苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.3.1平面向量基本定理 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
9.3.1　平面向量基本定理
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.
在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？
问题1　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
提示　能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
问题2　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
提示　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.
平面向量基本定理
定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量
条件 e1，e2是同一平面内的两个____________
结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__________
基底 _________的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
不共线向量
λ1e1＋λ2e2
不共线
题型一　平面向量基本定理的理解
【例1】　如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.
(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.
(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.
(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.
规律方法　(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.
(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.
【训练1】　设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为 是(　　)
基底的
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.
答案　B
题型二　
用基底表示向量
题型三　
平面向量基本定理的综合应用
【例3】　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
由平面向量基本定理，
规律方法　若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.
二、检测反馈
1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
解析　选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.
答案　D
答案　A