苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.3.1《平面向量基本定理》课时同步详解学案（含答案）

《平面向量基本定理》课时同步详解
问题情境导入
欣赏音乐是人们在休闲时候的一种选择,不管是通俗的流行歌曲、动感的摇赏音乐,还是高雅的古典音乐,它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上,音乐有基本音级的唱名:Do Re Mi Fa So La Si,所有的乐谱都是这几个基本音级的唱名的巧妙组合,音乐的奇妙就在于此.在平面向量中,我们能否找到它的“基本音级的唱名”呢
问题1 如果是两个不共线的确定向量,那么与在同一平面内的任一向量能否用表示 依据是什么
提示 能.依据是数乘向量和向量加法的平行四边形法则.
问题2 如果是共线向量,那么向量能否用表示 为什么
提示 不一定,当与共线时可以表示,否则不能表示.
新课自主学习
自学导引
1.平面向量基本定理:如果是同一平面内两个_______的向量,那么对于这一平面内的______向量,______一对实数,使.
我们把两个不共线的向量叫作这个平面的一组______.
2.正交分解.
由平面向量基本定理知,平面内任一向量可以用一组基底表示成的形式.我们称为向量的分解.当所在直线______时,这种分解也称为向量的______.
答案
1.不共线 任一 有且只有 基底
2.互相垂直 正交分解
预习测评
1.设是同一平面内两个不共线的向量,则以下各组向量中不能作为基底的是( )
A.
B.
C.
D.e
2.如果是平面内所有向量的一组基底,那么下列命题中正确的是( )
A.已知实数,则向量不一定在平面内
B.对平面内任一向量,使的实数,可以不唯一
C.若有实数使,则
D.对平面内任一向量,使的实数,不一定存在
3.已知向量不共线,若,则______,______.
4.如图,是的一边上的两个三等分点,若则______.
答案
1.
答案：B
解析：因为,所以两向量共线,故不可作为基底.
2.
答案：C
解析：选项中,由平面向量基本定理知与共面,所以项不正确.选项中,实数有且仅有一对,所以项不正确.选项中,实数一定存在,所以D项不正确.很明显C项正确.
3.
答案：,
解析：∵不共线,由平面向量基本定理得.
4.
答案：
解析：由题意知,而,所以.
新知合作探究
探究点1 基底的概念
知识详解
1.基底的性质.
(1)不共线.
平面内两个不共线的向量才可以作为这个平面的一组基底.由于零向量与任何向量共线,所以零向量不可以作为基底中的向量.
(2)不唯一.
对基底的选取不唯一,平面内任一向量都可被这个平面的一组基底线性表示.
典例探究
例1 设点是平行四边形两对角线的交点,下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是( )
;②;③;④.
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
解析 只要是这个平面上不共线的两个向量都可以作为基底.在平行四边形中,与都是不共线向量,故选B.
答案 Ｂ
方法归纳 在平面内,判定两个向量可作为基底,只要判定两个向量不共线即可,可利用向量共线定理或者几何图形的性质.本题考查基底的性质与平行四边形的性质的综合,有利于发展学生的直观想象核心素养.
变式训练1 设是平面内所有向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
答案 C
点拨 ∵,
∴与共线,故不能作为基底.
探究点2 平面向量基本定理的应用
知识详解
平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使.
特别提示
1.平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的.
2.用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.
典例探究
例2 如图所示,已知在中,分别是边上的中点,若,试以为基底表示.
解析 通过向量的线性运算,结合图形,找准基底后,用基底表示.
答案 ∵四边形是平行四边形,分别是边上的中点,
,
.
方法归纳 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
变式训练2 如图所示,在矩形中,若,则等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
点拨 .
易错易混解读
例 如果是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是（ ）
①可以表示平面内的所有向量;②对于平面内任一向量,使的实数对有无穷多个;③若向量与共线,则;④若实数使得,则.
A.①②
B.②③
C.③④
D.②
错解 D
错因分析 上述解答对于③的判断出现错误，当都不等于0时,③正确，但是当或时③不一定成立.
正解 由平面向量基本定理可知,①④是正确的.对于②,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的分解是唯一的.对于③,当或时不一定成立,应为0.故选B.
纠错心得 利用平面向量基本定理判断向量与共线时,要考虑特殊情况:或,因此利用更为方便简捷.
课堂快速检测
1.若是平面内的一组基底,则下列四组向量中能作为一组基底的是( )
A.
B.
C.
D.
2.设点为所在平面内一点,,若,则( )
A.2
B.3
C.
D.
3.如图,在中,,若,,则等于( )
A.
B.
C.
D.
4.如图,在中,于为的中点,若,则的值为( )
A.
B.
C.1
D.2
5.如图,是中边的三等分点,设,,以为基底来表示______,______.
答案
1.
答案:D
解析:选项中的向量均是共线向量,不能作为平面向量的基底.
2.
答案:D
解析:由,可得,即,
则有,即,可得,故,则.
3.
答案:
解析:因为,所以,所以.
因为,所,所以,所以,
所以,所以,所以
4.
答案:B
点拨:三点共线,
.
5.
答案:,
解析,
.
要点概括整合
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