§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【学习目标】
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；
【重点难点】
1．投影定理
2．分向量
3．方向余弦的坐标表示
【知识链接】
一、课前准备
（预习教材P92-96找出疑惑之处）
复习1：平面向量基本定理：
对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总是存在 实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解.
复习2：平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，，则称有序对为向量的 ，即＝ .
【学习过程】
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的正交分解
问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？
新知：
空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.
(2)空间向量基本定理：如果三个向量 ，
对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，都叫做基向量.
反思：空间任意一个向量的基底有 个.
⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .
⑸设A，B，则＝ .
⑹向量的直角坐标运算：
设a＝，b＝，则
⑴a＋b＝；
⑵a－b＝；
⑶λa＝；
⑷a·b＝.
试试：
1. 设，则向量的坐标为 .
2. 若A，B，则＝ .
3. 已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，a·b
※ 典型例题
例1 已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底？
变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？
小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.
例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用
表示和.
变式：已知平行六面体，点G
是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量:
⑴ ⑵ .
※ 动手试试
练1. 已知，求：⑴； ⑵.
练2.正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是 ， ， .
【基础达标】
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）
A. B. C. D.
2. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是
3. 在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝
4. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .
5. 已知关于x的方程有两个实根，，且，
当t＝ 时，的模取得最大值.
【拓展提升】
1. 已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.
2. 已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求在的坐标.§3.1.1空间向量及其运算
【学习目标】
1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【重点难点】
重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
难点：应用向量解决立体几何问题．
【知识链接】
一、课前准备
（预习教材P84~ P86，找出疑惑之处）
复习1：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）；
叫零向量，记着 ；
叫单位向量. 叫相反向量， 的相反向量记着 . 叫相等向量.
向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法.
复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)当λ＞0时，λa与A. ；
当λ＜0时，λa与A. ；
当λ＝0时，λa＝ .
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
【学习过程】
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的相关概念
问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？
新知：空间向量的加法和减法运算：
空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， ，
试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求.
2. 点C在线段AB上，且,则
, .
反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？
⑴加法交换律：A. + B. = B. + a；
⑵加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；
⑶数乘分配律：λ(A. + b) =λA. +λb．
※ 典型例题
例1 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
变式：在上图中，用表示和.
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
例2 化简下列各式：
⑴ ; ⑵
⑶ ⑷ .
变式：化简下列各式：
⑸ ;
⑹ ;
⑺ .
小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.
※ 动手试试
练1. 已知平行六面体, M为AC与BD的交点，化简下列表达式：
⑴ ;
⑵ ;
⑶
⑷ .
【基础达标】
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;
B. 若与是相反向量，则∣∣=∣∣;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD中，一定有.
2. 长方体中，化简=
3. 已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）
A. B. 或
C. D. ∣∣=∣∣
4. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
【学习目标】
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2. 会用这些公式解决有关问题.
【重点难点】
1．投影定理
2．分向量
3．方向余弦的坐标表示
【知识链接】
一、课前准备
（预习教材P95~ P97，找出疑惑之处）
复习1：设在平面直角坐标系中，A，B，则线段︱AB︱＝ .
复习2：已知，求：
⑴a＋B. ⑵3a－b； ⑶6A. ； ⑷a·b.
【学习过程】
※ 学习探究
探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式
问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？
新知：
1. 向量的模：设a＝，则｜a｜＝
2. 两个向量的夹角公式：
设a＝，b＝，
由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，
又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ，
由此可以得出：cos＜a,b＞＝
试试：
① 当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是 ；
② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是 ；
③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是 ，
即a与b的位置关系是 ，用符合表示为 .
反思：
设a＝，b＝，则
⑴ a//B. a与b所成角是 a与b的坐标关系为 ；
⑵ a⊥ba与b的坐标关系为 ；
3. 两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的长度为：
.
4. 线段中点的坐标公式：
在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点坐标为: .
※ 典型例题
例1. 如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．
变式：如上图,在正方体中，，求与所成角的余弦值．
例2. 如图，正方体中，点E,F分别是的中点，求证：.
变式：如图，正方体中，点M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值.
小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.
※ 动手试试
练1. 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：
⑴线段AB的中点坐标和长度；
⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．
练2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.
【基础达标】
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若a＝，b＝，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不不要条件
2. 已知，且，
则x＝ .
3. 已知,与的夹角为120°，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知 ， 且
，则（ ）
A. B.
C. D.
课后作业：
如图，正方体棱长为，
⑴ 求的夹角；⑵求证：.
