高考Ⅰ)已知函数 f (x) x3(a 2x 2 x )是偶函数，则 a ________．
8．(2021新高考Ⅱ)已知函数 f (x)的定义域为 R ( f (x)不恒为 0)，f (x 2)为偶函数，f (2x 1)
为奇函数，则( )
A． f ( 1 ) 0 B． f ( 1) 0 C． f (2) 0 D． f (4) 0
2
2
9．(2020江苏)已知 y f (x)是奇函数，当 x 0时， f (x) x 3 ，则 f ( 8)的值是________．
10．(2021上海)以下哪个函数既是奇函数，又是减函数( )
A． y 3x B． y x3 C． y log3 x D． y 3
x
11．(2022上海春考)已知函数 y f (x)为定义域为 R的奇函数，其图像关于 x 1对称，且
当 x (0，1]时，f (x) lnx，若将方程 f (x) x 1的正实数根从小到大依次记为 x1，x2，x3 ，
， xn，则 lim(xn 1 xn ) ________．n
- 7 -
九．奇偶性与单调性的综合
1．(2021北京)函数 f (x) cos x cos2x是( )
A．奇函数，且最大值为 2 B．偶函数，且最大值为 2
C 9 9．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
8 8
2．(2021北京)设函数 f (x)的定义域为[0，1]，则“ f (x)在区间[0，1]上单调递增”是“ f (x)
在区间 [0，1]上的最大值为 f (1)”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2021 上海春季)已知函数 y f (x) 的定义域为 R，下列是 f (x)无最大值的充分条件是
( )
A． f (x)为偶函数且关于点 (1,1)对称
B． f (x)为偶函数且关于直线 x 1对称
C． f (x)为奇函数且关于点 (1,1)对称
D． f (x)为奇函数且关于直线 x 1对称
4．(2020海南)若定义在 R 的奇函数 f (x)在 ( , 0)单调递减，且 f (2) 0 ，则满足 xf (x 1) 0
的 x的取值范围是( )
A． [ 1，1] [3， ) B． [ 3， 1] [0，1]
C． [ 1， 0] [1， ) D． [ 1， 0] [1，3]
5．(2020新课标Ⅱ理)设函数 f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1|，则 f (x) ( )
A 1．是偶函数，且在 ( ， ) 单调递增
2
B 1 1．是奇函数，且在 ( ， )单调递减
2 2
C 1．是偶函数，且在 ( , )单调递增
2
D 1．是奇函数，且在 ( , )单调递减
2
十．指对数函数的图象与性质
1．(2022上海) f (x) log3 (a x) log3 (6 x)．
- 8 -
(1)若将函数 f (x)图像向下移m(m 0)后，图像经过 (3,0)， (5,0)，求实数 a，m的值．
(2)若 a 3且 a 0，求解不等式 f (x) f (6 x)．
2. (2022 a浙江)已知 2 5,log8 3 b，则 4a 3b ( )
25 5
A. 25 B. 5 C. D.
9 3
3．(2020 a b新课标Ⅰ理)若 2 log2 a 4 2log4 b，则( )
A． a 2b B． a 2b C． a b2 D． a b2
十一、指数函数的实际应用
1．(2020新课标Ⅲ) Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据
公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t)(t 的单位：天 )的 Logistic模型：
I (t) K * ，其中 K为最大确诊病例数．当 I(t ) 0.95K时，标志着已初步遏制疫情，
1 e 0.23(t 53)
则 t * 约为( ) (ln19 3)
A．60 B．63 C．66 D．69
十二、指对大小的比较
1. (2022全国甲卷文)已知9m 10,a 10m 11,b 8m 9，则( )
A. a 0 b B. a b 0
C. b a 0 D. b 0 a
2．(2021 1新高考Ⅱ)已知 a log5 2， b log8 3， c ，则下列判断正确的是( )2
A． c b a B．b a c C． a c b D． a b c
3．(2021天津)若 2a 5b 10 1 1，则 ( )
a b
A． 1 B． lg7 C．1 D． log710
4．(2021天津)设 a log2 0.3， b log 1 0.4， c 0.4
0.3，则三者大小关系为( )
2
A． a b c B． c a b C．b c a D． a c b
- 9 -
5．(2020天津)设 a 30.7 b (1， ) 0.8， c log0.7 0.8，则 a， b， c的大小关系为( )3
A． a b c B．b a c C．b c a D． c a b
6．(2020新课标Ⅲ)已知 55 84，134 85 ．设 a log 5 3 ， b log8 5， c log13 8，则( )
A． a b c B． b a c C． b c a D． c a b
十三、函数值域
1．(2022上海)设函数 f (x)满足 f (x) f ( 1 )，定义域为 D [0， )，值域为 A，若集
x 1
合{y | y f (x)， x [0， a]}可取得 A中所有值，则参数 a的取值范围为________．
2．(2021上海)已知 x1，x2 R，若对任意的 x2 x1 S ， f (x2 ) f (x1) S，则有定义： f (x)
是在 S关联的．
(1)判断和证明 f (x) 2x 1是否在 [0， )关联？是否有 [0，1]关联？
(2)若 f (x)是在{3}关联的， f (x)在 x [0，3)时， f (x) x2 2x，求解不等式：2 f (x) 3．
