2.2 充分条件、必要条件、充要条件
【基础过关】
充分条件、必要条件、充要条件的判断
1.若x∈R,则“|x|>1”是“x>1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.“k>0”是“一次函数y=kx+b(k,b是常数)的值随x的增大而增大”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.若集合A={1,m2},B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
5.“A∩B={2}”是“2∈A且2∈B”的 条件.
充分条件、必要条件、充要条件的探究
6.使得“x>0”成立的一个充分不必要条件是( )
A.|x|>1 B.x2>0
C.≤2 D.≥0
7.设全集为U,在下列条件中,是“B A”的充要条件的有( )
①A∪B=A;②( UA)∩B= ;③ UA UB;④A∪ UB=U.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.“x>5”的一个充分不必要条件可以是 .
9.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的值(取值范围)
10.若条件p:|x|<2,条件q:x
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
11.已知p:0A.(-1,0) B.[2,3] C.(2,3) D.[-1,0]
12.已知A={x|y=},B={x|x≤m+1},若x∈A是x∈B的必要条件,则实数m的取值范围是 .
13.已知集合A={x|x<4},B={x|x14.已知集合A={x∈R|0答案全解全析
2.2 充分条件、必要条件、充要条件
【基础过关】
1.B 因为|x|>1 x>1或x<-1,
所以|x|>1 /x>1,而x>1 |x|>1,
所以若x∈R,则“|x|>1”是“x>1”的必要不充分条件.
2.C 当k>0时,一次函数y=kx+b(k,b是常数)的值随x的增大而增大,反之也成立.故“k>0”是“一次函数y=kx+b(k,b是常数)的值随x的增大而增大”的充要条件.
3.A 根据题意,由于集合A={1,m2},B={3,4},当m=2时,可知A∩B={4},故由条件能推出结论,反之,当A∩B={4}时,m=2或m=-2,由结论不能推出条件,所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
4.C 当a=3时,A B,但当A B时,a=2或a=3,所以“a=3”是“A B”的充分不必要条件.
5.答案 充分不必要
解析 若A∩B={2},则2∈A且2∈B一定成立,
但是若2∈A且2∈B,则集合A和集合B中还可能有其他公共元素,即A∩B={2}不一定成立, 故“A∩B={2}”是“2∈A且2∈B”的充分不必要条件.
6.D 对于A选项,由|x|>1,得x<-1或x>1,则“|x|>1”是“x>0”成立的既不充分又不必要条件;对于B选项,由x2>0,得x≠0,则“x2>0”是“x>0”成立的必要不充分条件;对于C选项,由≤2,得x<0或x≥,则“≤2” 是“x>0”成立的既不充分又不必要条件;对于D选项,由≥0,得x≥1,则“≥0”是“x>0”成立的充分不必要条件.故选D.
7.D ①∵A∪B=A,
∴B A,反之也成立,符合题意,结合Venn图可知②③④也符合题意,故选D.
8.答案 x>6(答案不唯一)
解析 设“x>5”的一个充分不必要条件是x>a,则a>5,所以“x>5”的一个充分不必要条件可以是“x>6”.
9.证明 充分性:当a+b+c=0时,c=-a-b.
∴ax2+bx+c=ax2+bx-(a+b)=(x-1)·(ax+a+b)=0.
∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1;
必要性:∵ax2+bx+c=0有一个根为1,
∴x=1满足方程,代入得a+b+c=0.
综上,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
10.A ∵|x|<2,∴x∈(-2,2),
∵p是q的充分不必要条件,∴a≥2.
11.C ∵p是q的必要不充分条件,
∴所以2故实数a的取值范围是(2,3).
12.答案 (-∞,0]
解析 由已知,得A={x|y=}={x|x≤1},B={x|x≤m+1}.
∵x∈A是x∈B的必要条件,
∴B A,
∴m+1≤1,解得m≤0,即实数m的取值范围是(-∞,0].
13.答案 (-∞,4)
解析 由题意,得集合B是集合A的真子集,又由A={x|x<4},B={x|x14.解析 由题意,得A B.
由集合A得,-1①当a>0时,
由(※)得A=,
若A B,则或
解得a>1;
②当a<0时,有A=,
若A B,则解得a<-2.
综上,所求实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).
1 / 12.2 充分条件、必要条件、充要条件
能力提升
充分条件、必要条件、充要条件的判断
1.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望,不到蓬莱不是仙.”其中后一句“是仙”是“到蓬莱”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.若x∈R,则“2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.(多选)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中真命题是( )
A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C.“a<5”是“a<3”的必要条件
D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
4.如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数.例如[3.27]=3,[0.6]=0,那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
5.若a∈R,则“a=2”是“集合{(x,y)|y=x+a}∩{(x,y)|y=a|x|}的子集恰有4个”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
6.若全集为R,数集A,B在数轴上如图所示,则“x B”是“x∈A”的 条件.
