苏教版（2019）高中数学必修第一册《充分条件、必要条件、充要条件》课时同步练习（含答案）

《充分条件、必要条件、充要条件》课时同步详解
问题情境导入
现在的招聘一般由资格审查、笔试、面试三部分构成如果你在招聘中已通过了资格审查和笔试，那么你是否一定能通过面试？是否一定能求职成功？
新课自主学习
自学导引
1.如果“”，那么称p是q的_______，也称q是p的_______.
2.如果，且，那么称p是q的______.简称为p是q的________.也称q的充要条件是p，记作_______.
3.如果，，那么_____；如果，，那么______.
4.性质定理具有“_______”，判定定理具有“_______”.
答案
1.充分条件 必要条件
2.充分且必要条件 充要条件
3.
4.必要性 充分性
预习测评
1若，，则“”是“”的（ ）
A.充分条件
B必要条件
C.充要条件
D.无法判断
2.下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是（ ）
A.若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则
B.若x是无理数，则也是无理数
C.若，则
D.若，则
3.设A，B是两个集合，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.“函数的图象与y轴交于负半轴”的充要条件是_______.
答案
1.
答案：A
解析：如图，结合数轴可知，从而由可推出，反之不成立
2.
答案：A
解析：令，可排除选项B；令，，可排除选项C；令，，可排除选项D.
3.
答案：C
解析：是的充要条件.
4.
答案:
解析：函数的图象与y轴交于负半轴，则令，可知.
新知合作探究
探究点1 充分条件
知识详解
如果，那么称p是q的充分条件，
[特别提示]
（1）对于的理解
①“若p，则q”形式的命题为真命题；
②由条件p可以得到结论q；
③p是q的充分条件或q的一个充分条件是p；
④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，但这并不意味着由条件p只能推出结论q一般来说给定条件p，由p可以推出的结论q不是唯一的.
（2）若“”，则p不是q的充分条件.
典例探究
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若x为无理数则，为有理数.
解析 判断命题“若p，则q”的真假，从而判断p是否q的充分条件.
答案 由定义知：若（即命题为真时），则p是的充分条件易知（1）（2）是真命题；当时，，为无理数，所以（3）是假命题.
故命题（1）（2）中的p是q的充分条件.
方法总结
1.判定p是q的充分条件，就是判定命题“若p，则q”为真命题.
2.p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立.但条件不成立时，结论q未必不成立.当时，成立，但当时，也可能成立，即当时，也成立，所以“”是“”的充分条件，“”也是“”的充分条件.
变式训练1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若，则；
（3）若，则.
答案 （1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件.
（2），但，，所以p不是q的充分条件.
（3）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件综上可知，命题（1）（3）中的p是q的充分条件.
探究点2 必要条件
知识详解
如果“”，那么称q是p的必要条件.
[特别提示]
（1）“q是p的必要条件”换种说法即“p的一个必要条件是q”.
（2）若“”，则q不是p的必要条件.
（3）“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即“”，只是说法不同.
（4）不能将“若p，则q”与“”混为一谈，只有“若p则q”为真命题时，才有“”，反之亦然.
典例探究
例2 下列命题中是真命题的是（ ）
①“”是“”的必要条件；
②“”是“”的必要条件；
③“”是“”的必要条件.
A.①②
B.②③
C.②
D.①
解析 ，故①是真命题；故②是假命题；故③是假命题.
答案 D
方法总结
1.判定q是p的必要条件，就是判定命题“若p，则q”为真命题.
2.q是p的必要条件的理解要点：
（1）如果q不成立，那么p一定不成立.
（2）如果p是q的充分条件，那么q一定是p的必要条件.
（3）真命題的条件是真命题的结论的充分条件；真命题的结论是真命题的条件的必要条件.因此，只有一个命题“若p，则q”是真命题时，才能说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
3.推出符号“”的理解.
只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“”.
变式训练2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别平行；
（2）若，则；
（3）若，则.
答案 （1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以q是p的必要条件.
（2）显然，，所以q是p的必要条件.
（3）由于，但，故判，所以q不是p的必要条件.
综上可知，命题（1）（2）中的q是p的充分条件.
探究点3 充要条件
知识详解
1.定义：如果，且，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件.记作.
2.条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
典例探究
例3 “”是“关于x的方程至少有一个负实数根”的（ ）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当时，方程，即，故此一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根，符合题意；当方程至少有一个负实数根时，a不可以为0，从而，所以.由上述推理可知，“”是“关于x的方程至少有一个负实数根”的充要条件.
答案 C
变式训练3 下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为_______.（填序号）
①已知a，，，；
②，.
答案 ①②
点拨 ①若，则，即；若，则，即，故，所以p是q的充要条件.
②由于，所以p是q的充要条件.
易错易混解读
例 下列说法正确的是（ ）
A.是的充分条件
B.是的必要条件
C.的一个充分条件是
D.的一个必要条件是
错解 因为，所以是的必要条件，即的一个必要条件是，故选D.
错因分析 本题错在不能正确辨析两种说法：“是的必要条件”与“的一个必要条件是”.
正解 因为，所以是的充分条件，即的一个充分条件是，故选C.
纠错心得 理解充分条件与必要条件的概念，注意同含义下的等价表述.
课堂快速检测
1.使四边形为菱形的充分条件是（ ）
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直平分
2.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知，，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.用符号“”与“”填空
（1）_____;
（2）_____
答案
1.
答案：D
解析：因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分，所以对角线互相垂直平分是四边形是菱形的充要条件.
2.
答案：B
解析：解方程，得或，故“”是“”的必要不充分条件.
3.
答案：C
解析：①充分性：当时，成立；②必要性：当时，，即，解得，，经检验，当时不成立，故舍去，则，所以p是q的充要条件.
4.
答案：（1） （2）
解析：化为，或，是的充分条件，但不是必要条件.（2），而或，是的必要条件，但不是充分条件.
要点概括整合
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