(3)证明： f (x)是{1}关联的，且是在 [0， )关联的，当且仅当“ f (x)在 [1，2]是关联的”．
十四、函数的实际应用
1. (2022北京)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制
冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T和
lgP的关系，其中 T表示温度，单位是 K；P表示压强，单位是 bar．下列结论中正确的是
( )
- 10 -
A. 当T 220， P 1026时，二氧化碳处于液态
B. 当T 270， P 128时，二氧化碳处于气态
C. 当T 300， P 9987时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当T 360， P 729时，二氧化碳处于超临界状态
2．(2021甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五
分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据V 满足
L 5 lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约
为( ) (1010 1.259)
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
十五、函数求值
1
1. (2022北京)己知函数 f (x) x ，则对任意实数 x，有( )1 2
A. f (- x)+ f (x) = 0 B. f ( x) f (x) 0
C. f ( x) f (x) 1 D. f ( x) f (x) 1
3
2. (2022全国乙卷理)已知函数 f (x), g(x)的定义域均为 R，且
f (x) g(2 x) 5, g(x) f (x 4) 7．若 y g(x)的图像关于直线 x 2对称，
22
g(2) 4，则 f (k ) ( )
k 1
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
- 11 -
2020-2022 函数高考题分类合集解析
一．反函数(上海)
1．【解答】函数 f (x) x3的反函数为 f 1(x)，
整理得 f 1(x) 3 x；
所以 f 1(27) 3．
故答案为：3．
2．【解答】选项 A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数， A错误，
选项 B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数， B 错误，
选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，
选项 D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，
故选：C ．
3 f (x) 3．【解答】因为 2，
x
令 f (x) 1 3，即 2 1，解得 x 3，
x
f 1故 (1) 3 ．
故答案为： 3．
4 3．【解答】由 y f (x) x ，得 x 3 y ，
把 x 3 1与 y 互换，可得 f (x) x 的反函数为 f (x) 3 x．
故答案为： 3 x ．
二．具体函数定义域
- 12 -
1
1．【解答】 y x 2 1 ，定义域为{x | x 0}，
x
y x 1 1 ，定义域为{x | x 0}，
x
1
y x 3 3 x ，定义域为 R，
1
y x 2 x ，定义域为{x | x 0}．
1
定义域为 R 的是 y x 3 ．
故选：C．
1 1 x 0
2.【解答】因为 f x 1 x，所以 ，解得 x 1且 x 0，x x 0
故函数的定义域为 ,0 0,1 ；
故答案为： ,0 0,1
x 1 0
3．【解答】要使函数有意义，则 ，
x 0
x 1
所以 ，所以 x 0 ，
x 0
所以函数的定义域为{x | x 0}，
故答案为：{x | x 0}．
三．函数的零点与方程根的关系
1．【解答】 f (x)在区间 (0, )内恰有 6个零点
又 二次函数最多有两个零点，
当 x a时， f (x) 0至少有四个根，
f (x) cos(2 x 2 a) cos[2 (x a)]，
令 f (x) 0，即 2 (x a) k k Z ，
2
- 13 -
x k 1 a，
2 4
又 x (0, )，
0 k 1 a a 2a 1 1 ，即 k ，
2 4 2 2
①当 x a时， 5 2a 1 7 9 4， f (x)有 4个零点，即 a ，
2 4 4
6 2a 1 5， f (x) 5 9 a 11有 个零点，即 ，
2 4 4
7 2a 1 6 f (x) 6 11 a 13 ， 有 个零点，即 ，
2 4 4
②当 x a时， f (x) x2 2(a 1)x a2 5，
△ b2 4ac 4(a 1)2 4(a2 5) 8a 16 0，解得 a 2，
当 a 2时，△ 0， f (x)无零点，
当 a 2时，△ 0， f (x)有 1个零点，
当 a 2时， f (a) a2 2a(a 1) a2 5 2a 5，
f (x)的对称轴 x a 1，即 f (a)在对称轴的左边，
5
当 2a 5 0时，即 2 a ， f (x)有两个零点，
2
5
当 2a 5 0时，即 a ， f (x)有 1个零点，
2
综合①②可得，若函数 f (x)在区间 (0, )内恰有 6个零点，则需满足：
7 a 9 9 a 11 11 13 4 4 4 4 a
或 或 4 4 ，
2 5 a a 5 或a 2 a 2 2 2
a (2 9解得 ， ] (5 11， ]．
4 2 4
故选： A．
2．【解答】函数 f (x) | lg x | kx 2的零点的个数可转化为函数 y | lg x |与直线 y kx 2的