充分条件、必要条件、充要条件的探究
7.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是( )
A.m∈ B.m≠0
C.m∈ D.m∈
8.(多选)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以是( )
A.n=4 B.n=-5
C.n=-1 D.n=-12
9.证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的值(取值范围)
10已知命题p:A={x|2A.a<2 B.a≤2
C.a<4 D.a≤4
11.若不等式|x-m|<1成立的一个充分不必要条件是≤x≤,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.若“x>k”是“<1”的充分不必要条件,则实数k的取值范围是 .
13.已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|a≤x≤8}.
(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5答案全解全析
2.2 充分条件、必要条件、充要条件
能力提升
1.A ∵不到蓬莱 不是仙,∴是仙 到蓬莱,∴“是仙”是“到蓬莱”的充分条件,但“到蓬莱”是不是“仙”不确定,因此“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条件.
2.A 命题23.CD 对于A,因为“a=b”时,ac=bc成立.当ac=bc,c=0时,a=b不一定成立,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故A错.对于B,a=-1,b=-2,满足a>b,但a2b2,但ab”是“a2>b2”的既不充分又不必要条件,故B错.对于C,因为“a<3”时一定有“a<5”成立,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,C正确.对于D,“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,D正确.故选CD.
4.B 若[x]=[y],可设[x]=a,[y]=a,a∈Z,x=a+b,y=a+c,b,c∈[0,1),∴x-y=b-c,
又∵b,c∈[0,1),∴-c∈(-1,0],b-c∈(-1,1), 即|x-y|<1成立,充分性成立;
若|x-y|<1,如x=1.5,y=2.4,满足|x-y|<1,但[x]=1,[y]=2,[x]≠[y],故必要性不成立.
所以“[x]=[y]”是“|x-y|<1”的充分不必要条件.
5.C 当a=2时,集合为{(x,y)|y=x+2}∩{(x,y)|y=2|x|},画出两个函数图象如图所示:
y=x+2与y=2|x|的图象有2个交点,所以{(x,y)|y=x+a}∩{(x,y)|y=a|x|}有两个元素,则有4个子集,所以充分性成立;
若集合{(x,y)|y=x+a}∩{(x,y)|y=a|x|}的子集恰有4个,则两个函数的图象必有2个交点,得满足条件的a的取值范围为a>1,所以必要性不成立.
综上可知, “a=2”是“集合{(x,y)|y=x+a}∩{(x,y)|y=a|x|}的子集恰有4个”的充分不必要条件.故选C.
6.答案 充分不必要
解析 由题图可知A∩B≠ ,A∪B=R,∴ RB A,
∴“x B”是“x∈A”的充分不必要条件.
7.D 由已知得A={x|x2+x-6=0}={2,-3},
若B= ,则B A,此时m=0.
若B≠ ,则B={2}或{-3},
当B={2}时,m=-;
当B={-3}时,m=.
所以满足B是A的真子集的m的取值集合为.由选项知使B A的一个充分不必要条件是m∈.
8.BCD 设y=x2+4x+n,函数的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为直线x=-2,
要使一元二次方程x2+4x+n=0有正数根,则满足当x=0时,y<0,即n<0.
所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以是选项B、C、D.
9.证明 充分性(由ac<0推证方程有一个正根和一个负根):
∵ac<0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,
∴原方程一定有两个不相等的实数根,
不妨设为x1,x2,则x1x2=<0,
∴原方程的两个根异号,
即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.
必要性(由方程有一个正根和一个负根推证ac<0):
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,不妨设为x1,x2,
∴由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0,
此时Δ=b2-4ac>0,满足原方程有两个不相等的实数根.
综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
10.D 因为命题p:A={x|2,即a<2x在x∈(2,3)上恒成立,
故a的取值范围是a≤4.故选D.
11.B 由不等式|x-m|<1,解得m-1因为不等式|x-m|<1成立的一个充分不必要条件是≤x≤,
则解得-,
故实数m的取值范围是.
12.答案 [3,+∞)
解析 解不等式<1,可得x<0或x>3.
由题意可得(k,+∞) [(-∞,0)∪(3,+∞)],所以k≥3.
故实数k的取值范围是[3,+∞).
13.解析 (1)M∩P={x|5所以实数a的取值范围是{a|-3≤a≤5}.
(2)由(1)知,M∩P={x|5则{a|-3≤a≤5}的非空真子集都是M∩P={x|5a=0是所求的一个充分不必要条件.(答案不唯一)
(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5当{a|a≤5}时,不一定有M∩P={x|5但是M∩P={x|5故{a|a≤5}是所求的一个必要不充分条件.(答案不唯一)
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