苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.3.3平面向量数量积的坐标表示 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
9.3.3　平面向量数量积的坐标表示
“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究.
问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
提示　由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，
则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.
由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，
故a·b＝8.
8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2.
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
它们对应坐标的乘积的和
数量积 两个向量的数量积等于_______________________，
即：a·b＝___________
向量垂直
a⊥b
x1x2＋y1y2＝0
注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不可混淆，可以对比学习记忆
x1x2＋y1y2
2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式
数量积的主要应用有求模、求夹角、判断垂直，而此三个公式是解决此类问题的重要依据
题型一　
平面向量数量积的坐标运算
【例1】　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)
A.10 B.－10 C.3 D.－3
解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，
所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
答案　B
【训练1】　已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).
题型二　两向量的夹角的坐标表示
【训练2】　已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
解　(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ，
题型三　向量垂直的坐标表示
解　设D点坐标为(x，y)，
∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.①
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0.②
规律方法　将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法.
解　设向量b＝(x，y).
∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，∴|a|＝|b|，a·b＝0.
二、检测反馈
1.若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝(　　)
解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
答案　A
答案　D
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
答案　C
A.(－3，6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6，3)
答案　A