交点的个数；
作函数 y | lg x |与直线 y kx 2的图象如右图，
若 k 0 ，则函数 y | lg x |与直线 y kx 2的图象在 (0,1)与 (1, )上各有一个交点，如直线
l1，则 f (x)有两个零点，故(1)正确；
- 14 -
当 k 2 时，当 x (0，1]时， f (x) lg x 2x 2，
f (10 2 ) 2 1 1 2 0， f (10 1) 1 2 0，
50 5
故 f (x)在 (10 2 10 1， )上至少有一个零点，
又 f (1) 0 ，结合图象知， f (x)在 (0，1]上有两个零点，
即 y | lg x |与 y 2x 2有两个不同的交点，故当直线绕点 (0, 2)顺时针旋转时，
存在直线 y kx 2与函数 y | lg x |与直线的图象相切，即 f (x)有一个零点，如直线 l2 ，故(2)
正确；
当 k 0 时，函数 y | lg x |与直线 y kx 2的图象至多有两个交点，故(3)不正确；
当 k 0 且 k足够小时，函数 y | lg x |与直线 y kx 2的图象在 (0,1)与 (1, )上分别有 1个、
2个交点，如直线 l3，故(4)正确；
故答案为：(1)(2)(4)．
3．【解答】若函数 g(x) f (x) | kx2 2x | (k R)恰有 4个零点，
则 f (x) | kx2 2x |有四个根，
即 y f (x)与 y h(x) | kx2 2x |有四个交点，
当 k 0时， y f (x)与 y | 2x | 2 | x |图象如下：
- 15 -
两图象只有两个交点，不符合题意，
当 k 0时， y | kx2 2x | 2与 x轴交于两点 x1 0， x2 (x2 x1)k
图象如图所示，
1 1
当 x 时，函数 y | kx2 2x |的函数值为 ，
k k
x 1 1当 时，函数 y x的函数值为 ，
k k
所以两图象有 4个交点，符合题意，
当 k 0时，
y | kx2 2x | 2与 x轴交于两点 x1 0， x2 (x x )k 2 1
在 [0 2， )内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
k
只需 y x3与 y kx2 2x (2在 ， )还有两个交点，即可，
k
即 x3 kx2 2 2x在 ( ， )还有两个根，
k
- 16 -
k x 2 (2即 在 ， )还有两个根，
x k
函数 y x 2 2 2 ，(当且仅当 x 2 ，即 x 2 时，取等号)，
x x
2
所以 0 2，且 k 2 2 ，
k
所以 k 2 2 ，
综上所述， k的取值范围为 ( ， 0) (2 2 ， )．
故选： D．
4．【解答】根据条件(1)可得 f (0) 0或 f (1) 1，
又因为关于 x的方程 f (x) a无实数解，所以 a 0或 1，
故 a ( ， 0) (0，1) (1， )，
故答案为： ( ， 0) (0，1) (1， )．
四．分段函数
1 , x 0
1.【解答】若 a 0时， f (x) ，∴ f (x) 0；
(x 2)
2 , x 0 min
若 a 0时，当 x a时， f (x) ax 1单调递增，当 x 时， f (x) ，故 f (x)没
- 17 -
有最小值，不符合题目要求；
若 a 0时，
当 x a时， f (x) ax 1单调递减， f (x) f (a) a2 1，
0 (0 a 2)
当 x a时， f (x)min {(a 2)2 (a 2)
∴ a2 1 0或 a2 1 （a 2）2，
解得0 a 1，
综上可得0 a 1；
故答案为：0(答案不唯一)，1
2 7
2. 1 1 7【解答】由已知 f ( ) 2 ， f ( )
7 4 37
1 ，
2 2 4 4 4 7 28
1 37
所以 f f ( ) ， 2 28
当 x 1时，由1 f (x) 3可得1 x2 2 3，所以 1 x 1，
1
当 x 1时，由1 f (x) 3可得1 x 1 3，所以1 x 2 3，x
1 f (x) 3等价于 1 x 2 3，所以[a,b] [ 1,2 3]，
所以b a的最大值为3 3 .
37
故答案为： ，
28 3 3
.
2
3 x 4, x 2．【解答】因为函数 f (x) ，
| x 3 | a, x 2
所以 f ( 6) ( 6)2 4 2，
则 f ( f ( 6)) f (2) | 2 3 | a 3，解得 a 2．
故答案为：2．
4．【解答】(1)按实际情况而言，交通流量 v随着道路密度 x的增大而减小，
- 18 -
故 v f (x)是单调递减函数，
所以 k 0，
当 40 x 80时， v最大为 85，
80
于是只需令100 135 (1) x 95 x 80，解得 ，
3 3
80
故道路密度 x的取值范围为 (0, )．
3
(2)把 x 80， v 50代入 v f (x) k (x 40) 85中，
7
得 50 k 40 85，解得 k ．
8
80
100x 135 (
1
) x x,0 x 40
q vx 3 ，
7
(x 40)x 85x, 40 x 80 8
80
①当 0 x 40时， v 100 135 (1 ) x 100，
3
q vx 100 40 4000．
②当 40 x 80 7时， q是关于 x的二次函数， q x2 120x，
8
x 480 q 7 (480)2 120 480 28800对称轴为 ，此时 有最大值，为 4000．
7 8 7 7 7
综上所述，车辆密度 q 28800的最大值为 ．
7
五．函数的图象与图象的变换
1. x
3 x
【解答】设 f x ，则 f 1 0，故排除 B;
x2 1
h x 2x cos x π设 2 ，当 x x 1
0, 时，0 cos x 1，
2
所以 h x 2x cos x 2x 2 2 1，故排除 C;x 1 x 1
g x 2sin x 2sin 3设
x2
，则 g 3 0，故排除 D.
