《命题、定理、定义》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 命题的定义
一、选择题
1.下列语句是命题的是（ ）
①三角形内角和等于180°；
②；
③一个数不是正数就是负数；
④；
⑤这座山真险啊！
A.①②③
B.①③④
C.①②⑤
D.②③⑤
二、解答题
2.判断下列语句是不是命题，并说明理由：
（1）一是有理数
（3）梯形是不是平面图形呢？
（4）若，则；
（5）一个数的算术平方根一定是负数；
（6）若a与b是无理数，则ab是无理数.
必备知识2 命题的结构形式.
一、解答题
3.将下列命题改写成“若p，则q”的形式：
（1）末位数字是0或5的整数，能被5整除；
（2）方程有两个实数解.
4.将下列命题改写成“若p，则q”的形式：
（1）已知，得
（2）方程的解为或.
关键能力练
关键能力1 命题的真假判断
一、解答题
5.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假：
（1）实数的平方是非负数；
（2）等底等高的两个三角形是全等三角形；
（3）当时，；
（4）角平分线上的点到角的两边的距离相等.
6.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假：
（1）6是12和18的公约数；
（2）时，关于x的方程有两个不相等的实数根；
（3）平行四边形的对角线互相平分；
（4）已知x，y均为非零自然数，当时，.
关键能力2 已知命题的真假求参数的取值范围
一、填空题
7.若“关于x的方程有两个不相等的实数根”是真命题，则实数a的取值范围是_______.
8.已知命题“若，则是假命题，求实数a满足的条件.
参考答案
1.
答案：A
解析：依据命题的定义，得①②③为命题.
2.
答案：见解析
解析：（1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题.
（2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题.
（3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题.
（4）“若则”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题.
（5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题.
（6）“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题.
3.
答案：见解析
解析：（1）若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除.
（2）若一个方程是，则它有两个实数解.
4.
答案：见解析
解析：（1）若，则.
（2）若，则或.
5.
答案：见解析
解析：（1）若一个数是实数，则它的平方是非负数.真命题.
（2）若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.假命题.
（3）若，则，假命题.
（4）若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等.真命题.
6.
答案：见解析
解析：（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数真命题.
（2）若，则关于x的方程有两个不相等的实数根.假命题.
（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分真命题.
（4）已知x，y均为非零自然数，若，则，.假命题.
7.
答案：且
解析：由题意知解得且.
8.
答案：见解析
解析：因为命题“若，则”为假命题，
所以当时，有，即.
因为，所以.
所以.
1 / 4《命题、定理、定义》智能提升
一、选择题
1.命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是（ ）
A.这个四边形的对角线互相平分
B.这个四边形的对角线互相垂直
C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D.这个四边形是平行四边形
2.“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是（ ）
A.红豆生南国
B.春来发几枝
C.愿君多采撷
D.此物最相思
3.“若，则p”为真命题，那么p是（ ）
A.
B.
C.
D.或
二、填空题
4.给出下面三个命题，其中是真命题的个数是_______.
（1）若，则
（2）若，则
（3）若，则
5．将命题“周长相等的两个三角形全等”写成“若p，则q”的形式为______.
6.命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是_________.结论是_______.
三、解答题
7.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假：
（1）正n边形的n个内角全相等；
（2）负数的立方是负数.
（3）已知x，y均为正整数，当时，,.
8.已知“关于x的方程有解”是真命题，求a，b满足的条件.
9.已知，，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题.
参考答案
1.
答案：C
解析：该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”.
2.
答案：A
解析：“红豆生南国”是陈迷句，所述事件在唐代是事所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题.
3.
答案：A
解析：解得，是.
4.
答案:3
解析：两个正数，较大数的倒数小于较小数的倒数且都大于0，故（1）是真命题；两个负数，较大数的倒数小于较小数的倒数，且都小于0，故（2）是真命题；正数的倒数大于负数的倒数，故（3）是真命题所以真命题的个数为3.
5.
答案：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等
6.
答案：两条直线垂直于同一个平面这两条直线平行
7.
答案：见解析
解析：（1）若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题.
（2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题.
（3）已知x，y均为正整数，若，则，是假命题.
8.
答案：见解析
解析：因为有解，
所以当时，有解，且只有时，方程有解.
当时，方程为一元二次方程，有解的条件为.
综上可知，当或时，关于x的方程有解.
9.
答案：见解析
解析：若视A为p，B为q，则命题“若p，则q”为“若，则”，即“若，则
”.
由命题为真命题可知，解得；
若视B为p，A为q，则命题“若p，则q”为“若，则”，即“若，则
由命题为真命题可知，解得.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取，则有真命题“若，则”
1 / 4《命题、定理、定义》同步练习
一、选择题
1.下列语句:
①是有理数吗
②一个数不是正数就是负数；
③若为有理数，则x，y都是有理数
④作；
⑤等边三角形是特殊的等腰三角形
其中为命题的个数是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
2.下列命题：
①已知a，b，c，，若，则；
②若，则成立；
③若，则关于x的方程无实数根；
④存在一个三角形没有外接圆.
其中为真命题的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
3.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
二、填空题
4.给出下列语句，其中不是命题的是_______.（填序号）
①是无限循环小数
②
③当时，；
④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
⑤一个数不是奇数就是偶数.
5.下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若，则；
③若，则；
④矩形的对角线互相垂直
其中假命题的个数是________.
6.有下列命题
①22340能被5整除
②不存在，使得；
③对任意的实数x，均有
④方程有两个不相等的实数根.
其中是真命题的是_________（填序号）.
三、解答题
7.将下列命题改写成“若p，则q”的形式：
（1）末位数字是0或5的整数，能被5整除；
（2）方程有两个实数根
8.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
（1）当时，；
（2）当时，关于x的方程无实数解；
（3）当时，或.
9.判断下列命题的真假：
（1）如果，那么；
（2）是方程的根.
参考答案
1.
答案：B
解析：①是疑问句，不是命题②是命题，且是假命题因为0既不是正数，也不是负数③是命题，且是假命题如，④是祈使句，不是命题⑤是命题，且是真命题命題是②③⑤，故命题的个数为3.
2.
答案：B
解析：①假命题，反例：，而.②假命题.反例：当时，不成立.③真命题.无实数根命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
3.
答案：A
解析：A正确；B中，由，得，所以B是假命题；C中，当时，结论不成立，所以C是假命题；D中，如时，结论不成立，所以D是假命题.
4.
答案：②④
解析：判断一个语句是不是命題，就是要看它是否符合“能判断真假”和“陈述句”这两个要点②虽然是述句，但无法判断它的真假，所以不是命题④不是陈述句，所以不是命题.
5.
答案：4
解析：①等底等高的三角形都是面积相等的三角形但它们不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，；③当时，不成立；④矩形的对角线不一定垂直.
6.
答案：①②③
解析：易知①②③均为真命题，④中，，方程无实数根，因而④为假命题.
7.
答案:见解析
解析：（1）若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除.
（2）若一个方程是，则它有两个实数根.
8.
答案：见解析
解析:（1）若，则.
，，原命题是假命题.
（2）若，则关于x的无实数解.
，原命题是真命题.
（3）若，则或，原命题是真命题.
9.
答案:见解析
解析：当时，如果，那么；
当时，如果，那么；
当或时，或无意义.
（2）真命题.
时，成立.
故是方程的根.
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