苏教版（2019）高中数学必修第二册9.3.2《向量和向量线性运算的坐标表示》课时同步讲解学案（含答案）

《向量和向量线性运算的坐标表示》课时同步讲解
问题情境导入
如图,向量是两个互相垂直的单位向量,向量与的夹角是,且,以向量为基底,向量如何表示
提示：因为向量与的夹角是,且，所以,于是.
新课自主学习
自学导引
1.在平面直角坐标系中,分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内的向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数,使得.我们把有序实数对______称为向量的(直角)坐标,记作.
2.已知,则______,____________.
3.已知,则______.
这就是说,一个向量的坐标等于该向量______的坐标减去______的坐标.
答案
1.
2.(
3. 终点 起点
预习测评
1.向量为原点)的终点位于第二象限,则有( )
A.
B.
C.
D.
2.已知,则等于( )
A.
B.
C.
D.
3.设向量的坐标分别是,则______,____________.
4.已知平面上三个点,则向量______,______.
答案
1.
答案：C
解析：∵点的坐标为.又点在第二象限,∴.
2.
答案：C
解析：
3.
答案：,,
解析：
4.
答案：
解析：,∴
新知合作探究
探究点1 向量的坐标表示
知识详解
在平面直角坐标系中,分别取与轴、轴正方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内的向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数,使得.我们把有序实数对称为向量的(直角)坐标,记作.
典例探究
例1 如图, 已知点是坐标原点,点在第一象限, , 向量的坐标是______.
解析:方法一:设 , 则 . ①
又因为 , 所以 .②
结合方程①②和,点在第一象限可求得 所 以.
方法二: 设 (其中 , 则
,所 以 .
答案：
变式训练1 如图，分别取x轴、y轴正方向相同的两个单位向量 作为基底,分别用表示 ,,并求出它们的坐标.
答案：根据题意可得,
它们的坐标表示为:,.
方法归纳 求向量的坐标的方法:在平面直角坐标系中,若是分别与轴、y轴正方相同的单位向量,则当时,向量的坐标即为.
探究点2 向量线性运算的坐标表示.
知识详解
已知.
向量的加法:两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和,.
向量的减法:两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差,.
向量的数乘:向量数乘的坐标等于向量中的每个坐标与该数相乘后得到的坐标,.
已知,则),这就是说,一个向量的坐标等于该向量的终点的坐标减去起点的坐标.
特别提示 两向量相等的条件是它们对应的横、纵坐标分别相等,但起点、终点的坐标却可以不同,例如,(3,5),,则.显然四点的坐标各不相同.
典例探究
例2 若向量,则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:根据向量线性运算的坐标表示求解.
.
答案:A
变式训练2 已知,,若,则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：D
点拨 因为,所以.因为,
所以.
易错易混解读
例 已知,求以A,B,C为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标.
错解 设点的坐标为.若四边形是平行四边形,则由,可得,解得.故所求顶点的坐标为.
错因分析 错误地解读了题干,认为平行四边形只能是,没有画出简图帮助分析.实际上题干中只说以为顶点的平行四边形,并没有对平行四边形的四个顶点的顺序进行限定,故点有三种位置情况.错解错在考虑问题不全面,造成漏解.
正解 设点的坐标为.若四边形是平行四边形,则由,可得,解得.故所求顶点的坐标为.若四边形是平行四边形,则由,可得,解得,故所求顶点的坐标为.若四边形是平行四边形,则由,可得,解得,故所求顶点的坐标为.综上可得,以为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标是或或.
纠错心得 “求以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标”与“求以为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标”是有区别的.前者的点位置确定了，四点是按同一方向（顺时针或逆时针）排列,后者的点位置没有确定,应分三种情况进行讨论.培养学生认真审题、全面考虑,分类讨论的综合解题能力.
课堂快速检测
1.已知,则______.
2.若向量,则等于( )
A.
B.
C.
D.
3.在平行四边形中,为一条对角线,若,4),,则______.
4.已知平行四边形,其中为坐标原点,若,1),,则点的坐标为______.
5.已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量,为坐标原点,设(其中,则点位于( )
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.
答案：
解析：
2.
答案：B
解析：,又,则,
所以
3.
答案：
解析：,
4.
答案：
解析：设的坐标为,则由已知得,所以
5.
答案：D
解析：点位于第四象限.
要点概括整合
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