1 10
故选：A.
2. x x【解答】令 f x 3 3 cos x, x ,
，
2 2
- 19 -
则 f x 3 x 3x cos x 3x 3 x cos x f x ，
所以 f x 为奇函数，排除 BD；
x 0, 又当 x 时，3 3 x 0,cos x 0，所以 f x 0，排除 C.
2
故选：A.
3 f (x) ln | x |．【解答】根据题意， 2 ，其定义域为{x | x 0}，x 2
有 f ( x) ln | x | 2 f (x)，是偶函数，排除 AC，x 2
在区间 (0,1)上， ln | x | ln x 0，必有 f (x) 0，排除D，
故选： B．
4．【解答】 y f (x) x cos x sin x，
则 f ( x) xcos x sin x f (x)，
f (x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D，
当 x 时， y f ( ) cos sin 0 ，故排除 B，
故选： A．
5 4x．【解答】函数 y 2 的定义域为实数集 R，关于原点对称，x 1
4x 4x
函数 y f (x) 2 ，则 f ( x) 2 f (x)，则函数 y f (x)为奇函数，故排除C ，x 1 x 1
D，
当 x 0时， y f (x) 0，故排除 B，
故选： A．
6．【解答】设甲企业的污水排放量W 与时间 t的关系为W f (t)，乙企业的污水排放量W 与
时间 t的关系为W g(t)．
f (t ) f (t )
对于①，在 [t1， t2 ]这段时间内，甲企业的污水治理能力为
2 1 ，
t2 t1
g(t ) g(t )
乙企业的污水治理能力为 2 1 ．
t2 t1
- 20 -
f (t2 ) f (t1) g(t2 ) g(t )由图可知， f (t1 ) f (t
1
2 ) g (t1 ) g (t2 )， ，t2 t1 t2 t1
即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
对于②，由图可知， f (t)在 t2 时刻的切线的斜率小于 g (t)在 t2 时刻的切线的斜率，但两切
线斜率均为负值，
在 t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；
对于③，在 t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
在 t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；
对于④，由图可知，甲企业在 [0， t1]，[t1， t2 ]，[t2， t3 ]这三段时间中，在 [t1， t2 ]的污水
治理能力最强，
故④错误．
正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
六．函数单调性的性质与判断
1．【解答】(1) f (x) 2x ， t 1， g(x)为 f (x)做 变换后的结果， g(x) 2，
g(x) f (x) f (x 1) 2x 2x 1 2x 1 2，
解得 x 2．
(2) f (x) x2 ， h(x)为 f (x)做 变换后的结果， f (x) h(x) ，
x2 | (x t)2 x2 | | 2tx t 2 |，
t
当 x 时， f (x) h(x)恒成立；
2
t
当 x 时， 2tx t 2 x2 ，
2
解得 x (1 2)t，或 x (1 2)t，
综上，不等式： f (x) h(x)的解集为 ( ， (1 2)t] [(1 2)t， )．
(3)证明： f (x)先做 变换后得到 u(x)，u(x)再做 变换后得到 h1(x)，
u(x) f (x) f (x t) ， h1(x) | f (x t) f (x) [ f (x) f (x t)] |，
- 21 -
f (x)先做 变换后得到 v(x)， v(x)再做 变换后得到 h2 (x)，
v(x) | f (x t) f (x) |， h2 (x) | f (x t) f (x) | | f (x) f (x t) |，
h1(x) h2 (x)， f (x)在 ( ,0)上单调递增，
| f (x t) f (x) [ f (x) f (x t)] | | f (x t) f (x) | | f (x) f (x t) | ，
f (x t) f (t) f (t) f (t 1)
t 0 ， f (x t) f (x) 0 ，
f (x) f (x t)
函数 f (x)在 R 上单调递增．
2．【解答】由一次函数性质可知 f (x) x在 R 上是减函数，不符合题意；
2
由指数函数性质可知 f (x) ( )x在 R 上是减函数，不符合题意；
3
由二次函数的性质可知 f (x) x2在 R 上不单调，不符合题意；
根据幂函数性质可知 f (x) 3 x 在 R 上单调递增，符合题意．
故选： D．
3．【解答】(1)当 a 1时， f (x) | x 1| 1 x ，
由 | x 1| 1 0，得 | x 1| 1，解得 x 2或 x 0．
函数的定义域为 ( ， 2] [0， )；
(2) f (ax) | ax a | a ax ，
f (ax) a | ax a | a ax a ，
设 ax a t 0， t a t有两个不同实数根，整理得 a t t2 ， t 0，
a (t 1)2 1 1 ， t 0，当且仅当 0 a 时，方程有 2个不同实数根，
2 4 4
又 a 0， a的取值范围是 (0, 1)；
4
