苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.3.1 平面向量基本定理 练习（解析版）

9.3.1　平面向量基本定理
一、选择题
1.设e1，e2是同一个平面内的两个向量，则有(　　)
A.e1，e2平行
B.e1，e2的模相等
C.同一个平面内的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D.若e1，e2不共线，则对于同一个平面内的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
2.设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝(　　)
A.2 B.3 C.－2 D.－3
3.如图，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.－a＋b
C.a＋b D.－a＋b
4.已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示为(　　)
A.(4a＋5b) B.(9a＋7b)
C.(2a＋b) D.(3a＋b)
5.△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，用a，b表示等于(　　)
A.(a－b) B.(b－a)
C.(a－b) D.(b－a)
6.(多选题)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
二、填空题
7.设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________.
8.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用a和b表示).
9.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________.
10.(多填题)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
三、解答题
11.如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
12.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来.
13.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值.
9.3.1　平面向量基本定理答案
一、选择题
1.设e1，e2是同一个平面内的两个向量，则有(　　)
A.e1，e2平行
B.e1，e2的模相等
C.同一个平面内的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D.若e1，e2不共线，则对于同一个平面内的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
【解析】　由平面向量基本定理知，选D.
【答案】　D
2.设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝(　　)
A.2 B.3 C.－2 D.－3
【解析】　由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，则4＝，
即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3，
则λ＝－3.
【答案】　D
3.如图，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.－a＋b
C.a＋b D.－a＋b
【解析】　因为＝3，所以－＝3(－).
所以4＝＋3，
因为＝，所以＝，
所以4＝＋，所以4＝－＋(－)，
所以4＝－2＋，所以＝－＋，
所以＝－a＋b.
【答案】　B
4.已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示为(　　)
A.(4a＋5b) B.(9a＋7b)
C.(2a＋b) D.(3a＋b)
【解析】　＝＋，
＝＋＝＋＝＋＝.
而＝b－a，所以＝b－a，
所以＝＋＝a＋＝a＋b.
【答案】　A
5.△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，用a，b表示等于(　　)
A.(a－b) B.(b－a)
C.(a－b) D.(b－a)
【解析】　由题意得＝＝(－)＝(－)＝(b－a)，故选D.
【答案】　D
6.(多选题)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】　B中与共线，D中与共线，AC中两向量不共线，故选AC.
【答案】　AC
二、填空题
7.设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________.
【解析】　设p＝xm＋yn，
则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，
得 所以p＝－m＋n.
【答案】　－m＋n
8.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用a和b表示).
【解析】　设＝λ，
则＝λ(＋)＝λ＝λ＋λ.
因为D，O，B三点共线，所以λ＋λ＝1，所以λ＝，
所以＝＋＝a＋b.
【答案】　a＋b
9.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________.
【解析】　若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
【答案】　(－∞，4)∪(4，＋∞)
10.(多填题)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
【解析】　∵向量e1，e2不共线，
∴解得
【答案】　－15　－12
三、解答题
11.如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
解　＝＋＝＋＝＋－＝2a－b.＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
12.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来.
解　＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b).
13.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值.
(1)证明　若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
由e1，e2不共线得，

所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.
(2)解　设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
由于e1与e2是不共线的非零向量，
所以
所以c＝2a＋b.
(3)解　由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
又e1与e2是不共线的非零向量，
所以
故所求λ，μ的值分别为3和1.
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