苏教版（2019）高中数学必修第一册 常用逻辑用语(解析版)

第2章 常用逻辑用语
教材知识梳理
命题、定理、定义
1．定义：数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题．
2．分类：
命题
3.定理
在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．
4.定义
(1)定义：是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
(2)特点：是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别．
充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p对应的集合为A，q对应的集合为B，A B，则p是q的充分条件．
必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
全称量词命题否定的关注点
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， (x)．
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．
存在量词命题否定的关注点
(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， (x)．
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．
例题研究
一、命题的真假判断及应用题型探究
例题1
下列是命题的是（ ）
A．平行于同一平面的两条直线一定平行吗？ B．作的角平分线
C． D．今天心情真好
例题2
以下命题：
①对于定义在上的函数，若，则一定不是偶函数；
②幂函数图象与坐标轴无公共点的充要条件是；
③函数只有两个零点；
④存在周期函数无最小正周期.
其中，假命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
跟踪训练
训练1
设原命题：若，则中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）
A．原命题与逆命题均为真命题 B．原命题真，逆命题假
C．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为真命题
训练2
某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么
A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立
二、充分条件、必要条件与充要条件
题型探究
例题1
已知向量与，则“”是“，共线且方向相反”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题2
下列说法正确的是（ ）
A．“”是“x=2019”的充分条件 B．“x=-1”的充分不必要条件是“”
C．“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数” D．若，则
跟踪训练
训练1
已知偶函数在上单调递减，对实数a，b，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
训练2
若：；：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
全称命题的真假求参数
题型探究
例题1
下列全称命题的否定形式中，假命题的个数是（ ）
（1）所有能被3整除的数能被6整除；（2）所有实数的绝对值是正数；（3），的个位数不是2.
A．0 B．1 C．2 D．3
例题2
已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练
训练1
已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
训练2
下列说法中正确的个数是（ ）
（1）若命题，，则，；
（2）命题在中，，则为真命题；
（3）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件；
（4）中，若，则为真命题.
A． B． C． D．
综合式测试
选择题
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
3．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，下列说法正确的是
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
5．在中，角，，所对的边分别为，，，则“”，是“为锐角三角形”的（ ）条件
A．充分必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
6．已知，，若p是q的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．，一元二次方程有实根
B．每个正方形都是平行四边形
C．
D．存在一个四边形，其内角和不等于360°
8．已知，陈述句：关于的一次不等式与有相同的解集；陈述句：“”；则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
填空题
9．下列说法正确的是______.
①独立性检验中，为了调查变量与变量的关系，经过计算得到，表示的意义是有99%的把握认为变量与变量有关系；
②在处取极值，则；③是成立的充要条件.
10．设m，，，，若“对于一切实数x，”是“对于一切实数x，”的充分条件，则实数m的取值范围是___________.
11．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.
解答题
12．已知集合，.
（1）求集合；
（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
13．已知命题:对，不等式恒成立；命题，使得成立.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）当时，若命题和命题有且仅有一个为真，求的取值范围.
14．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.
第2章 常用逻辑用语答案
教材知识梳理
命题、定理、定义
1．定义：数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题．
2．分类：
命题
3.定理
在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．
4.定义
(1)定义：是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
(2)特点：是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别．
充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p对应的集合为A，q对应的集合为B，A B，则p是q的充分条件．
必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
全称量词命题否定的关注点
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， (x)．
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．
存在量词命题否定的关注点
(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， (x)．
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．
例题研究
一、命题的真假判断及应用
题型探究
例题1
下列是命题的是（ ）
A．平行于同一平面的两条直线一定平行吗？
B．作的角平分线
C．
D．今天心情真好
【答案】C
【分析】根据命题的概念依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对于A，是疑问句，由命题定义可知不是命题，
对于B，不是陈述句，由命题定义可知不是命题，
对于C，，由命题的定义知是假命题，
对于D，是感叹句，不是陈述句，由命题定义可知不是命题.
故选：C
【考点】考查命题的判断
例题2
以下命题：
①对于定义在上的函数，若，则一定不是偶函数；
②幂函数图象与坐标轴无公共点的充要条件是；
③函数只有两个零点；
④存在周期函数无最小正周期.