(3)当 x a时， f (x) | x a | a x x x ( x 1)2 1 1 ，在 [ ， )上单调递减，
2 4 4
- 22 -
a 1此时需要满足 ，即 a 1 ，函数 f (x)在[ a， )上递减；
4 4
当 x a时， f (x) | x a | a x x 2a x，在 ( ， 2a]上递减，
a 1 0， 2a a 1 0，即当 a 时，函数 f (x)在 ( , a)上递减．
4 4
1
综上，当 a ( ， ]时，函数 f (x)在定义域 R 上连续，且单调递减．
4
4．【解答】对于命题 q1：当 f (x)单调递减且 f (x) 0恒成立时，
当 a 0时，此时 x a x，
又因为 f (x)单调递减，
所以 f (x a) f (x)
又因为 f (x) 0恒成立时，
所以 f (x) f (x) f (a)，
所以 f (x a) f (x) f (a)，
所以命题 q1 命题 p，
对于命题 q2：当 f (x)单调递增，存在 x0 0使得 f (x0 ) 0，
当 a x0 0时，此时 x a x， f (a) f (x0 ) 0，
又因为 f (x)单调递增，
所以 f (x a) f (x)，
所以 f (x a) f (x) f (a)，
所以命题 p2 命题 p，
所以 q1， q2都是 p的充分条件，
故选：C．
5．【解答】由 2x 2y 3 x 3 y ，可得 2x 3 x 2y 3 y ，
令 f (x) 2x 3 x，则 f (x)在 R 上单调递增，且 f (x) f (y)，
所以 x y ，即 y x 0，由于 y x 1 1，
故 ln(y x 1) ln1 0．
- 23 -
七．复合函数的单调性
1．【解答】由 x2 4x 5 0，得 x 1或 x 5 ．
令 t x2 4x 5，
外层函数 y lg t是其定义域内的增函数，
要使函数 f (x) lg(x2 4x 5)在 (a, )上单调递增，
则需内层函数 t x2 4x 5在 (a, )上单调递增且恒大于 0，
则 (a， ) (5， )，即 a 5．
a的取值范围是 [5， )．
故选： D．
八．函数奇偶性的性质与判断
1. 【解答】因为函数 f x ln a 1 b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
1 x
a 1 a 1 1由 0可得， 1 x a 1 ax 0，所以 x 1，解得：a ，即函
1 x a 2
数的定义域为 , 1 1,1 1, ，再由 f 0 0可得，b ln 2．即
f x ln 1 1 ln 2 ln 1 x ，在定义域内满足 f x f x ，符合题意．
2 1 x 1 x
1
故答案为： ； ln 2．
2
a2x 1 x 0
2 ．【解答】 函数 f (x) x a x 0，为奇函数， f ( x) f (x)，
0 x 0
f ( 1) f (1)， a2 1 (a 1)，即 a(a 1) 0，求得 a 0或 a 1．
1, x 0
当 a 0时， f (x) 0, x 0 ，不是奇函数，故 a 0；
x, x 0
- 24 -
x 1, x 0
当 a 1时， f (x) 0, x 0 ，是奇函数，故满足条件，
x 1, x 0
综上， a 1，
故答案为：1．
3.【解答】因为 f x y f x y f x f y ，令 x 1, y 0可得，
2 f 1 f 1 f 0 ，所以 f 0 2，令 x 0可得， f y f y 2 f y ，即
f y f y ，所以函数 f x 为偶函数，令 y 1得，
f x 1 f x 1 f x f 1 f x ，即有 f x 2 f x f x 1 ，从而可知
f x 2 f x 1 ， f x 1 f x 4 ，故 f x 2 f x 4 ，即
f x f x 6 ，所以函数 f x 的一个周期为6．
因为 f 2 f 1 f 0 1 2 1， f 3 f 2 f 1 1 1 2，
f 4 f 2 f 2 1， f 5 f 1 f 1 1， f 6 f 0 2，所以
一个周期内的 f 1 f 2 f 6 0．由于 22除以 6余 4，
22
所以 f k f 1 f 2 f 3 f 4 1 1 2 1 3．
k 1
故选：A．
4．【解答】 f (x 1)为奇函数， f (1) 0，且 f (x 1) f ( x 1)，
f (x 2)偶函数， f (x 2) f ( x 2)，
f [(x 1) 1] f [ (x 1) 1] f ( x) ，即 f (x 2) f ( x)，
f ( x 2) f (x 2) f ( x)．
令 t x，则 f (t 2) f (t) ，
f (t 4) f (t 2) f (t)， f (x 4) f (x)．
当 x [1， 2]时， f (x) ax2 b．
f (0) f ( 1 1) f (2) 4a b，
- 25 -
f (3) f (1 2) f ( 1 2) f (1) a b，
又 f (0) f (3) 6， 3a 6，解得 a 2，
f (1) a b 0， b a 2，
当 x [1， 2]时， f (x) 2x2 2，
f (9) 1 3 9 5 f ( ) f ( ) ( 2 2) ．
2 2 2 4 2
故选： D．
5．【解答】因为 f (x) 1 x (x 1) 2 2 1 ，
1 x 1 x x 1
所以函数 f (x)的对称中心为 ( 1, 1)，
所以将函数 f (x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数 y f (x 1) 1，该函数的对称中心为 (0,0)，
故函数 y f (x 1) 1为奇函数．
