《充分条件、必要条件、充要条件》同步练习
一、选择题
1.已知，则“”是“”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.的一个充分不必要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.已知集合，，则“”是“”的_______.条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”既不充分也不必要”）
5.设，，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是 ______.
6.设，关于x的一元二次方程有整数根的充要条件是_______.
三、解答题
7.下列各组命题中，p是q的什么条件？（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）
（1）中有两个角相等，是正三角形；
（2）若a，，，.
8.已知a，b都是正整数，请写出“成立”的充要条件.
9.设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，求证：关于x的方程与有公共根的充要条件是.
参考答案
1.
答案：D
解析：因为可化为，解得或，所以由“”推不出“或”，同时由“或”也推不出“”，从而“”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件.
2.
答案：A
解析：由得；反之，如，，则，故.
3.
答案：D
解析：，而.
4.
答案：充分不必要
解析：，或2，故“”是“”的充分不必要条件.
5.
答案：
解析：因为p是q的充分条件，所以，得.
6.
答案：3或4
解析：解，得，因为x是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知，4符合题意；反之，，4时，都可推出一元二次方程有整数根.
7.
答案：见解析
解析：（1）有两个角相等的三角形不一定是正三角形，反之一定成立，
所以，，
所以p是q的必要不充分条件.
（2）若，则，即；
若，则，即，
所以p是q的充要条件.
8.
答案：见解析
解析：“成立”的充要条件为“且，或且”.
由题可知等价于，
即，
从而且，或且，
化简得且，或且.
所以“成立”的充要条件为“且，
或且”.
9.
答案：见解析
解析：充分性：
因为，所以，
于是方程可化为，即，
即，
所以该方程有两个根.可以发现，
所以这两个方程有公共根.
必要性：
设是已知两个方程的公共根，
则
由①+②得（显然，），
将代入①并整理可得，所以.
综上可知，关于x的方程与有公共根的充要条件是.
1 / 3《充分条件、必要条件、充要条件》核心素养专练
必备知识练
必备知识 充分条件、必要条件、充要条件的判断
一、选择题
1.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“”的一个充分条件是（ ）
A.或
B.或
C.且
D.且
3.函数的图象关于直线对称的充要条件是（ ）
A.
B
C.
D.
4.若a,b，x，，则是的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
关键能力练
关键能力1 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
一、填空题
5..设 ，，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_______.
二、解答题
6.已知，，且p是q的必要条件，求实数m的取值范围.
关键能力2 充要条件的证明
一、解答题
7.已知x，y都是非零实数，且，求证：的充要条件是..
8.求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是.
参考答案
1.
答案：A
解析：由，得或，故可判断A正确.
2.
答案：D
解析：且，且.
3.
答案：A
解析：∵函数的图象的对称轴为直线，，.
4.
答案：C
解析：由可知与同号，又由得，故，，即且，故充分性成立；若则，故，故必要性也成立.
5.
答案：
解析：，，即由题意知，，则在数轴上表示不等式如图所示，则，解得.
6.
答案：见解析
解析：，令.
，令.
是的必要条件，，即.
则，解得.
故实数m的取值范围是.
7.
答案：见解析
解析：（1）必要性：由，得，即.
又由，得，所以.
（2）充分性：
由及，得，即.
综上所述，的充要条件是.
8.
答案：见解析
解析：必要性：
关于x的方程有一个根为1，
满足方程.
，即.
充分性；
代入方程中可得，即.
因此，方程有一个根为.
故关于x的方程有一个根为1的充要条件是.
1 / 5《充分条件、必要条件、充要条件》智能提升
一、选择题
1.下列条件：①，②；③，其中，可以是的充分条件的所有序号为（ ）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
2.已知a，b是实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设，b满足，且；实数a，b满足则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D既不充分也不必要条件
二、填空题
4.已知集合A为数集，则“”是“”的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”.
5.设计如图所示的四个电路图，条件p:“开关S闭合”；条件q:“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是________.
6.已知，，“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围是_______.
三、解答题
7.已知，非空集合（1）若是的必要条件，求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使是的充要条件？
8.已知和，且p是q的必要不充分条件，求实数m的值.
9.已知，证明：的充要条件是.
参考答案
1.
答案：C
解析：，，，故选C.
2.
答案：B
解析：因为，而由不能推出，由能推出，所以由不能推出，由能推出.
3.
答案：A
解析：当，且时，显然有故充分性成立；反之不然，比如，，满足.但推不出，且，故必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件.
4.
答案：必要不充分
解析：由“”可推出“”，由“”不能推出“”，比如，可能是“”，故“”是“”的必要不充分条件.
5.
答案：（1）（4）
解析：图（1），开关S闭合，则灯泡L亮，反之灯泡L亮，不一定有开关S闭合，，但，是q的充分不必要条件，图（2），，是q的充要条件，图（3），开关，与灯泡L串联，，是q的必要不充分条件，图（4）开关S闭合，则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，不一定有开关S闭合，但，是q的充分不必要条件.
6.
答案：
解析：因为“”是“”的充分条件所以，所以即，所以.
7.
答案：见解析
解析：（1）由是的必要条件知，.
则.
当时，是的必要条件，即所求m的取值范围是.
（2）若是的充要条件，则.
，方程组无解，
即不存在实数m，使是的充要条件.
8.
答案：见解析
解析：由题可知，.
因为p是q的必要不充分条件.
所以.
当，即时，符合题意；
当时，由
得或，
解得或.
综上可知，或或.
9.
答案：见解析
解析：充分性：若，
则，
.
由，得，
，故充分性得证.
必要性：
若，则由以上对充分性的证明知
故必要性得证.
综上可知，，的充要条件是.
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