其中，假命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】B
【分析】
对于①：当时可能是偶函数，即可判断①，对于②：利用幂函数的性质即可判断，对于③：结合与图象的交点个数即可判断，对于④：举例子，如常函数是周期函数，但没有最小正周期，可以判断④.
【详解】
对于①：当时，比如是偶函数，故①是假命题；
对于②：当时，幂函数图象与坐标轴无公共点，故②是假命题；
对于③：在上单调递增，在单调递减，在单调递增，两个函数图象在有一个交点，在交点的坐标为，，所以有3个交点，故③是假命题；
对于④：常函数是周期函数，但没有最小正周期，故④是真命题.
所以①②③是假命题，假命题有3个，
故选：B
【考点】考查判断命题的真假，考查了函数的奇偶性的定义，幂函数的性质，以及周期函数的定义，属于中档题.
跟踪训练
训练1
设原命题：若，则中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）
A．原命题与逆命题均为真命题 B．原命题真，逆命题假
C．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为真命题
【答案】B
【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真.
【详解】
原命题的逆否命题为：若中没有一个大于等于1，则，
等价于“若，则”，显然这个命题是对的，所以原命题正确；
原命题的逆命题为：“若中至少有一个不小于1，则”，取则中至少有一个不小于1，但，所以原命题的逆命题不正确.
【考点】至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.
训练2
某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么
A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立
【答案】C
【分析】
写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.
【详解】
由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，
由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选C.
【考点】考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，属于中等题.
二、充分条件、必要条件与充要条件
题型探究
例题1
已知向量与，则“”是“，共线且方向相反”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由向量共线的坐标运算可得，，得到，共线，方向相同或相反；反之，，共线且方向相反，得到，.
【详解】
由，，且，共线，
得，解得.
当时，，，，共线且方向相同；
当时，，，，共线且方向相反.
∴“”是“，共线且方向相反”的必要不充分条件.
故选：B.
【考点】考查必要不充分条件的判定.
例题2
下列说法正确的是（ ）
A．“”是“x=2019”的充分条件 B．“x=-1”的充分不必要条件是“”
C．“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数” D．若，则
【答案】D
【分析】根据充分、必要条件的定义，可以判断选项的真假，根据不等式性质可以判断选项的真假．
【详解】
对于选项A，，所以“”是“x=2019”的必要条件；
对于选项B，，解得或，所以“x=-1”的必要不充分条件是“”；
对于选项C，“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”；
对于选项D，，所以，即，所以．
故选：D．
【考点】考查充分、必要条件的定义应用
跟踪训练
训练1
已知偶函数在上单调递减，对实数a，b，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解.
【详解】
解： 偶函数在上单调递减，
在上单调递增，且，的最大值在处取到，
，，，充分性成立；
又，，，也符合，
不一定是，因而必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【考点】考查函数的奇偶性为背景，考查充分条件与必要条件的判断
训练2
若：；：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】构造辅助函数，利用函数的单调性和充分、必要条件的概念，即可得到结果.
【详解】
令，则为上的单调递增函数，
若，则，即，所以，所以是的必要条件；
反之，若，则，所以，即，所以是的充分条件，所以是的充要条件.
故选：C.
【考点】考查函数单调性在大小比较中的应用，同时考查了充分必要条件的应用，属于中档题.
全称命题的真假求参数
题型探究
例题1
下列全称命题的否定形式中，假命题的个数是（ ）
（1）所有能被3整除的数能被6整除；（2）所有实数的绝对值是正数；（3），的个位数不是2.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
（1）写出原命题的否定形式，再举例判断即可；
（2）写出原命题的否定形式，再举例，，不是正数，判断即可；
（3）由特殊值可知，的个位数不是2，写出其否定形式，可判断（3）．
【详解】
（1）“所有能被3整除的数能被6整除”的否定形式为“存在能被3整除的数不能被6整除”正确，如3，是能被3整除，不能被6整除的数，故（1）的否定形式正确；
（2）所有实数的绝对值是正数，其否定为：，，不是正数，故（2）的否定形式正确；
（3）因为，，，，，，，，，，
所以，的个位数不是2的否定形式为：，的个位数是2，错误．
综上所述，以上全称命题的否定形式中，假命题的个数是1个，
故选：B．
【考点】考查命题的真假判断与应用，写出全称命题的否定形式是关键，属于中档题．
例题2
已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可知，命题“，”是真命题，分和两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】
由题意可知，命题“，”是真命题.
