苏教版（2019）高中数学必修第一册2.1 命题、定理、定义【导学案解析版】

第2章 常用逻辑用语
第01讲 命题、定理、定义
课程标准 重难点
1、理解命题的概念和分类．2、能判断命题的真假，了解数学定义、数学命题和数学定理之间的关系．3、了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式． 1.真假命题的判断2.理解并掌握命题的结构
一、命题的概念及分类
1.命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以____________的______________叫做命题．
2.命题定义中的两个要点：“可以____________”和“___________”．我们学习过的定理、推论都是命题．
3.分类
命题
二、命题的结构
1.命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的 ，q叫做命题的 ．
2.确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
参考答案：
一、1．判断真假 陈述句
2.判断真假 陈述句
3.真 假
二、 1.条件 结论
考法01 命题的概念
判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2) ；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)若，则；
(5)一个数的算术平方根一定是负数；
(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．
【名师指点】判断一个语句是不是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
【跟踪训练】下列语句是命题的是(　　)
①三角形内角和等于180°；②；③一个数不是正数就是负数；④；⑤这里真热闹啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
考法02 命题真假的判断
（多选题）给定下列命题：
A.若，则；
B.命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
C.若，则；
D.如果两个角的两边互相平行，这两个角一定相等．
其中为真命题的是 （ ）．
【名师指点】
一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
【跟踪训练】
1.下列命题中假命题的个数为(　　)
①多边形的外角和与边数有关；
②如果，那么或；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④若，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（多选题）下列命题中为真命题的是(　　)
A．四边形的内角和是；
B．若互为倒数，则；
C．如果是有理数，则；
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形.
考法03 命题的结构形式
将下列命题写成“若p，则q”的形式．
(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；
(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．
【名师指点】
将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
【跟踪训练】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
(2)负数的立方是负数；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
题组A 基础过关练
1．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B．方程有两个不相等的实数根
C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4
D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．任何实数都有平方根 B．存在有理数，使
C． D．
4．下列语句为命题的是（ ）
A． B．求证对顶角相等
C．不是偶数 D．今天心情真好啊
5．已知下列命题：①若，则；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形，④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；⑤若，则，其中正确命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．下列命题中正确的是（ ）
①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题
②“正多边形都相似”的逆命题
③“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题
④“若是有理数，则x是无理数”的逆否命题
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④
7．下列全称量词命题中假命题是（ ）
A．每一个末位是0的整数都是5的倍数
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．对任意负数x，x的平方是正数
D．梯形的对角线相等
8．下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．空集没有子集
B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0
D．任何一个集合至少有两个不同子集
题组B 能力提升练
1．下列语句能作为命题是（ ）
A．3比5大 B．太阳和月亮 C．高二年级的学生 D．
2．下列四个命题中，假命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
D．从直线外一点作直线的垂线段叫做点到直线的距离．
3．有下列命题，其中正确命题的是（ ）
A．“若，则且”
B．“矩形的对角线相等”
C．“若，则的解集是R”
D．“若是无理数，则a是无理数”
4．将“两个奇数的和是偶数”改写成“若，则”的形式为________．
5．如果，，那么，该命题的结论是_______．
6．若和或都是假命题，则的范围是__________
7．如图，现有以下三个条件：①//，②，③，请你以其中两个作为条件，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明;若是假命题，请举出反例．
8．判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
（1）一个钝角与一个锐角的差是锐角；
（2）若，则是的平分线；
（3）若是奇数，则是奇数．
题组C 培优拔尖练
1．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．下列说法正确的是（ ）
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
3．设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题：
①；
②；
③；
④.
则假命题是______(填上所有假命题的序号).
4．下列说法正确的是______.（填序号）
①空集是任何集合的真子集；
②函数的值域是，则函数的值域是；
③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个；
④若，则.
5．将下列性质定理写成“若，则”的形式，并用必要条件的语言表述：
（1）平面四边形的外角和为；
（2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等.