故选： B．
6．【解答】由题意得 f ( x) f (x)，
又 f (1 x) f ( x) f (x) ，
所以 f (2 x) f (x)，
又 f ( 1 1 ) ，
3 3
则 f (5) f (2 1 ) f ( 1 ) 1 ．
3 3 3 3
故选：C．
7．【解答】函数 f (x) x3(a 2x 2 x )是偶函数，
y x3为 R 上的奇函数，
故 y a 2x 2 x也为 R 上的奇函数，
所以 y | a 20x 0 2
0 a 1 0，
所以 a 1．
8．【解答】 函数 f (x 2)为偶函数，
- 26 -
f (2 x) f (2 x)，
f (2x 1)为奇函数，
f (1 2x) f (2x 1)，
用 x替换上式中 2x 1，得 f (2 x) f (x)，
f (2 x) f (x)， f (4 x) f (2 x) f (x) ，即 f (x) f (x 4)，
故函数 f (x)是以 4为周期的周期函数，
f (2x 1)为奇函数，
f (1 2x) f (2x 1)，即 f (2x 1) f ( 2x 1) 0 ，
用 x替换上式中 2x 1，可得， f (x) f (2 x) 0，
f (x)关于 (1,0)对称，
又 f (1) 0，
f ( 1) f (2 1) f ( 1) 0 ．
故选： B．
9．【解答】 y f (x)是奇函数，可得 f ( x) f (x)，
2 2
当 x 0时， f (x) x 3 ，可得 f (8) 83 4，
则 f ( 8) f (8) 4，
故答案为： 4．
10．【解答】 y 3x在 R 上单调递减且为奇函数， A符合题意；
因为 y x3在 R 上是增函数， B不符合题意；
y log3 x， y 3
x 为非奇非偶函数，C 不符合题意；
故选： A．
11．【解答】 函数 y f (x)为定义域为 R 的奇函数，其图像关于 x 1对称，且当 x (0，1]
时， f (x) lnx，
f (x)是周期为 4的周期函数，图象如图：
- 27 -
将方程 f (x) x 1的正实数根从小到大依次记为 x1， x2， x3 ， ， xn，
则 lim(xn 1 xn )的几何意义是两条渐近线之间的距离 2，n
lim(x x ) 2．
n n 1 n
故答案为：2．
九．奇偶性与单调性的综合
1．【解答】因为 f (x) cos x cos2x cos x (2cos2 x 1) 2cos2 x cos x 1，
因为 f ( x) 2cos2 ( x) cos( x) 1 2cos2 x cos x 1 f (x)，
故函数 f (x)为偶函数，
令 t cos x，则 t [ 1，1]，
故 f (t) 2t2 t 1是开口向下的二次函数，
t 1 1 f (t) 1 1 1 9所以当 时， 取得最大值 f ( ) 2 ( )2 1 ，
2 ( 2) 4 4 4 4 8
9
故函数的最大值为 ．
8
综上所述，函数 f (x) 9是偶函数，有最大值 ．
8
故选： D．
2．【解答】若函数 f (x)在 [0，1]上单调递增，
则函数 f (x)在 [0，1]上的最大值为 f (1)，
若 f (x) (x 1 )2 ，则函数 f (x)在[0，1]上的最大值为 f (1)，
3
但函数 f (x)在 [0，1]上不单调，
- 28 -
故选： A．
3．【解答】根据题意，依次判断选项：
对于 A， f (x) cos x 1， f (x)为偶函数，且关于点 (1,1)对称，存在最大值， A错误，
2
对于 B， f (x) cos( x) ， f (x)为偶函数且关于直线 x 1对称，存在最大值， B错误，
对于C，假设 f (x)有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为 (a,M )，
f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，则 f (x)的图象存在最低点 ( a, M )，
又由 f (x)的图象关于点 (1,1)对称，则 ( a, M )关于点 (1,1)对称的点为 (2 a, 2 M )，
与最大值为M 相矛盾，则此时 f (x)无最大值，C 正确，
对于 D， f (x) sin x ， f (x)为奇函数且关于直线 x 1对称， D错误，
2
故选：C．
4．【解答】 定义在 R 的奇函数 f (x)在 ( , 0)单调递减，且 f (2) 0 ， f (x)的大致图象如
图：
f (x)在 (0, )上单调递减，且 f ( 2) 0；
故 f ( 1) 0；
当 x 0 时，不等式 xf (x 1) 0成立，
当 x 1时，不等式 xf (x 1) 0成立，
当 x 1 2或 x 1 2 时，即 x 3或 x 1时，不等式 xf (x 1) 0成立，
当 x 0 时，不等式 xf (x 1) 0等价为 f (x 1) 0，
x 0
此时 ，此时1 x 3，
0 x 1 2
当 x 0 时，不等式 xf (x 1) 0等价为 f (x 1) 0，
- 29 -
x 0
即 ，得 1 x 0，
2 x 1 0
综上 1 x 0或1 x 3，
即实数 x的取值范围是 [ 1， 0] [1，3]，
故选： D．
2x 1 0
5 1．【解答】由 ，得 x ．
2x 1 0 2
又 f ( x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| (ln | 2x 1| ln | 2x 1|) f (x)，
f (x)为奇函数；