当时，则有，不合乎题意；
当时，由，可得，则有，
，当且仅当时，等号成立，
所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【考点】利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
跟踪训练
训练1
已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得命题为真命题时的取值范围，由此求得命题为假命题时的取值范围.
【详解】
先求当命题：，为真命题时的的取值范围
（1）若，则不等式等价为，对于不成立，
（2）若不为0，则，解得，
∴命题为真命题的的取值范围为，
∴命题为假命题的的取值范围是.
故选：C
【考点】考查根据全称量词命题真假性求参数的取值范围.
训练2
下列说法中正确的个数是（ ）
（1）若命题，，则，；
（2）命题在中，，则为真命题；
（3）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件；
（4）中，若，则为真命题.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用特称命题的否定可判断命题（1）；取特殊值可判断命题（2）；取可判断命题（3）；利用大边对大角结合正弦定理边角互化思想可判断命题（4）.综合可得出结论.
【详解】
对于命题（1），命题的否定为，，命题（1）错误；
对于命题（2），在中，取，则，命题（2）错误；
对于命题（3），取，则等比数列的公比，但数列是递减数列，
所以，“”不是“为递增数列”的充分条件，命题（3）错误；
对于命题（4），在中，若，则，由正弦定理得.
命题（4）正确.
故选：B.
【考点】考查命题真假的判断，考查了特称命题的否定、充分不必要条件的判断，考查推理能力
综合式测试
选择题
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.
【详解】
根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.
故选：C
2．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】令，分别讨论，，时，结合二次函数的图象得出的等价条件，即可求解
【详解】
令，
因为“，使得成立”是真命题，
当时，不成立，
当时，是开口向上的抛物线，
若只需要，解得或，
因为，所以，
当时，是开口向下的抛物线，
此时一定，使得，
所以符合题意，
综上所述：实数的取值范围是或，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是借助二次函数与二次不等式的关系得出满足的条件.
3．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出命题为真时对应的的范围，然后由集合包含关系得结论．
【详解】
，则或，即命题为真对应集合或，
，则，命题为真对应集合，对应集合，
易知是的真子集，∴是的充分不必要条件．
故选：A．
【考点】考查充分不必要条件的判断
一般可根据如下规则判断：命题对应集合，命题对应的集合，则
（1）是的充分条件；
（2）是的必要条件；
（3）是的充分必要条件；
（4）是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系．
4．设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，下列说法正确的是
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
【答案】B
【分析】对式子平方转化成关于的二次函数，再利用最小值为1，得到，进而判断与之间的关系。
【详解】
.
因为，所以.
所以，所以，即.所以确定，唯一确定.
故选B.
5．在中，角，，所对的边分别为，，，则“”，是“为锐角三角形”的（ ）条件
A．充分必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先化简，再利用充分必要条件的定义分析判断得解.
【详解】
中，，
，
即，
，因为，
，所以为锐角.
当为锐角时，不一定为锐角三角形；当为锐角三角形时，一定为锐角.
所以“”是“为锐角三角形”的必要非充分条件.
故选：C
【点睛】判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.我们要根据实际情况灵活选择方法
6．已知，，若p是q的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将命题，化简，利用集合法列出不等式，即可求出的取值范围.
【详解】
由，得，所以，
由，得，所以，
若p是q的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以，解得.
故选：B
【考点】考查已知必要不充分条件求参数范围，关键是将必要不充分条件正确的转化为集合之间的真包含关系，属于中档题.
7．下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．，一元二次方程有实根
B．每个正方形都是平行四边形
C．
D．存在一个四边形，其内角和不等于360°
【答案】D
【分析】对A，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由正方形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对D，特称命题的否定为全称命题，由四边形的内角和计算即可判断真假．
【详解】
解：对A，，一元二次方程有实根，
其否定为：，一元二次方程无实根，
由△，可得原命题为真命题，命题的否定为假命题；
对B，每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形，
原命题为真命题，其否定为假命题；
对C，，，其否定为：，，
由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题；
对D，存在一个四边形，其内角和不等于，其否定为任意四边形，其内角和等于，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为，
可得原命题为假命题，其否定为真命题．
故选：D.
