贵州省毕节市金沙中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

毕节市金沙中学2022-2023学年高二上学期期中考试 数学试卷
一、单选题。每小题5分，共计40分。
1．如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为（　　）
A．k1＜k3＜k2 B．k1＜k2＜k3 C．k2＜k1＜k3 D．k3＜k2＜k1
2．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．﹣2＜a＜3
3．直线l：3x+4y﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0所截得的弦长为（　　）
A． B．4 C． D．
4．如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则＝（　　）
A． B． C． D．
5．在圆M：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0内，过点O（0，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．24 B．12 C．10 D．8
6．k＝4是直线l1：（k﹣2）x+（3﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣2）x﹣2y+4＝0平行的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图，在直三棱柱ABC﹣AB1C1中，AC＝3，BC＝4，CC1＝3，∠ACB＝90°，则BC1与A1C所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题。每题5分，选对但不全的得2分，有选错的得不得分，共20分。
9．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A．+，，﹣ B．，+，﹣ C．+，﹣， D．+，++，
（多选）10．已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．点（4，0）在圆M内 B．圆M关于x+3y﹣2＝0对称
C．半径为 D．直线与圆M相切
（多选）11．已知圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P是直线l：x+y＝0上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（　　）
A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为
B．切线长PA的最小值为1
C．四边形AMBP面积的最小值为2
D．直线AB恒过定点
（多选）12．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（　　）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
三、填空题。共计20分。
13．已知空间向量，则|＝　 　；向量与的夹角为 　 　．
14．已知点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若直线3x﹣4y﹣15＝0上存在点P使得∠APB＝90°，则m的取值范围是 　 　．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为 　 　．
16．如图所示，“嫦娥一号“探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次交轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1+c1＞a2+c2；②a1﹣c1＞a2﹣c2；③c1a2＞c2a1；④c1a2＜c2a1．其中正确式子的序号是 　 　．
四、解答题。（共70分）
17．已知直线l1：mx+2y+m＝0，l2：3mx+（m﹣1）y+7＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数m的值；
（2）若l1∥l2，求实数m的值及此时两平行直线间的距离．
18．已知圆C1：x2+y2﹣2mx﹣4my+5m2﹣4＝0，圆C2：x2+y2＝1．
（1）若圆C1、C2相切，求实数m的值；
（2）若圆C1与直线：x+2y﹣4＝0相交于M、N两点，且|MM|＝，求m的值．
19．如图，已知椭圆＝1（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
（1）若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
20．如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG＝3GE．
（1）试用，，，表示向量；
（2）若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，∠AOB＝90°，求 的值．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值．
22．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点（，）在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，O为原点，求△OAB面积的最大值．
数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题。每小题5分，共计40分。
1．如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为（　　）
A．k1＜k3＜k2 B．k1＜k2＜k3 C．k2＜k1＜k3 D．k3＜k2＜k1
【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系求解即可．
【解答】解：根据函数的图象得：k1＜0，k2＞k3＞0，
∴k2＞k3＞k1，
故选：A．
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．
2．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．﹣2＜a＜3
【分析】根据焦点在y轴上的椭圆方程满足的条件建立不等关系，进而求解结论．
【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，
∴a+6＞a2，可得﹣2＜a＜3，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查解不等式，属于基础题．
