高考数学数列专题突破卷（附答案）
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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高考数学数列专题突破卷（附答案）
一、单选题
1.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（ ）
A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1
2.设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
3.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
4.数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
6.已知等差数列{an}的前n项和Sn ， 公差d≠0， ≤1．记b1＝S2 ， bn+1＝Sn+2﹣S2n ， n∈N*，下列等式不可能成立的是（ ）
A. 2a4＝a2+a6 B. 2b4＝b2+b6 C. a42＝a2a8 D. b42＝b2b8
二、填空题
7.记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 ________．
8.数列 满足 ，前16项和为540，则 ________.
9.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
10.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是________．
11.已知数列{an}满足an＝ ，则S3＝________．
三、解答题
12.设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log3an}的前n项和．若 ，求m．
13.设数列{an}满足a1=3， ．
（1）计算a2 ， a3 ， 猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn ．
14.设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比； （2）若 ，求数列 的前n项和．
15.已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式； （2）求 .
16.已知公比大于1的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前100项和 ．
17.已知数列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an ， cn+1＝ cn（n∈N*）．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比q＞0，且b1+b2＝6b3 ， 求q与an的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差d＞0，证明：c1+c2+…+cn＜1+ ．
18.已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前2n项和．
19.已知数列 的首项a1=1，前n项和为Sn ． 设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ–k”数列．
（1）若等差数列 是“λ–1”数列，求λ的值；
（2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且an≥0 若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
20.已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
答 案
一、单选题
1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B
二、填空题
7. 25 8. 7 9. 10. 4 11. 10
三、解答题
12. （1）解：设等比数列 的公比为 ，
根据题意，有 ，解得 ，所以
（2）解：令 ， 所以 ，
根据 ，可得 ，
整理得 ，因为 ，所以
13. （1）解：由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立
（2）解：由（1）可知，
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
14. （1）解：设 的公比为q， 为 的等差中项，
， ；
（2）解：设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
， .
15. （1）解：设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
（2）解：由于： ，故：
.
16. （1）解：由于数列 是公比大于 的等比数列，设首项为 ，公比为q，依题意有 ，解得解得 ，或 (舍)，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由于 ，所以
对应的区间为： ，则 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 .
所以 .
17. （Ⅰ）解：由题意，b2＝q，b3＝q2 ，
∵b1+b2＝6b3 ， ∴1+q＝6q2 ，
整理，得6q2﹣q﹣1＝0，
解得q＝﹣ （舍去），或q＝ ，
∴cn+1＝ cn＝ cn＝ cn＝ cn＝4 cn ，
∴数列{cn}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴cn＝1 4n﹣1＝4n﹣1 ， n∈N*．
∴an+1﹣an＝cn+1＝4n ，
则a1＝1，
a2﹣a1＝41 ，
a3﹣a2＝42 ，
……
an﹣an﹣1＝4n﹣1 ，
各项相加，可得
an＝1+41+42+…+4n﹣1＝ ＝ ．
（Ⅱ）证明：依题意，由cn+1＝ cn（n∈N*），可得
bn+2 cn+1＝bn cn ，
两边同时乘以bn+1 ， 可得
bn+1bn+2cn+1＝bnbn+1cn ，
∵b1b2c1＝b2＝1+d，
∴数列{bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为1+d，
bnbn+1cn＝1+d，
∴cn＝ ＝ ＝（1+ ） ＝（1+ ）（ ﹣ ），
∴c1+c2+…+cn
＝（1+ ）（ ﹣ ）+（1+ ）（ ﹣ ）+…+（1+ ）（ ﹣ ）
＝（1+ ）（ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝（1+ ）（ ﹣ ）
＝（1+ ）（1﹣ ）
＜1+ ，
∴c1+c2+…+cn＜1+ ，故得证．
18. 解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
19. （1）解:
（2）解:
，
（3）解: 假设存在三个不同的数列 为 数列.
或
或
∵对于给定的 ，存在三个不同的数列 为 数列，且
或 有两个不等的正根.
可转化为 ，不妨设 ，则 有两个不等正根，设 .
①当 时， ，即 ，此时 ， ，满足题意.
②当 时， ，即 ，此时 ， ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.
综上，
20. 解：(Ⅰ) 不具有性质①；
(Ⅱ) 具有性质①；
具有性质②；
(Ⅲ)【解法一】
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然 ，假设数列中存在负项，设 ，
第一种情况：若 ，即 ，
由①可知：存在 ，满足 ，存在 ，满足 ，
由 可知 ，从而 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若 ，由①知存在实数 ，满足 ，由 的定义可知： ，
另一方面， ，由数列的单调性可知： ，
这与 的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明 ：
利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，
而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列 的前 项成等比数列，不妨设 ，
其中 ，（ 的情况类似）
由①可得：存在整数 ，满足 ，且 （*）
由②得：存在 ，满足： ，由数列的单调性可知： ，
由 可得： （**）
由（**）和（*）式可得： ，
结合数列的单调性有： ，
注意到 均为整数，故 ，
代入（**）式，从而 .
总上可得，数列 的通项公式为： .
即数列 为等比数列.
【解法二】
假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，
而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
即 成等比数列，不妨设 ，
然后利用性质①：取 ，则 ，
即数列中必然存在一项的值为 ，下面我们来证明 ，
否则，由数列的单调性可知 ，
在性质②中，取 ，则 ，从而 ，
与前面类似的可知则存在 ，满足 ，
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与数列的单调性矛盾；
即不存在满足题意的正整数 ，可见 不成立，从而 ，
同理可得： ，从而数列 为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证，数列 为等比数列.