f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ln | 2x 1| ln | 2x 1由 |，
| 2x 1| 2x 1
2x 1 2x 1 2 1 2 2 1 1 1 ．
2x 1 2x 1 2x 1 2(x 1) x 1
2 2
t | 2x 1可得内层函数 |的图象如图，
2x 1
1 1 1
在 ( , )上单调递减，在 ( ， )上单调递增，
2 2 2
1
则 ( ， ) 上单调递减．
2
又对数式 y ln t是定义域内的增函数，
f (x) ( , 1由复合函数的单调性可得， 在 )上单调递减．
2
故选： D．
- 30 -
十．指对数函数的图象与性质
1．【解答】(1)因为函数 f (x) log3 (a x) log3 (6 x)，
将函数 f (x)图像向下移m(m 0)后，得 y f (x) m log3 (a x) log3 (6 x) m的图像，
由函数图像经过点 (3,0)和 (5,0)，
log3(3 a) 1 m 0
所以 ，
log3(5 a) 0 m 0
解得 a 2，m 1．
(2) a 3且 a 0时，不等式 f (x) f (6 x)可化为
log3 (a x) log3 (6 x) log3 (a 6 x) log3 x，
a x 0
6 x 0
等价于 a 6 x 0 ，
x 0
(a x)(6 x) x(a 6 x)
x a
x 6
解得 x a 6 ，
x 0
a(x 3) 0
当 3 a 0时， 0 a 3， 3 a 6 6，解不等式得 a x 3，
当 a 0时， a 0， a 6 6，解不等式得 3 x 6；
综上知， 3 a 0时，不等式 f (x) f (6 x)的解集是 ( a， 3]，
a 0时，不等式 f (x) f (6 x)的解集是 [3， 6)．
2.【解答】因为2a 5，b log 3
1
log 3，即 23b8 2 3，所以3
a
a 3b 4 2a
2
524 25
43b
3b 2 32
．
2 9
- 31 -
故选：C.
3 a b．【解答】因为 2 log2 a 4 2log4 b 2
2b log2 b；
22b log b 22b 2b因为 2 log2 2b 2 log2 b 1，
2a log a 22b所以 2 log2 2b，
令 f (x) 2x log2 x，由指对数函数的单调性可得 f (x)在 (0, )内单调递增；
且 f (a) f (2b) a 2b；
故选： B ．
十一、指数函数的实际应用
K
1 * 1．【解答】由已知可得 * 0.95K，解得 0.23(t 53) ，
1 e 0.23(t 53)
e
19
0.23(t*两边取对数有 53) ln19，
解得 t* 66，
故选：C ．
十二、指对大小的比较
lg10
1.【解答】由9m 10可得m log910 1，而lg9
2 2 lg10 lg11
lg9lg11 lg9 lg11 lg99 1 lg10
2
，所以 ，即m lg11，所
2 2 lg9 lg10
以 a 10m 11 10lg11 11 0．
lg8 lg10 2 lg80 2 2 lg9 lg10
又 lg8lg10 lg9 ，所以 ，即 log2 2 lg8 lg9 8
9 m，
所以b 8m 9 8log8 9 9 0．综上， a 0 b．
- 32 -
故选：A.
1 1 12 log 2 log 5 2 log 3 log 8 2 1．【解答】 5 5 ， 8 8 ，2 2
a c b．
故选：C．
3．【解答】 2a 5b 10， a log210，b log510，
1 1 1 1
log10 2 log10 5 lg10 1，a b log210 log510
故选：C．
4．【解答】 log2 0.3 log21 0， a 0，
log1 0.4 log1 0.5 1， b 1，
2 2
0 0.40.3 0.40 1， 0 c 1，
a c b，
故选： D．
5．【解答】 a 30.7 ， b (1 ) 0.8 30.8，
3
则 b a 1，
log0.7 0.8 log0.7 0.7 1，
c a b，
故选： D．
6 3 3．【解答】由 log5 5 log 8，4 4 8
3 3
log5 54 log 3，而 log 845 8 log8 5
log5 3 log8 5，
即 a b ；
55 84 ， 5 4 log5 8， log 5 8 1.25， b log8 5 0.8；
134 85 ， 4 5 log13 8， c log13 8 0.8， c b ，
- 33 -
综上， c b a．
故选： A．
十三、函数值域
1 1．【解答】令 x 得，
x 1
x 5 1 5 1 或 x (舍去)；
2 2
当 x 5 1 时，
2
1 1 5 1
，
x 1 5 1 2
1
2
x 5 1故对任意 ，
2
x [0 5 1都存在 0 ， ]
1
， x ，
2 x 1 0
故 f (x) f (x0 )，
0 x 5 1而当 时，
2
1 1 5 1
，
x 1 5 1 2
1
2
故 A {y | y f (x) x [0 5 1， ， ]}，
2
故当 A {y | y f (x)， x [0， a]}时，
[0 5 1， ] [0， a]，
2
a 5 1故参数 的最小值为 ，
2
a [ 5 1故参数 的取值范围为 ， )，
2
5 1
故答案为： [ ， )．
2
2．【解答】(1) f (x)在 [0， )关联，在 [0，1]不关联，
任取 x1 x2 [0， )，则 f (x1) f (x2 ) 2(x1 x2 ) [0， )， f (x)在 [0， )关联；
- 34 -
取 x1 1， x2 0，则 x1 x2 1 [0，1]，