3．直线l：3x+4y﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0所截得的弦长为（　　）
A． B．4 C． D．
【分析】将圆C的方程化为标准形式，可得圆心坐标及半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理，得解．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0化为标准形式为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，
所以圆心C（1，2），半径为3，
所以点C到直线l：3x+4y﹣1＝0的距离为，
因此所求弦长为．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握几何法求弦长，点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4．如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，，，，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可求出答案．
【解答】解：＝．
故选：A．
【点评】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量数乘运算，向量加法的平行四边形法则，考查了计算能力，属于基础题．
5．在圆M：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0内，过点O（0，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．24 B．12 C．10 D．8
【分析】圆M：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，配方为（x﹣2）2+（y+1）2＝9，可得圆心M（2，﹣1），半径r＝3．过点O（0，0）的最长弦为直径2r．最短弦BD所在直线与直径AC垂直，可得BD＝2，即可得出四边形ABCD的面积＝×AC×BD．
【解答】解：圆M：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，配方为（x﹣2）2+（y+1）2＝9，可得圆心M（2，﹣1），半径r＝3．
过点O（0，0）的最长弦为直径2r＝6，即AC＝6．
OM＝＝，
最短弦BD所在直线与直径AC垂直，BD＝2＝2＝4，
则四边形ABCD的面积＝×AC×BD＝×6×4＝12，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质、两点之间的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．k＝4是直线l1：（k﹣2）x+（3﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣2）x﹣2y+4＝0平行的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由题意可先求出l1与l2平行的充要条件，解出k的取值范围，由集合的包含关系可得答案．
【解答】解：l1与l2平行的充要条件是，
解之可得k＝2，或k＝4，显然{4}是{2，4}的真子集，
∴k＝4是直线l1：（k﹣2）x+（3﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣2）x﹣2y+4＝0平行的充分不必要条件
故选：A．
【点评】本题考查充要条件的判断，涉及直线的平行的判断，属基础题．
7．如图，在直三棱柱ABC﹣AB1C1中，AC＝3，BC＝4，CC1＝3，∠ACB＝90°，则BC1与A1C所成的角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据条件，可以点C为原点，CA，CB，CC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可求出向量和的坐标，然后即可求出的值，从而得出答案．
【解答】解：以点C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如下空间直角坐标系，则：
C（0，0，0），A1（3，0，3），B（0，4，0），C1（0，0，3），
∴，，
∴＝，
∴BC1与A1C所成的角的余弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标求异面直线所成角的余弦值的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
8．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题设以线段A1A2为直径的圆为x2+y2＝a2，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围．
【解答】解：由题设，以线段A1A2为直径的圆为x2+y2＝a2，与直线bx﹣ay+2ab＝0相交，
所以，可得3b2＝3（a2﹣c2）＜a2，即，又0＜e＜1，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
二、多选题。每题5分，选对但不全的得2分，有选错的得不得分，共20分。
9．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　）
A．+，，﹣ B．，+，﹣ C．+，﹣， D．+，++，
【分析】根据已知条件，结合共面向量的充要条件，即可求解．
【解答】解：由共面向量的充要条件可得：
对于A选项，＝（+）+（﹣），所以+，，﹣三个向量共面；
对于B选项，同理：，+，﹣三个向量共面；
对于D选项，＝，所以三个向量共面；
故选：C．
【点评】本题考查平面向量基本定理，属于基础题．
（多选）10．已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．点（4，0）在圆M内 B．圆M关于x+3y﹣2＝0对称
C．半径为 D．直线与圆M相切
【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解．
【解答】解：x2+y2﹣4x+3＝0整理得：（x﹣2）2+y2＝1，
∵x＝4，y＝0时x2+y2﹣4x+3＝3＞0，∴点（4，0）在圆M外，A错；
∵圆心M（2，0）在直线x+3y﹣2＝0上，∴圆M关于x+3y﹣2＝0对称，B对；
∵圆M半径为1，故C错；
∵圆心M（2，0）到直线的距离为，与半径相等，∴直线与圆M相切，D对．
故选：BD．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