6．已知A：5x－1＞a，B：x＞1，请确定实数a的范围，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
第2章 常用逻辑用语
第01讲 命题、定理、定义答案
课程标准 重难点
1、理解命题的概念和分类．2、能判断命题的真假，了解数学定义、数学命题和数学定理之间的关系．3、了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式． 1.真假命题的判断2.理解并掌握命题的结构
一、命题的概念及分类
1.命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以____________的______________叫做命题．
2.命题定义中的两个要点：“可以____________”和“___________”．我们学习过的定理、推论都是命题．
3.分类
命题
二、命题的结构
1.命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的 ，q叫做命题的 ．
2.确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
参考答案：
一、1．判断真假 陈述句
2.判断真假 陈述句
3.真 假
二、 1.条件 结论
考法01 命题的概念
判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2) ；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)若，则；
(5)一个数的算术平方根一定是负数；
(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．
【解析】(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)“若，则”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．
(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
【名师指点】判断一个语句是不是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
【跟踪训练】下列语句是命题的是(　　)
①三角形内角和等于180°；②；③一个数不是正数就是负数；④；⑤这里真热闹啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
【答案】A
【解析】依据命题定义，得①②③为命题．
考法02 命题真假的判断
（多选题）给定下列命题：
A.若，则；
B.命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
C.若，则；
D.如果两个角的两边互相平行，这两个角一定相等．
其中为真命题的是 （ ）．
【答案】AC
【解析】结合不等式的性质，知A为真命题；而，故C为真命题．
【名师指点】
一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
【跟踪训练】
1.下列命题中假命题的个数为(　　)
①多边形的外角和与边数有关；
②如果，那么或；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④若，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．
2.（多选题）下列命题中为真命题的是(　　)
A．四边形的内角和是；
B．若互为倒数，则；
C．如果是有理数，则；
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形.
【答案】ABC
【解析】对于A，由四边形内角和定理可知，命题为真；对于B，互为倒数的两个数乘积为1，所以命题为真；对于C，∵，∴，所以命题为真；对于D，菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是轴对称图形，对称轴是对角线所在直线，所以命题为假.综上所述，选ABC．
考法03 命题的结构形式
将下列命题写成“若p，则q”的形式．
(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；
(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根．
【解析】(1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．
(2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．
【名师指点】
将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
【跟踪训练】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
(2)负数的立方是负数；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
【解析】(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题．
(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2，是假命题．
题组A 基础过关练
1．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，若，满足，且，符合题意；
对于B，若，不满足，不符合题意；
对于C，若，不满足，不符合题意；
对于D，若，满足，但，不是反例，不符合题意.故选：A.
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B．方程有两个不相等的实数根
C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4
D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，选项A中的一角不一定是对应相等两边的夹角，故选项A错误；
因为，所以，所以方程没有实数根，故选项B错误；
面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是，故选项C错误；
在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形，这个四边形的对边都等于原来四边形与这组对边相对的对角线的一半，并且和这条对角线平行，故得到的中点四边形是平行四边形.故选：D.
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．任何实数都有平方根 B．存在有理数，使
C． D．
【答案】C
【解析】A：负数没有平方根，假命题；
B：得，没有有理数根，假命题；
C：恒成立，真命题；
D：不存在整数使，假命题；故选：C.
4．下列语句为命题的是（ ）
A． B．求证对顶角相等
C．不是偶数 D．今天心情真好啊
【答案】C
【解析】对于A选项，为不等式，不能判定真假，故不是命题；
对于B选项，“求证对顶角相等”为操作命令；对于D选项，为感叹句，不是命题.故选：C.
5．已知下列命题：①若，则；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形，④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；⑤若，则，其中正确命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】①若，满足，但，故①错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，正确；
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误，
④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，正确；
⑤若则，故错误．故选：C．
6．下列命题中正确的是（ ）
①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题
②“正多边形都相似”的逆命题
③“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题
④“若是有理数，则x是无理数”的逆否命题
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④
【答案】B
【解析】①否命题为“若x2+y2=0，则x，y全为零”为真命题.
②逆命题为“相似多边形都是正多边形”为假命题.
③逆否命题为“x2+x-m=0没有实根，则m≤0”为真命题.
④逆否命题为“x是不是无理数，则是不是有理数”为真命题.故选：B
7．下列全称量词命题中假命题是（ ）
A．每一个末位是0的整数都是5的倍数
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．对任意负数x，x的平方是正数
D．梯形的对角线相等
【答案】D
【解析】每一个末位是0的整数都是10的倍数，而10是5的倍数，所以A项为真命题；
根据线段垂直平分线的定义可知B项为真命题；
负数的平方为正数，故C项为真命题；
等腰梯形的对角线相等，故D项为假命题.故选：D
8．下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．空集没有子集
B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0
D．任何一个集合至少有两个不同子集
【答案】C
【解析】空集的子集是它本身，故A错误；
空集是任何非空集合的一个真子集，故B错误；
空集的元素个数为0 ，故C正确；
空集只有一个子集，是它本身，故D错误.故选：C.
题组B 能力提升练
1．下列语句能作为命题是（ ）
A．3比5大 B．太阳和月亮 C．高二年级的学生 D．
【答案】A
【解析】根据命题定义：能判断真假的陈述句，A正确，B、C不是陈述句，D不能判断真假.故选：A.
2．下列四个命题中，假命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
D．从直线外一点作直线的垂线段叫做点到直线的距离．
【答案】ACD
【解析】对于A，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题；对于B，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；
对于C，两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题；
对于D，从直线外一点作这条直线的垂线段，垂线段的长度叫点到直线的距离，故原命题是假命题；故选：ACD.