f (x1) f (x2 ) 2(x1 x2 ) 2 [0，1]， f (x)在 [0，1]不关联；
(2) f (x)在{3}关联， 对于任意 x1 x2 3，都有 f (x1) f (x2 ) 3，
对任意 x，都有 f (x 3) f (x) 3，
由 x [0， 3)时， f (x) x2 2x，得 f (x)在 x [0， 3)的值域为 [ 1， 3)，
f (x)在 x [3， 6)的值域为 [2， 6)，
2 f (x) 3仅在 x [0， 3)或 x [3， 6)上有解，
x [0， 3)时， f (x) x2 2x，令 2 x2 2x 3，解得 3 1 x 3，
x [3， 6)时， f (x) f (x 3) 3 x2 8x 18，令 2 x2 8x 18 3，解得 3 x 5，
不等式 2 f (x) 3的解为 [ 3 1， 5]，
(3)证明：①先证明： f (x)是在{1}关联的，且是在 [0， )关联的 f (x)在 [1， 2]是关联
的，
由已知条件可得， f (x 1) f (x) 1，
f (x n) f (x) n， n Z ，
又 f (x)是在 [0， )关联的，
任意 x2 x1， f (x2 ) f (x1)成立，
若1 x2 x1 2，
x1 1 x2 x1 2，
f (x1 1) f (x2 ) f (x1 2)，即 f (x1) 1 f (x2 ) f (x1) 2，
1 f (x2 ) f (x1) 2，
f (x)是[1， 2]关联，
②再证明： f (x)在 [1， 2]是关联的 f (x)是在{1}关联的，且是在[0， )关联的，
f (x)在[1， 2]是关联的， 任取 x1 x2 [1， 2]，都有 f (x1) f (x2 ) [1， 2]成立，
即满足1 x1 x2 2，都有1 f (x1) f (x2 ) 2，
下面用反证法证明 f (x 1) f (x) 1，
- 35 -
若 f (x 1) f (x) 1，则 f (x 2) f (x) f (x 2) f (x 1) f (x 1) f (x) 2 ，与 f (x)在 [1，
2]是关联的矛盾，
若 f (x 1) f (x) 1，而 f (x)在 [1， 2]是关联的，则 f (x 1) f (x) 1，矛盾，
f (x 1) f (x) 1成立，即 f (x)是在{1}关联的，
再证明 f (x)是在 [0， )关联的，
任取 x1 x2 [n， )(n N )，则存在 n N ，使得任取 x1 x2 [n， n 1](n N )，
1 x1 (n 1) x2 2，
f [x1 (n 1)] f (x2 ) f (x1) (n 1) f (x2 ) [1， 2]，
f (x1) f (x2 ) [n， n 1] [0， )，
f (x)是在 [0， )关联的；
综上所述， f (x)是{1}关联的，且是在[0， )关联的，当且仅当“ f (x)在 [1，2]是关联的”，
故得证．
十四、函数的实际应用
1.【解答】当T 220，P 1026时， lg P 3，此时二氧化碳处于固态，故 A错误.
当T 270， P 128时， 2 lg P 3，此时二氧化碳处于液态，故 B错误.
当T 300， P 9987时， lgP与 4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，T 300时对应的是非超临界状态，故 C错误.
当T 360， P 729时，因 2 lg P 3 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故 D正确.
故选：D
2．【解答】在 L 5 lgV 中， L 4.9，所以 4.9 5 lgV ，即 lgV 0.1，
解得V 10 0.1 1 1 1
100.1
0.8 ，
1010 1.259
所以其视力的小数记录法的数据约为 0.8．
故选：C．
- 36 -
十五、函数求值
x
1. 【解答】 f x f x 1 1 2 1 1，故 A错误，C正确；
1 2 x 1 2x 1 2x 1 2x
x x
f x f x 1 1 2 1 2 1 2 1 ，不是常数，故 BD
1 2 x 1 2x 1 2x 1 2x 2x 1 2x 1
错误；
故选：C．
2.【解答】因为 y g(x)的图像关于直线 x 2对称，
所以 g 2 x g x 2 ，
因为 g(x) f (x 4) 7，所以 g(x 2) f (x 2) 7，即 g(x 2) 7 f (x 2)，
因为 f (x) g(2 x) 5，所以 f (x) g(x 2) 5，
代入得 f (x) 7 f (x 2) 5，即 f (x) f (x 2) 2，
所以 f 3 f 5 f 21 2 5 10，
f 4 f 6 f 22 2 5 10 .
因为 f (x) g(2 x) 5，所以 f (0) g(2) 5，即 f 0 1，所以
f (2) 2 f 0 3 .
因为 g(x) f (x 4) 7，所以 g(x 4) f (x) 7，又因为 f (x) g(2 x) 5，
联立得， g 2 x g x 4 12，
所以 y g(x)的图像关于点 3,6 中心对称，因为函数 g(x)的定义域为 R，
所以 g 3 6
因为 f (x) g(x 2) 5，所以 f 1 5 g 3 1 .
所以
- 37 -
22
f (k) f 1 f 2 f 3 f 5 f 21 f 4 f 6 f 22 1 3 10 10 24
k 1
故选：D
- 38 -
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