（多选）11．已知圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P是直线l：x+y＝0上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（　　）
A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为
B．切线长PA的最小值为1
C．四边形AMBP面积的最小值为2
D．直线AB恒过定点
【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形AMBP面积为|PA||MA|＝|PA|，可判断C，由题可知点A，B，在以PM为直径的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可判断D．
【解答】解：由圆M：（x﹣2）2+y2＝1，可知圆心M（2，0），半径r＝1，
∴圆心M（2，0）到直线l：x+y＝0的距离为，
圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；
由圆的性质可得切线长，
∴当|PM|最小时，|PA|有最小值，又，
∴|PA|min＝1，故B正确；
∵四边形AMBP面积为|PA||MA|＝|PA|，
∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；
设P（t，﹣t），由题可知点A，B，在以PM为直径的圆上，又M（2，0），
所以（x﹣t）（x﹣2）+（y+t）（y﹣0）＝0，即x2+y2﹣（t+2）x+ty+2t＝0，
又圆M：（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，
∴直线AB的方程为：（2﹣t）x+ty﹣3+2t＝0，即2x﹣3﹣t（x﹣y﹣2）＝0，
由，得，即直线AB恒过定点，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆中的四边形面积问题，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
（多选）12．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（　　）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答．
【解答】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角得：，解得a＝4，A不正确；
显然b＝2，则，离心率，B正确；
当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
三、填空题。共计20分。
13．已知空间向量，则|＝　3　；向量与的夹角为 　　．
【分析】利用向量坐标运算法则和向量的模能求出||，利用向量夹角余弦公式能求出向量与的夹角．
【解答】解：空间向量，
∴＝（3，0，3），
则|＝＝3，
cos＜＞＝＝＝，
0＜＜＞＜π，
∴向量与的夹角为．
故答案为：3；．
【点评】本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量的模、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．已知点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若直线3x﹣4y﹣15＝0上存在点P使得∠APB＝90°，则m的取值范围是 　[3，+∞）　．
【分析】由题可知以AB为直径的圆与直线3x﹣4y﹣15＝0有公共点，根据点到直线距离与半径关系即可求解．
【解答】解：由于点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），
则以AB为直径的圆的方程为：x2+y2＝m2，
若直线3x﹣4y﹣15＝0上存在点P使得∠APB＝90°，
则直线3x﹣4y﹣15＝0与圆x2+y2＝m2有公共点，
故，即m≥3，
则m的取值范围是：[3，+∞），
故答案为：[3，+∞）．
【点评】本题考查直线与圆位置关系，属于基础题．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为 　1　．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解．
【解答】解：以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面B1D1EF的法向量＝（x，y，z），
则有，令y＝2得：x＝﹣2，z＝﹣1，
故＝（﹣2，2，﹣1），
其中，
则点A到平面B1D1EF的距离为．
故答案为：1．
【点评】本题考查了空间向量求点到面的距离公式，属于中档题．
16．如图所示，“嫦娥一号“探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次交轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1+c1＞a2+c2；②a1﹣c1＞a2﹣c2；③c1a2＞c2a1；④c1a2＜c2a1．其中正确式子的序号是 　①③　．
【分析】由a1＞a2，c1＞c2，结合不等式的性质可判定①正确；由a1﹣c1＝|PF|，a2﹣c2＝|PF|，可判定②不正确；由a1﹣c1＝a2﹣c2，得到，结合椭圆的性质，求得，进而可判定③正确，④不正确．
【解答】解：由图象可知a1＞a2，c1＞c2，所以a1+c1＞a2+c2，故①正确；
因为a1﹣c1＝|PF|，a2﹣c2＝|PF|，所以a1﹣c1＝a2﹣c2，故②不正确；
由a1﹣c1＝a2﹣c2，可得a1+c2＝a2+c1，
所以，
整理得，
即，
因为b1＞b2，所以c1a2＞a1c2，所以③正确，④不正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
四、解答题。（共70分）
17．已知直线l1：mx+2y+m＝0，l2：3mx+（m﹣1）y+7＝0．
（1）若l1⊥l2，求实数m的值；
（2）若l1∥l2，求实数m的值及此时两平行直线间的距离．
【分析】（1）根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，以及两平行直线间的距离公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线l1：mx+2y+m＝0，l2：3mx+（m﹣1）y+7＝0，l1⊥l2，
∴3m2+2（m﹣1）＝0，解得m＝．
（2）∵l1∥l2，
∴m（m﹣1）﹣6m＝0，解得m＝0或7，
当m＝0时，直线l1：y＝0，l2：y＝7，
故两直线的距离为7，
当m＝7时，直线l1：7x+2y+7＝0，l2：7x+2y+＝0，
