北师大版九年级下册1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 同步测试（含答案）

北师大数学九年级下册第一章1.2测试题
一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
按如图所示的运算程序，能使输出值为的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
如图，若点的坐标为，则等于( )
A. B. C. D.
在中，若，则是( )
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 一般锐角三角形
如图，等边三角形的边长为，为延长线上一点，过点作于点，交于点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
在中，，都是锐角，且，，则三个角的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线、交点，将菱形绕点逆时针方向旋转，每次旋转，若旋转次后，点的坐标是，则的值可能是( )
A. B. C. D.
如图中的每个小正方形的边长均相等，则的值为
A. B. C. D.
中，，，，的对边分别是，，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是________．
如图，在矩形中，边沿折叠，点恰好落在矩形的对称中心处，则______．
如图，是菱形的对角线，于点，交于点，且点是中点，则的值是______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
计算：；
先化简，再求值：，其中．
四、解答题（本大题共1小题，共8.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，在中，，延长到，作，为垂足，交于，，求：和的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、是三角函数值是解题的关键．
根据题意把特殊角的三角函数值代入计算，即可判断．
【解答】
解：、，，
，则；
B、，，
，则；
C、，，
，则；
D、，，
，则；
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形性质，特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握求锐角三角函数值的思路与方法；过点作轴于，根据点的坐标得出、的长，求出的值，得出的度数，再根据特殊角的三角函数值求出的值即可．
【解答】
解：过点作轴于，如图：
点的坐标为，
，，
，
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
又，，
，，
，
是等腰直角三角形．
故选：．
利用非负数的性质求出，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的判定，非负数的性质，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是掌握非负数的性质，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等边三角形的性质、含角的直角三角形、特殊角的三角函数值等知识．
先根据已知条件，利用等边三角形的性质求出，，再由角所对的直角边等于斜边的一半，得出，根据角的三角函数值计算得出、的长，最后求出与的比值．
【解答】
解：是等边三角形，且于点，
，，
，，
等边三角形的边长为，，
，
，，
，
，
，
．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理的有关知识，因为，，所以可得A、的值，进而求出的值，然后比较大小即可．
【解答】
解：，，
，．
．
A.
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
根据菱形绕点逆时针方向旋转，每次旋转，则在平面直角坐标系中转一圈需转次，每转一圈，点回到一次，若旋转次后，点的坐标是，则是的倍数，进而可以解决问题．
【解答】
解：在菱形中，，，
，，，
，
，
，
点的横坐标，
点的纵坐标，
，
菱形绕点逆时针方向旋转，每次旋转，
则在平面直角坐标系中转一圈需转次，
每转一圈，点回到一次，
若旋转次后，点的坐标是，
则是的倍数，而选项是的倍数，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．连接，由网格求出，，的长，利用勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】
解：连接，
由网格可得，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查因式分解的应用、解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据，可以求得与的关系，由中，，，，的对边分别是，，，可以得到与的关系，从而可以解答本题．
【解答】
解：，
，
在中，，，，的对边分别是，，，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质．由，可得，即可证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用表示出与，即可求得答案．
【解答】
解：，
，
∽，
，
在中，
，
在中，，
，
．
故答案为．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，中心对称，等边三角形的判定和性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据折叠的性质得到，，推出的等边三角形，根据等边三角形的性质得到，求得，再根据特殊锐角的三角函数值即可得到结论．
【解答】
解：如图，连接，
把边沿折叠，点恰好落在矩形的对称中心处，
，，
的等边三角形，
，
，
，
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，
，点是中点，
，
是等边三角形，
，
，
，
的值为，
故答案为：．
由菱形的性质和等边三角形的判定与性质即可得出，进而得，再利用特殊角的三角函数值得出答案．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
13.【答案】解：原式
；
【解析】原式利用二次根式的化简，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
14.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将特殊锐角的三角函数值代入求得的值，代入计算可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值．
15.【答案】解：，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
又，
．
【解析】本题主要考查了互余两个角的三角函数的关系，解答此题的关键是知道一个角的正弦等于这个角的余角的余弦．
解答此题由垂直可得，先根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦得到的值，然后由等腰三角形的性质可得，从而得到的值，再根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦可得，从而可得结论．
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