2. 如图，正方体中，点M,N分别为棱的中点，求CM和所成角的余弦值.§3.2立体几何中的向量方法（2）
【学习目标】
1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
【重点难点】
利用向量方法求解空间距离问题；
【知识链接】
一、课前准备
（预习教材P105~ P107，找出疑惑之处.
复习1：已知，，且，求.
复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？
【学习过程】
※ 学习探究
探究任务一：用向量求空间线段的长度
问题：如何用向量方法求空间线段的长度？
新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式求出线段长度.
试试：在长方体中，已知,求的长.
反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示.
※ 典型例题
例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
变式1：上题中平行六面体的对角线的长与棱长有什么关系？
变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗
探究任务二：用向量求空间图形中的角度
例2 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离分别为，的长为，的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值.
变式：如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知,求的长.
※ 动手试试
练1. 如图，已知线段AB在平面α内，线段，线段BD⊥AB，线段，，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.
练2. 如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角.
三、【学习反思】
※ 学习小结
1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式；
2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为
利用公式求解.
【基础达标】
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知，则 .
2. 已知，则的夹角为 .
3. 若M、N分别是棱长为1的正方体的棱的中点,那么直线所成的角的余弦为（ ）
A. B. C. D.
4. 将锐角为边长为的菱形沿较短的对角线折成的二面角，则间的距离是（ ）
A. B. C. D.
5.正方体中棱长为，,是的中点，则为（ ）
A. B. C. D.
【拓展提升】
1、如图，正方体的棱长为1，分别是的中点，求：
⑴ 所成角的大小；
⑵ 所成角的大小；
⑶ 的长度.§3.1.3．空间向量的数量积（1）
【学习目标】
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2.掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．
【重点难点】
空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
【知识链接】
一、课前准备
（预习教材P90~ P92，找出疑惑之处）
复习1：什么是平面向量与的数量积？
复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求.
【学习过程】
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的数量积定义和性质
问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？
新知：
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 .
试试：
⑴ 范围:
=0时, ;=π时,
⑵ 成立吗？
⑶ ，则称与互相垂直，记作 .
2) 向量的数量积：
已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
反思：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？
⑵ （选0还是）
⑶ 你能说出的几何意义吗？
3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量，则．
（2） ．
（3） ＝ .
4) 空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律
反思：
⑴ 吗？举例说明.
⑵ 若，则吗？举例说明.
⑶ 若，则吗？为什么？
※ 典型例题
例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
变式1：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且.
求证：．
例2 如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值
变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（ ）
A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
例3 如图，在平行四边形ABCD-ABCD中，,,,=
=60°,求的长.
※ 动手试试
练1. 已知向量满足，，，则____.
练2. , 则的夹角大小为_____
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列命题中：
①若，则，中至少一个为
②若且，则
③
④
正确有个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知中，所对的边为，且,,则=
4. 已知，，且和不共线，当 与的夹角是锐角时，的取值范围是 .
5. 已知向量满足，，，则____§3.2立体几何中的向量方法（3）
【学习目标】
1. 进一步熟练求平面法向量的方法；
2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
【重点难点】
利用向量方法求解空间夹角问题；
【知识链接】
一、课前准备
复习1：已知，试求平面的一个法向量.
复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？
【学习过程】
※ 学习探究
探究任务一：点到平面的距离的求法
问题：如图A空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示
分析:过作⊥于O,
连结OA,则
d=||=
∵⊥,
∴∥.
∴cos∠APO=|cos|
∴D. =|||cos|
==
新知：用向量求点到平面的距离的方法：
设A空间一点到平面的距离为,平面的一个法向量为，则D. =
试试：在棱长为1的正方体中， 求点到平面的距离.
反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.
※ 典型例题
例1 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
变式：如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.
小结：求点到平面的距离的步骤：
⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；
⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.
探究任务二：两条异面直线间的距离的求法
例2 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和,使得,且
.已知，求公垂线的长.
变式：已知直三棱柱的侧棱,底面中, ，且,是的中点,求异面直线与的距离.
小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量，再在两条直线上分别取一点，则两条异面直线间距离求解.
三、【学习反思】
※ 学习小结
1.空间点到直线的距离公式
2.两条异面直线间的距离公式
【基础达标】
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为 ；
2. 在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是 ；
3. 在棱长为1的正方体中，两个平行平面间的距离是 ；
4. 在棱长为1的正方体中，异面直线和间的距离是 ；
5. 在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点O到平面的距离是 .
