2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【基础过关】
含有量词命题的否定
1.命题“ x∈R,x3-x2+1>0”的否定是( )
A. x∈R,x3-x2+1≤0
B. x∈R,x3-x2+1<0
C. x∈R,x3-x2+1≤0
D.不存在x∈R,x3-x2+1>0
2.命题 “存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”的否定是( )
A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根
B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根
C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根
D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根
3.命题“ x∈R,x2≠x”的否定是( )
A. x R,x2≠x B. x∈R,x2=x
C. x R,x2≠x D. x∈R,x2=x
4.命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A. x∈R,|x|+x2<0 B. x∈R,|x|+x2≤0
C. x∈R,|x|+x2<0 D. x∈R,|x|+x2≥0
5.命题“ x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是( )
A. x∈Z,都有x2+2x+m≤0
B. x∈Z,使x2+2x+m>0
C. x∈Z,都有x2+2x+m>0
D.不存在x∈Z,使x2+2x+m>0
6.若命题p的否定是“对所有正数x,>x+1”,则命题p是 .
7.写出下列命题的否定:
(1)p: x∈R,2x+1≥0;
(2)p:所有自然数的平方都是正数;
(3)p:任何实数x都是方程5x-12=0的根;
(4)p:有些分数不是有理数.
含有量词命题的否定的真假判断
8.下列命题的否定是真命题的是( )
A.三角形角平分线上的点到角两边的距离相等
B.所有平行四边形都不是菱形
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.3是方程x2-9=0的一个根
9.下列命题的否定为假命题的是( )
A. x∈Z,1<4x<3 B. x∈Z,5x+1=0
C. x∈R,x2-1=0 D. x∈R,x2+3x+2=0
10.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)无论实数m取何值,方程x2+x-m=0必有实数根;
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;
(3)某些梯形的对角线互相平分;
(4)能被8整除的数能被4整除.
含有量词命题否定的应用
11.已知命题p: x∈R,ax2+2x+1=0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≥1} B.{a|a<1}
C.{a|a>1} D.{a|a≤1}
12.已知命题p: x∈R,|x|2-2|x|+m=0,若 p是假命题,求实数m的取值范围.
答案全解全析
2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
基础过关
1.A 量词“ ”改为“ ”,结论“x3-x2+1>0”改为“x3-x2+1≤0”,故选A.
2.C 存在量词命题的否定形式为全称量词命题,即“对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根”.故选C.
3.D 全称量词命题的否定是存在量词命题,所以“ x∈R,x2≠x”的否定是“ x∈R,x2=x”,故选D.
4.C 条件“ x∈R”的否定是“ x∈R”,结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x|+x2<0”.故选C.
5.C 命题“ x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈Z,都有x2+2x+m>0”.故选C.
6.答案 x0∈(0,+∞),≤x0+1
解析 只需将全称量词命题变为存在量词命题,再对结论否定即可.故命题p是 x0∈(0,+∞),≤x0+1.
7.解析 (1) p: x∈R,2x+1<0.
(2) p:有些自然数的平方不是正数.
(3) p:存在实数x不是方程5x-12=0的根.
(4) p:一切分数都是有理数.
8.B A的否定:存在一个三角形,它的角平分线上的点到角两边的距离不相等,是假命题;B的否定:有些平行四边形是菱形,是真命题;C的否定:有些等边三角形不相似,是假命题;D的否定: 3不是方程x2-9=0的一个根,是假命题.故选B.
9.D 命题的否定为假命题等价于该命题是真命题.由1<4x<3得,这样的整数x不存在,故A为假命题,其否定为真命题;5x+1=0,则x=- Z,故B为假命题,其否定为真命题;x2-1=0,则x=±1,故C为假命题,其否定为真命题;存在实数x=-1或x=-2,有x2+3x+2=(x+1)·(x+2)=0,故D为真命题,其否定是假命题.故选D.
10.解析 (1)命题的否定:存在实数m,使得方程x2+x-m=0没有实数根.当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程没有实数根,因此是真命题.
(2)命题的否定:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除.它是假命题.
(3)命题的否定:所有梯形的对角线都不互相平分.它是真命题.
(4)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除.它是假命题.
11.C ∵p: x∈R,ax2+2x+1=0,
∴ p: x∈R,ax2+2x+1≠0.
∵命题p为假命题,∴命题 p为真命题,
∴当x∈R时,方程ax2+2x+1=0没有实数根,
∴Δ=4-4a<0,即a>1.
∴实数a的取值范围是{a|a>1}.故选C.
12.解析 ∵ p是假命题,∴p是真命题.
也就是 x∈R,使得|x|2-2|x|=-m,即方程|x|2-2|x|=-m有解.
又|x|2-2|x|=(|x|-1)2-1≥-1,当x=±1时取等号,因此-m≥-1,即m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}.