3．有下列命题，其中正确命题的是（ ）
A．“若，则且”
B．“矩形的对角线相等”
C．“若，则的解集是R”
D．“若是无理数，则a是无理数”
【答案】BD
【解析】A中，有，假命题.
B中，矩形的对角线相等，真命题.
C中，有，显然在时解集不为R，假命题.
D中，若是无理数，则a是无理数，真命题.
故选：BD
4．将“两个奇数的和是偶数”改写成“若，则”的形式为________．
【答案】若两个数是奇数，则它们的和是偶数．
【解析】命题“两个奇数的和是偶数”的条件为“两个奇数”，结论是“这两个数的和是偶数”，因此，原命题改写为“若，则”的形式为“若两个数是奇数，则它们的和是偶数”.
故答案为：若两个数是奇数，则它们的和是偶数.
5．如果，，那么，该命题的结论是_______．
【答案】
【解析】命题“如果，，那么”中的结论是：，
故答案为：．
6．若和或都是假命题，则的范围是__________
【答案】
【解析】若为假命题，则有或
若或是假命题，则
所以的范围是
即的范围是，胡答案为：
7．如图，现有以下三个条件：①//，②，③，请你以其中两个作为条件，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明;若是假命题，请举出反例．
【解析】（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①，所以可构成三个命题.
（2）因为，所以，
因为，所以，所以∥，所以，
所以由①②得到③为真命题；
因为∥，所以，
又因为，所以∥，所以，所以，
所以由①③得到②为真命题；
因为，所以∥，所以，
又因为，所以，
所以∥，所以由②③得到①为真命题．
8．判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
（1）一个钝角与一个锐角的差是锐角；
（2）若，则是的平分线；
（3）若是奇数，则是奇数．
【解析】（1）假命题，例如一个钝角是，一个锐角是，它们的差为，是钝角，而不是一个锐角；
（2）假命题，当不在的内部时，结论不成立；
（3）真命题．证明：记均为自然数．
令，，则均为奇数．
．
为偶数，为奇数，即为奇数，
即若为奇数，则是奇数．
题组C 培优拔尖练
1．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于的方程的一根为，由于两根之和为，则该方程的另一根为，两根异号，合乎题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一根，
由于两根之和为，则另一根也为，两根同号，不合乎题意；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于的方程的两根为和，两根同号，不合乎题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于的方程的两根为和，
两根之和为，不合乎题意.综上所述，甲命题为假命题.故选：A.
2．下列说法正确的是（ ）
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
【答案】D
【解析】对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相等”，则A错误；
对于B，所给语句是命题，则B错误；
对于C，边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形，则C错误；
对于D，当时，，方程x2－4x＋a＝0无实根，则D正确；故选：D
3．设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题：
①；
②；
③；
④.
则假命题是______(填上所有假命题的序号).
【答案】①②③
【解析】对于①，由，可得，故①为假命题；
对于②，由，可得，故②为假命题；
对于③，由，可得，故③为假命题；
对于④，当时，，，
此时满足；
当时，，，
此时满足；故④为真命题；
故答案为：①②③.
4．下列说法正确的是______.（填序号）
①空集是任何集合的真子集；
②函数的值域是，则函数的值域是；
③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个；
④若，则.
【答案】③④
【解析】对于①，根据“空集是任何非空集合的真子集”，可知①错误;
对于②，函数平移可能改变函数的定义域，但值域不变，即函数f(x)的值域是[-2，2]，则函数f(x+1)的值域为[-2，2]，故②错误;
对于③，例如函数f(x) =0 (x∈R)既是奇函数又是偶函数，当改变函数的定义域为关于原点对称的定义域时，都既是奇函数又是偶函数，因此既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个,故③正确;
对于④，若，则，所以A∩B=A，故④正确;故答案为：③④
5．将下列性质定理写成“若，则”的形式，并用必要条件的语言表述：
（1）平面四边形的外角和为；
（2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等.
【解析】（1））平面四边形的外角和为，写成“若，则”的形式：若平面多边形是四边形，则它的外角和为，“外角和为”是“平面多边形是四边形”的必要条件；
（2）在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等，写成“若，则”的形式：在平面直角坐标系中，若两个点关于轴对称，则两个点的横坐标相等，“两个点的横坐标相等”是“两个点关于轴对称”的必要条件.
6．已知A：5x－1＞a，B：x＞1，请确定实数a的范围，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
【解析】若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x＞，则x＞1”，由命题为真命题可知≥1，解得a≥4，即当a≥4时，“若5x－1＞a，则x＞1”为真命题．
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x＞1，则x＞”，由命题为真命题可知≤1，解得a≤4，即当a≤4时，“若x＞1，则5x－1＞a”是真命题．
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