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高考数学数列专题突破卷（附答案）
一、单选题
1.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（ ）
A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1
2.设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
3.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
4.数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
6.已知等差数列{an}的前n项和Sn ， 公差d≠0， ≤1．记b1＝S2 ， bn+1＝Sn+2﹣S2n ， n∈N*，下列等式不可能成立的是（ ）
A. 2a4＝a2+a6 B. 2b4＝b2+b6 C. a42＝a2a8 D. b42＝b2b8
二、填空题
7.记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 ________．
8.数列 满足 ，前16项和为540，则 ________.
9.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
10.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是________．
11.已知数列{an}满足an＝ ，则S3＝________．
三、解答题
12.设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log3an}的前n项和．若 ，求m．
13.设数列{an}满足a1=3， ．
（1）计算a2 ， a3 ， 猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn ．
14.设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比； （2）若 ，求数列 的前n项和．
15.已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式； （2）求 .
16.已知公比大于1的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前100项和 ．
17.已知数列{an}，{bn}，{cn}中，a1＝b1＝c1＝1，cn+1＝an+1﹣an ， cn+1＝ cn（n∈N*）．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比q＞0，且b1+b2＝6b3 ， 求q与an的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差d＞0，证明：c1+c2+…+cn＜1+ ．
18.已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前2n项和．
19.已知数列 的首项a1=1，前n项和为Sn ． 设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ–k”数列．
（1）若等差数列 是“λ–1”数列，求λ的值；
（2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且an≥0 若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
20.已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
答 案
一、单选题
1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B
二、填空题
7. 25 8. 7 9. 10. 4 11. 10
三、解答题
12. （1）解：设等比数列 的公比为 ，
根据题意，有 ，解得 ，所以
（2）解：令 ， 所以 ，
根据 ，可得 ，
整理得 ，因为 ，所以
13. （1）解：由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立
（2）解：由（1）可知，
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
14. （1）解：设 的公比为q， 为 的等差中项，
， ；
（2）解：设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
， .
15. （1）解：设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
（2）解：由于： ，故：
.
16. （1）解：由于数列 是公比大于 的等比数列，设首项为 ，公比为q，依题意有 ，解得解得 ，或 (舍)，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由于 ，所以
对应的区间为： ，则 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 .
所以 .
17. （Ⅰ）解：由题意，b2＝q，b3＝q2 ，
∵b1+b2＝6b3 ， ∴1+q＝6q2 ，
整理，得6q2﹣q﹣1＝0，
解得q＝﹣ （舍去），或q＝ ，
∴cn+1＝ cn＝ cn＝ cn＝ cn＝4 cn ，
∴数列{cn}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴cn＝1 4n﹣1＝4n﹣1 ， n∈N*．
∴an+1﹣an＝cn+1＝4n ，
则a1＝1，
a2﹣a1＝41 ，
a3﹣a2＝42 ，
……
an﹣an﹣1＝4n﹣1 ，
各项相加，可得
an＝1+41+42+…+4n﹣1＝ ＝ ．
（Ⅱ）证明：依题意，由cn+1＝ cn（n∈N*），可得
bn+2 cn+1＝bn cn ，
两边同时乘以bn+1 ， 可得
bn+1bn+2cn+1＝bnbn+1cn ，
∵b1b2c1＝b2＝1+d，
∴数列{bnbn+1cn}是一个常数列，且此常数为1+d，
bnbn+1cn＝1+d，
∴cn＝ ＝ ＝（1+ ） ＝（1+ ）（ ﹣ ），
∴c1+c2+…+cn
＝（1+ ）（ ﹣ ）+（1+ ）（ ﹣ ）+…+（1+ ）（ ﹣ ）
＝（1+ ）（ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝（1+ ）（ ﹣ ）
＝（1+ ）（1﹣ ）
＜1+ ，
∴c1+c2+…+cn＜1+ ，故得证．
18. 解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
19. （1）解:
（2）解:
，
（3）解: 假设存在三个不同的数列 为 数列.
或
或
∵对于给定的 ，存在三个不同的数列 为 数列，且
或 有两个不等的正根.
可转化为 ，不妨设 ，则 有两个不等正根，设 .
①当 时， ，即 ，此时 ， ，满足题意.
②当 时， ，即 ，此时 ， ，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.
综上，
20. 解：(Ⅰ) 不具有性质①；
(Ⅱ) 具有性质①；
具有性质②；
(Ⅲ)【解法一】
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然 ，假设数列中存在负项，设 ，
第一种情况：若 ，即 ，
由①可知：存在 ，满足 ，存在 ，满足 ，
由 可知 ，从而 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若 ，由①知存在实数 ，满足 ，由 的定义可知： ，
另一方面， ，由数列的单调性可知： ，
这与 的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明 ：
利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，
而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列 的前 项成等比数列，不妨设 ，
其中 ，（ 的情况类似）
由①可得：存在整数 ，满足 ，且 （*）
由②得：存在 ，满足： ，由数列的单调性可知： ，
由 可得： （**）
由（**）和（*）式可得： ，
结合数列的单调性有： ，
注意到 均为整数，故 ，
代入（**）式，从而 .
总上可得，数列 的通项公式为： .
即数列 为等比数列.
【解法二】
假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，
而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
即 成等比数列，不妨设 ，
然后利用性质①：取 ，则 ，
即数列中必然存在一项的值为 ，下面我们来证明 ，
否则，由数列的单调性可知 ，
在性质②中，取 ，则 ，从而 ，
与前面类似的可知则存在 ，满足 ，
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与数列的单调性矛盾；
即不存在满足题意的正整数 ，可见 不成立，从而 ，
同理可得： ，从而数列 为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证，数列 为等比数列.
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