2 / 62.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
能力提升
含有量词命题的否定的真假判断
1.若命题p: x∈R,x-2> ,命题q: x∈R,x2>0,则( )
A.命题p,q都是假命题
B.命题p,q都是真命题
C.命题p, q都是真命题
D.命题p, q都是假命题
2.(多选)下列四个命题中,其否定是假命题的有( )
A.有理数是实数
B.有些平行四边形不是菱形
C. x∈R,x2-2x>0
D. x∈R,2x+1为奇数
3.已知a>0,函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数),若m满足关于x的方程2ax+b=0,当x=m时的函数值记为M,则下列命题为假命题的是( )
A. x∈R,ax2+bx+c≤M
B. x∈R,ax2+bx+c≥M
C. x∈R,ax2+bx+c≤M
D. x∈R,ax2+bx+c≥M
4.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)所有实数x都能使x2+2x+1>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=0成立;
(4)所有的实数x都能使x+1是有理数.
含有量词命题的否定的应用
5.若“ x∈R,k>x2+1恒成立”是假命题,则实数k的取值范围是( )
A.-1C.k>1 D.k≤1
6.已知p: x∈[1,4],x-a≥0,q: x∈R,x2+2x+2-a=0,若命题 p是真命题,且命题q是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a=1 B.a≤1
C.a≥1 D.a>1
7.已知命题p: x∈[1,4],x2≥a,命题q: x∈R,x2+2ax+2-a≠0,若命题p和 q都是真命题,则实数a的取值范围为( )
A.a=1 B.a≥1
C.a=1或a≤-2 D.-2≤a<1
8.某中学开展小组合作学习模式,高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求实数m的取值范围.王小二略加思索,反手给了王小一一道题:若命题“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求实数m的取值范围.你认为,两位同学题中实数m的取值范围是否一致 答: .(填“是”“否”中的一种)
9.已知命题p: x∈[0,4],0≤x<2a,命题q: x∈R,x2-2x+a<0.
(1)若命题 p和命题q有且只有一个为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题,求实数a的取值范围.
答案全解全析
2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
能力提升
1.C 当x=9时,9-2>=3,∴p为真命题.∵ x∈R,x2≥0,∴q为假命题, q是真命题,故选C.
2.ABD 选项A中,有理数是实数,是真命题,则命题的否定是假命题;选项B中,有些平行四边形不是菱形为真命题,则命题的否定是假命题;选项C中, x∈R,x2-2x>0为假命题,当x=0时,不等式不成立,则命题的否定是真命题;选项D中, x∈R,2x+1为奇数,为真命题,则命题的否定是假命题.故选ABD.
3.C 方程2ax+b=0的解为x=-.由x=m时的函数值为M知A、B为真命题;
∵a>0,∴函数y=ax2+bx+c在x=-=m处取得最小值.
∴M是函数y=ax2+bx+c的最小值,因此D为真命题,C为假命题,故选C.
4.解析 (1)命题的否定:存在实数x,使x2+2x+1≤0.
当x=-1时,x2+2x+1=0,故为真命题.
(2)命题的否定:存在实数a,b,使方程ax+b=0无解或至少有两个解.
当a=0时,方程有无数个解,故是真命题.
(3)命题的否定:对任意整数x,y,3x-2y≠0.当x=2,y=3时,3x-2y=0,故为假命题.
(4)命题的否定:存在实数x,使x+1不是有理数.
当x=时,,为无理数,故是真命题.
5.D 因为“ x∈R,k>x2+1恒成立”是假命题,所以其否定“ x∈R,k≤x2+1”为真命题.因为x2+1≥1,即x2+1的最小值为1,要使“k≤x2+1恒成立”,只需k≤(x2+1)min,即k≤1,故选D.
6.D 若“ x∈[1,4],x-a≥0”为真命题,则a小于或等于x(1≤x≤4)的最小值,即a≤1,而当命题 p是真命题时,命题p为假命题,从而a>1.
若q: x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,则Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1,
所以命题p是假命题,且命题q是真命题需满足解得a>1,故选D.
7.C 命题p: x∈[1,4],x2≥a是真命题,因为x2≥1,所以a≤1;
命题 q: x∈R,x2+2ax+2-a=0为真命题,则Δ=(2a)2+4a-8≥0,解得a≤-2或a≥1,
则实数a的取值范围为a=1或a≤-2.
8.答案 是
解析 由 x∈R,x2+2x+m≤0,得其否定为 x∈R,x2+2x+m>0,因此命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,与命题“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题是等价关系,即两位同学题中实数m的取值范围一致.
9.解析 若命题p: x∈[0,4],0≤x<2a为真命题,
则2a>4,即a>2.
所以若 p为真命题,则a≤2.
若命题q: x∈R,x2-2x+a<0为真命题,则Δ=(-2)2-4×1×a>0,即a<1.
若 q为真命题,则a≥1.
(1)①当 p为真,q为假时, q为真,即所以1≤a≤2;
②当 p为假,q为真时,p为真,
即无解,舍去.
综上所述,当命题 p和命题q有且只有一个为真命题时,a的取值范围为{a|1≤a≤2}.
(2)解法一:①当p真q假时, q为真,即所以a>2;
②当p假q真时, p为真,即
所以a<1;
③当p真q真时,无解,舍去.
综上所述,a的取值范围为{a|a<1或a>2}.
解法二:考虑p,q至少一个为真命题的反面,即p,q均为假命题.
即 p为真,且 q为真,
则
解得1≤a≤2,
即{a|1≤a≤2},
则p,q至少一个为真命题时,a的取值范围为{a|1≤a≤2}的补集,
故a的取值范围为{a|a<1或a>2}.
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