【考点】考查命题的真假判断，主要是命题的否定．
8．已知，陈述句：关于的一次不等式与有相同的解集；陈述句：“”；则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】本题首先可根据得出、、以及，然后判断“不等式与有相同的解集”能否证明“”以及“”能否证明“不等式与有相同的解集”，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，，，，
若不等式与有相同的解集，则与同号且，
故不等式与有相同的解集可以证得，是的充分条件，
因为无法说明与同号，
所以无法证得不等式与有相同的解集，不是的必要条件,
综上所述，是的充分非必要条件，
故选：A.
【考点】考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题若则，如果可证明，则说明是的充分条件，如果可证明，则说明是的必要条件
填空题
9．下列说法正确的是______.
①独立性检验中，为了调查变量与变量的关系，经过计算得到，表示的意义是有99%的把握认为变量与变量有关系；
②在处取极值，则；③是成立的充要条件.
【答案】①②
【分析】①根据的意义作出判断即可；②分析导函数，根据求解出的值后再进行验证；③根据与互相推出的情况作出判断.
【详解】
①因为变量与变量没有关系的概率为，所以有99%的把握认为变量与变量有关系，故正确；
②由题意知且，所以，所以，
所以，令，所以，
当时，，当时，，所以在取极值，故正确；
③当时不一定有，如；当时，则有，
所以是成立的必要不充分条件，故错误，
故答案为：①②.
10．设m，，，，若“对于一切实数x，”是“对于一切实数x，”的充分条件，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先求出和恒成立时的范围，然后根据充分条件的定义求解．
【详解】
在上恒成立，则，解得，
在上恒成立，首先都不可能恒成立，因此，解得，
∵“对于一切实数x，”是“对于一切实数x，”的充分条件，
∴，解得．
故答案为：．
【考点】考查由充分条件求参数范围，充分条件与必要条件问题可以利用集合的包含关系进行求解．
11．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据“， ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a的取值范围．
【详解】
解：∵命题“， ”是假命题，
∴，是真命题，
即使不等式有解；
所以，解得：或.
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
【考点】考查根据特称命题与全称命题的真假求参数
解答题
12．已知集合，.
（1）求集合；
（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】（1），；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解法求解即可得答案；
（2）选：①充分不必要条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；
选：②必要不充分条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；
选：③充要条件，则，再根据集合关系求解即可；
【详解】
解：（1）不等式，故，
不等式，由于，
故
（2）选：①充分不必要条件
由（1）知，，
因为若是成立的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集；
所以，解得，
所以实数的取值范围为：
选：②必要不充分条件
由（1）知，，
因为若是成立的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集；
所以，解得，又因为，故
所以实数的取值范围为：；
选：③充要条件
由（1）知，，
因为若是成立的充要条件，所以，
所以，方程组无解.
所以不存在实数使得是成立的充要条件；
【考点】考查充分不必要条件的判断
一般可根据如下规则判断：
（1）若是qq的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是qq的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是qq的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是qq的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
13．已知命题:对，不等式恒成立；命题，使得成立.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）当时，若命题和命题有且仅有一个为真，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1），即，可解出实数的取值范围；
（2）先求出命题为真命题时实数的取值范围，再分析出命题、中一个是真命题，一个是假命题，即可的得出实数的取值范围.
【详解】
（1）∵对任意，不等式恒成立，
，即，即，解得，
因此，若为真命题时，实数的取值范围是.
（2），且存在，使得成立，，命题为真时，.
因为、中一个是真命题，一个是假命题．
当真假时，则，解得；
当假真时，，即.
综上所述，的取值范围为.
【考点】考查利用命题的真假、利用复合命题的真假求参数问题，解题的关键就是要确定简单命题的真假
14．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定，一真一假，结合（1），再化简命题q,即可求出的取值范围.
【详解】
对于：成立，而，有，
∴，∴.
：存在，使得不等式成立，只需，
而，∴，∴；
（1）若为真，则；
（2）若为假命题，为真命题，则，一真一假.
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则，所以.
综上，或.
【考点】考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题
6 / 35