人教A版数学选修2-1 2.3.2 双曲线的简单几何性质 课件（31张PPT）

(共31张PPT)
(选修2-1)第二章 圆锥曲线与方程
2.3双曲线
2.3.2双曲线的简单几何性质
2004年夏季中国在相隔20年后再一次经历了”电荒”的考验，全国的所有大城市都在拉闸限电，我们知道电能是现代生活不可缺少的能源，于是一夜之间全国上下热电厂象竹笋一样拔地而起，而象照片中“粗烟囱”更是随处可见。
冷却通风塔
如果你是设计师你将如何设计？
曲线
性质
方程
范围
对称性
图形
顶点
离心率
椭圆
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
0e越大，椭圆越扁
e越小，椭圆越圆
想一想：
如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？
1、范围：
2、对称性：
3、顶点：
4、离心率:
试一试：
参照椭圆，完成下表
曲线
性质
方程
范围
对称性
图形
顶点
离心率
椭圆
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
0e越大，椭圆越扁
e越小，椭圆越圆
2、对称性
一、研究双曲线 的简单几何性质
1、范围
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
课堂新授
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x
y
o
-b
b
-a
a
如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做半实轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长
（2）
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线
（3）
曲线
性质
方程
范围
对称性
图形
顶点
离心率
椭圆
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
0e越大，椭圆越扁
e越小，椭圆越圆
双曲线
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
e>1,
A1
A2
B1
B2
思考：
椭圆的离心率可以决定椭圆的圆扁程度，那么双曲线的离心率能决定双曲线的什么几何特征呢？
x
y
o
根据以上四项性质,能较准确地画出双曲线的图形吗
练习:画出双曲线 的草图
双曲线的开口大小有没有限制 向远处伸展有没有约束范围
当x→∞时,方程近似变为 ,即双曲线上的点无限接近直线
y
B2
A1
A2
B1
x
O
b
a
M
N
Q
由双曲线的对称性知，我们只需证明第一象限的部分即可。
下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与直线 逐渐靠拢。
方案2：考查同横坐标的两点间的距离
方案1：考查点到直线的距离
X
M
Y
O
Q
N
（x,y)
(x,Y)
5、渐近线：
y
B2
A1
A2
B1
x
O
b
a
注：渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线张口的开阔与否。
离心率e与双曲线的图形变化的联系？
想一想：
x
y
B2
A1
A2
B1
O
b
a
e越大，斜率越大，倾斜角越大，张角越大，张口越开阔
e越小，斜率越小，倾斜角越小，张角越小，张口越扁狭
M(x,y)
5、渐近线
N(x,y’)
Q
慢慢靠近
x
y
o
a
b
（1）
（2）
利用渐近线可以较准确的
画出双曲线的草图
（3）
动画演示
（4）等轴双曲线的离心率e=
( 5 )
标准方程
图形
范围
对称性
顶点
焦点
离心率
渐近线
x
y
o
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
e>1,
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
e>1,
e越大，张口开阔
e越小，张口扁狭
e越大，张口开阔
e越小，张口扁狭
(c,0) (-c,0)
(0,c) (0,-c)
应用1：
标准方程
图形
范围
对称性
顶点
焦点
离心率
渐近线
x
y
o
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
(0,5) (0,-5)
(5,0) (-5,0)
应用2：
双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分
绕其虚轴旋转所成的曲面（如图），它的最小
半径为12米，被旋转的双曲线的离心率为 ，
请选择适当的坐标系，求出双曲线的方程。
A
x
y
o
解：
如图建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xoy,使最小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合,则A(12,0)
1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为 。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角为 。
课堂练习
课本61页练习2 和3
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
“共渐近线”的双曲线的应用
例3 :求下列双曲线的标准方程：
例题讲解
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为 ,
法二：设双曲线方程为
∴ 双曲线方程为
∴ ,
解之得k=4,
小结：
1、本节课所研究的双曲线的几何性质有哪些？
2 、思想方法：
4. 求与椭圆
有共同焦点，渐近线方程为
的双曲线方程。
解：
椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
双曲线的渐近线方程为
解出
作业：《作业本》34-35
谢谢！
再见！