故两直线的距离为＝．
【点评】本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题．
18．已知圆C1：x2+y2﹣2mx﹣4my+5m2﹣4＝0，圆C2：x2+y2＝1．
（1）若圆C1、C2相切，求实数m的值；
（2）若圆C1与直线：x+2y﹣4＝0相交于M、N两点，且|MM|＝，求m的值．
【分析】（1）根据两个圆相内切与外切时圆心距与半径的和差的关系即可得出m．
（2）利用弦长公式即可得出m．
【解答】解：（1）圆C1：x2+y2﹣2mx﹣4my+5m2﹣4＝0，配方为（x﹣m）2+（y﹣2m）2＝4，可得圆心C1（m，2m），半径R＝2．
由圆C2：x2+y2＝1可得圆心C2（0，0），半径r＝1．
|C1C2|＝＝m，
若圆C1与圆C2相内切，则|C1C2|＝|R﹣r|，即m＝2﹣1，解得m＝；
若圆C1与圆C2相外切，则|C1C2|＝R+r，即m＝2+1，解得m＝．
（2）圆心C1（m，2m）到直线：x+2y﹣4＝0的距离d＝＝，
∵|MM|＝，
∴2＝2＝，解得m＝0或．
【点评】本题考查了两个圆相内切与外切时圆心距与半径的和差的关系、弦长公式．、点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．如图，已知椭圆＝1（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
（1）若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
【分析】（1）由△AOF2为等腰直角三角形，则b＝c，利用椭圆的离心率公式求得椭圆的离心率；
（2）由＝2，根据向量数量积的坐标运算，求得B点坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程．
【解答】解：（1）若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．则|OA|＝|OF2|，即b＝c．
∴a＝＝c，
椭圆的离心率e＝＝；
（2）由题知2c＝2，c＝1，则A（0，b），F2（1，0），设B（x，y），
由＝2，即（1，﹣b）＝2（x﹣1，y），
∴，解得x＝，y＝﹣．
代入椭圆＝1，即解得a2＝3．b2＝a2﹣c2＝2，
∴椭圆方程为．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
20．如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG＝3GE．
（1）试用，，，表示向量；
（2）若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，∠AOB＝90°，求 的值．
【分析】（1）将，，作为空间向量的一组基底，然后结合空间向量的线性运算求解即可；
（2）由空间向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
【解答】解：（1）在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG＝3GE，
则
＝
＝
＝
＝；
（2）由OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，∠AOB＝90°，
则，，，
则 ＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算，重点考查了空间向量的数量积的运算，属基础题．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值．
【分析】（1）由条件先证明AB⊥底面AA1C1C，从而可证明AB⊥A1C．
（2）取AB的中E，则可得DE⊥面AA1C1C，过E作EH⊥A1B，垂足为H，连结HD，所以∠DHE为D﹣CA1﹣A的平面角，然后在直角三角形EHD中求解即可．
【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB 底面ABC，则AA1⊥AB，
又AC＝4，AB＝3，BC＝5，则BC2＝AC2+AB2，所以AB⊥AC，
又AC AA1＝A，所以AB⊥面AA1C1C，
A1C 面AA1C1C，所以AB⊥A1C．
（2）解：点D是线段BC的中点．取AB的中E，则AB∥DE，且，
由（1）可知AB⊥面AA1C1C，则DE⊥面AA1C1C，
过E作EH⊥A1B，垂足为H，连结HD，
所以∠DHE为D﹣CA1﹣A的平面角，
由AA1＝AC＝4，则∠A1BA＝45°，则△BHE为等腰三角形，且BE＝2，
所以，直角三角形EHD中，，
在直角三角形EHD中，．
【点评】本题主要考查异面直线垂直的证明，二面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
22．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点（，）在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，O为原点，求△OAB面积的最大值．
【分析】（1）由题意可得c＝1，a2＝b2+1①，得+＝1②，求解得到a，b的值，可求椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为y＝x+m，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后由弦长公式求得AB的长度，再由点到直线的距离公式求得O到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△OAB面积的最大值．
【解答】解：（1）由焦距为2，可得c＝1，即焦点为（﹣1，0），（1，0），∴a2＝b2+1①，
点（，）在椭圆上，得+＝1②，将①代入②，整理得4b4﹣3b2﹣1＝0，
解得b2＝1，b2＝﹣（舍去），∴a2＝2，
∴椭圆的方程为+y2＝1；
（2）设直线l的方程为y＝x+m，代入椭圆方程+y2＝1，消去y得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，
∴Δ＝16m2﹣24（m2﹣1）＝8（3﹣m2）＞0，解得m∈（﹣，），
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣m，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1﹣x2|＝ ＝ ＝，
原点O到直线l的距离d＝，
∴S△AOB＝|AB| d＝××＝ ≤ ＝，
当且仅当m2＝3﹣m2，即m＝±时取等号，
∴△OAB面积的最大值为．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的方程和三角形面积的计算，考查运算求解能力，属中档题．