苏教版（2019）高中数学必修第二册 9.3.3 平面向量数量积的坐标表示 练习（解析版）

9.3.3　平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
2.已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为(　　)
A. B.3 C.－ D.－3
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B.2 C.4 D.12
4.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　)
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
5.已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为(　　)
A.－2 B.2 C.4 D.6
6.(多选题)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为(　　)
A.－ B.
C. D.
二、填空题
7.已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________.
8.已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
9.设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
10.(新定义问题)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“ ”为m n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1，2)，p q＝(－4，－3)，则q的坐标为________.
三、解答题
11.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
12.已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围.
13.角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为(　　)
A.－ B.
C.或－ D.或
14.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2).
(1)若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
9.3.3　平面向量数量积的坐标表示答案
一、选择题
1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
【解析】a，b的夹角为θ，∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.
∴cos θ＝＝＝.
又∵a，b的夹角范围为[0，π].
∴a与b的夹角为.
【答案】　B
2.已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为(　　)
A. B.3 C.－ D.－3
【解析】　向量a在b方向上的投影为＝＝－3.
【答案】　D
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B.2 C.4 D.12
【解析】　a＝(2，0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.
【答案】　B
4.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　)
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
【解析】　因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>，即A>－B.
又因函数y＝sin x在上单调递增，所以sin A>sin＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B>0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.
【答案】　A
5.已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为(　　)
A.－2 B.2 C.4 D.6
【解析】　因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，即－2＋m－4＝0，解得m＝2.
【答案】　B
6.(多选题)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为(　　)
A.－ B.
C. D.
【解析】　∵＝(2，3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3).
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
【答案】　ABC
二、填空题
7.已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________.
【解析】　a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4.
【答案】　4
8.已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
【解析】　由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，
∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
【答案】　8
9.设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
【解析】　法一　a＋b＝(m＋1，3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2.
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2.
法二　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2.
【答案】　－2
10.(新定义问题)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“ ”为m n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1，2)，p q＝(－4，－3)，则q的坐标为________.
【解析】　设q＝(x，y)，则p q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3).
∴∴∴q＝(－2，1).
【答案】　(－2，1)
三、解答题
11.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解　(1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
∴a－b＝(－2，0)，∴|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
∴a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2.
∴|a－b|＝2或2.
12.已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围.
解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
∵a，b的夹角α为钝角.
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).
13.角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为(　　)
A.－ B.
C.或－ D.或
【解析】　∵tan α＝－2，
∴可设P(x，－2x)，与的夹角为θ，
cos θ＝＝，
当x>0时，cos θ＝，
当x<0时，cos θ＝－.
【答案】　C
14.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2).
(1)若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解　(1)设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2，
可得所以或
因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4).
(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，
所以2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－，所以cos θ＝＝－1.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
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