苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.3.2 平面向量坐标表示与运算 练习（解析版）

9.3.2　平面向量坐标表示与运算
一、选择题
1.如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　)
A.2i＋3j B.4i＋2j
C.2i－j D.－2i＋j
2. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)
A.e1＝(2，2)，e2＝(1，1)
B.e1＝(1，－2)，e2＝(4，－8)
C.e1＝(1，0)，e2＝(0，－1)
D.e1＝(1，－2)，e2＝
3.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝(　　)
A.(－2，4) B.(4，6)
C.(－6，－2) D.(－1，9)
4.已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是(　　)
A. B.
C. D.
5. 向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为(　　)
A.－2 B.11
C.－2或11 D.2或11
6.(多选题)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有(　　)
A.与平行 B.＋＝
C.＋＝ D.＝－2
二、填空题
7. 设向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，若向量λa＋b与向量c＝(6，2)共线，则实数λ＝________.
8.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________.
9. 设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________.
10. (多填题)已知A(2，0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
三、解答题
11.已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.
12. 如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线.
能力提升
13. 平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________.
14.已知点O(0，0)，A(1，2).
(1)若点B(3t，3t)，＝＋，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由.
9.3.2　平面向量坐标表示与运算答案
一、选择题
1.如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　)
A.2i＋3j B.4i＋2j
C.2i－j D.－2i＋j
【解析】　记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
【答案】　C
2. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)
A.e1＝(2，2)，e2＝(1，1)
B.e1＝(1，－2)，e2＝(4，－8)
C.e1＝(1，0)，e2＝(0，－1)
D.e1＝(1，－2)，e2＝
【解析】　选项C中，e1，e2不共线，可作为一组基底.
【答案】　C
3.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝(　　)
A.(－2，4) B.(4，6)
C.(－6，－2) D.(－1，9)
【解析】　在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3).又＝(－1，2)，所以＝＋＝(1，5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2，4)，故选A.
【答案】　A
4.已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　因为与同向的单位向量为，
＝(7，－3)－(4，1)＝(3，－4)，
||＝＝5，
所以＝.
【答案】　A
5. 向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为(　　)
A.－2 B.11
C.－2或11 D.2或11
【解析】　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，由题知∥，故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2.
【答案】　C
6.(多选题)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有(　　)
A.与平行 B.＋＝
C.＋＝ D.＝－2
【解析】　＝(2，－1)，＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以与平行，A正确.
＋＝≠，所以B不正确.
＋＝(0，2)＝，所以C正确.
＝(－4，0)，－2＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D正确.
【答案】　ACD
二、填空题
7. 设向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，若向量λa＋b与向量c＝(6，2)共线，则实数λ＝________.
【解析】　λa＋b＝(λ，0)＋(1，1)＝(λ＋1，1)，因为(λa＋b)∥c，所以2(λ＋1)－6＝0，解得λ＝2.
【答案】　2
8.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________.
【解析】　设点A(x，y)，
则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，
y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，
即A(－3，3)，所以＝(－3，3).
【答案】　(－3，3)
9. 设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________.
【解析】　∵A，B，C三点能构成三角形，
∴，不共线.
又∵＝(1，1)，＝(m－2，4)，
∴1×4－1×(m－2)≠0.
解得m≠6.
∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}.
答案　{m|m∈R且m≠6}
10.(多填题)已知A(2，0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
【解析】　由题意知解得
【答案】　－1　－2
三、解答题
11.已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.
解　设P点坐标为(x，y)，||＝||.
当P在线段AB上时，＝.
∴(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(1，－1).
当P在线段AB延长线上时，＝－.
∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x，2－y)，
∴此时无解.
综上所述，点P的坐标为(1，－1).
12. 如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线.
解　由已知可得M，N，
所以＝，＝，
由×－×＝0，所以和共线.
能力提升
13. 平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为________.
【解析】　∵＝，
∴A为BC的中点，＝，
设C(xC，yC)，则(xC－2，yC＋1)＝(1，－5)，
∴C点的坐标为(3，－6)，
又||＝||，且E在DC的延长线上，
∴＝－，
设E(x，y)，
则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得解得
故点E的坐标是.
【答案】　
14.已知点O(0，0)，A(1，2).
(1)若点B(3t，3t)，＝＋，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由.
解　(1)＝＋＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－.
若点P在第二象限，则∴－(2)＝(1，2)，＝－＝(3－3t，3－3t).
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
∴该方程组无解.
故四边形OABP不能成为平行四边形.
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