【拓展提升】
1. 如图，正方体的棱长为1，点是棱中点，点是中点，求证：是异面直线与的公垂线，并求的长.
2. 如图，空间四边形各边以及的长都是1，点分别是边的中点，连结.
⑴ 计算的长；
⑵ 求点到平面的距离.
A
P
D
C
B
M
N§3.2立体几何中的向量方法（1）
【学习目标】
1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
【重点难点】
1．投影定理
2．分向量
3．方向余弦的坐标表示
【知识链接】
一、课前准备
（预习教材P102~ P104，找出疑惑之处）
复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？
复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？
复习3：设a＝，b＝，
a·b＝
【学习过程】
※ 学习探究
探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面
问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
新知：
⑴ 点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量.
⑵ 直线：
① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
② 对于直线上的任一点,存在实数，使得，此方程称为直线的向量参数方程.
⑶ 平面：
① 空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点,是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对,使得.
② 空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.
⑷ 平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，那 么向量叫做平面的法向量.
试试： .
1.如果都是平面的法向量，则的关系 .
2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是 .
反思：
1. 一个平面的法向量是唯一的吗？
2. 平面的法向量可以是零向量吗？
⑸ 向量表示平行、垂直关系：
设直线的方向向量分别为，平面 的法向量分别为，则
① ∥∥
② ∥
③ ∥∥
※ 典型例题
例1 已知两点,求直线AB
与坐标平面的交点.
变式：已知三点,点在上运动（O为坐标原点）,求当取得最小值时,点的坐标.
小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.
例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
变式：在空间直角坐标系中,已知,试求平面ABC的一个法向量.
小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.
※ 动手试试
练1. 设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系：
⑴ ；
.
练2. 设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：
⑴ ；
⑵ .
【基础达标】
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是 .
2. 设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是 .
3. 已知，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
4.下列说法正确的是（ ）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若是直线的方向向量，，则
5. 已知，能做平面的法向量的是（ ）
A. B. C. D.
【拓展提升】
1. 在正方体中，求证：是平面的一个法向量.
2．已知，求平面的一个法向量.§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）
【学习目标】
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【重点难点】
共线、共面定理及其应用
【知识链接】
一、课前准备
（预习教材P86~ P87，找出疑惑之处）
复习1：化简：
⑴ 5（）+4（）；
⑵ .
复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是
【学习过程】
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数，使得
推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
试试：已知 ，求证: A,B,C三点共线.
反思：充分理解两个向量共线向量的充要条件中的，注意零向量与任何向量共线.
※ 典型例题
例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？
变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若，那么t＝
例2 已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，，试用向量表示向量.
变式1：已知长方体，M是对角线AC中点，化简下列表达式：
⑴ ;
⑵
⑶
变式2：如图，已知不共线，从平面外任一点，作出点,使得：
⑴
⑵
⑶
⑷.
※ 动手试试
练1. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量与非零向量共线，与共线，则与 共线；
B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；
C. 任意两个共线向量相等；
D. 若向量与共线，则.
2. 已知，，若，求实数
【基础达标】
1. 下列说法正确的是（ ）
A.与非零向量共线,与共线，则与共线
B. 任意两个相等向量不一定共线
C. 任意两个共线向量相等
D. 若向量与共线，则
2. 正方体中，点E是上底面的中心，若,
则x＝ ，y＝ ，z＝ .
3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则 + .
4. 平行六面体, O为AC与BD的交点,则
5. 已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. .§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）
【学习目标】
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【重点难点】
空间数向量数乘运算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
【知识链接】
一、课前准备
（预习教材P86~ P87，找出疑惑之处）
复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是
复习2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，试判断A,B,P三点是否共线？
【学习过程】
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的共面
问题：空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？
新知：共面向量： 同一平面的向量.
2. 空间向量共面：
定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .
推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O，有
试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,则点P与 A,B,C共面吗？
反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P与 A,B,C共面，则 .
※ 典型例题
例1 下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ ）
①
②
③
④.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量
则P,A,B,C四点共面的条件是
例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使
求证：E,F,G,H四点共面.
变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.
※ 动手试试
练1. 已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？
练2. 已知，，若，求实数
【基础达标】
1. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（ ）
A. 有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量.
2. 正方体中，点E是上底面的中心，若,
则x＝ ，y＝ ，z＝ .
3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则 + .
4. 平行六面体, O为AC与BD的交点,则 .
5. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）.
A．0 B.1 C. 2 D. 3
