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专题11 一次函数中的实际应用问题 专项提升（精讲）
一次函数应用题在浙教版八年级上册的必考题。常分为行程类问题、图象类方案选择问题、最优方案问题等，该文对这几类问题进行方法总结与经典题型进行分类。
高频考点1. 行程类问题
1）纵坐标表示行驶路程
1.一般该类型代表时间，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义；
2.直线中=行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离.
2）纵坐标表示两者之间的距离
1.一般该类型代表时间，代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义；
2.①当两人同向行驶时，速度差；②当两人相向行驶时，速度和；
3.轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离.
例1．（2022·湖南绥宁·八年级期末）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：①m＝1；②a＝40；③甲车从A地到B地共用了6.5小时；④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①由函数图象中的信息求出m的值；②根据“路程÷时间＝速度”求出甲的速度，并求出a的值；
③求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答；
④根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．
【详解】解：由题意，得m＝1.5﹣0.5＝1，故①结论正确；
120÷（3.5﹣0.5）＝40（km/h），则a＝40，故②结论正确；
设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得：
，解得，∴y＝40x﹣20（1.5＜x≤7），
当y＝260时，260＝40x﹣20，解得：x＝7，∴甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论错误；
当1.5＜x≤7时，y＝40x﹣20．设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k'x＋b'，由题意得：
，解得，∴y＝80x﹣160．
当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，解得：x＝，当40x﹣20＋50＝80x﹣160时，解得：x＝，
∴﹣2＝，﹣2＝，所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故④结论错误．
∴正确结论的个数是2个．故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，分析出每段函数图像所代表的含义是解题的关键．
变式1．（2022 包河区期中）某天中午，小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校．小明、小亮两人离文具店的路程y1、y2（单位：米）与出发时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示．
（1）学校和文具店之间的路程是 米，小亮的速度是小明速度的 倍；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）小明与小亮迎面相遇以后，再经过多长时间两人相距20米？
解：（1）由图象可得，学校和文具店之间的路程是360米，
∵小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校，
∴小亮的速度是小明速度的2倍，故答案为：360，2；
（2）设小明的速度为m米/分钟，则小亮的速度为2m米/分钟，2m+2×2m＝360，解得m＝60，
∴a＝2×60＝120，∴图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两人出发2min后在距离文具店120m处相遇；
（3）设小明与小亮迎面相遇以后，再经过n分钟两人相距20米，
小亮未到达文具店时，（60+2×60）n＝20，解得n＝；
小亮从文具店返回学校时，60（2+n）﹣[（60×2）×（2+n）﹣360]＝20，解得n＝；
由上可得，小明与小亮迎面相遇以后，再经过分钟或分钟两人相距20米．
变式2．（2022·广西横县·八年级期末）图中表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中路程（千米）随时间（分）变化的图象，从图中可知比赛开始________分钟后两人第一次相遇．
【答案】
【分析】两个函数图象交点的横坐标即为他们的相遇时间，观察图象，有两个交点，第一次在AB段，第二次在BC段，根据条件首先求出AB解析式，即得出相遇时间．
【详解】解：（1）当15≤x≤33时，设yAB＝kx＋b，
∵点（15，5）（33，7）在此直线上，∴，解得，
∴y＝x＋，当y＝6时，x＋＝6 x＝24，即24分钟两人第一次相遇，故答案为：24．
【点睛】本题考查了利用函数图像解决实际问题，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决；解决问题的关键是求出AB的解析式．
例2.（2022 安徽二模）小华与小明分别从甲，乙两地同时出发，沿一条笔直的人行步道相向而行，两人分别到达乙，甲两地后立即原路返回，当两人第二次相遇时停止运动．两人步行过程中速度保持不变，且小华的速度大于小明的速度；两人之间的距离y（单位：米）与所用时间x（单位：分钟）之间函数关系的部分图象如图所示，请结合图象完成下列问题：（1）求两名同学的速度分别是多少？（2）请直接写出线段AB所在直线的函数关系式；（3）请在图中补全图象，并在图上标出补充图象的端点坐标．（不必写计算过程）
解：（1）两人相向而行，y代表距离，说明甲、乙两地相距1200m，
A点代表两人第一次相遇，AB代表两个人维续走，B点代表小华到达乙地，
一共1200m，小华用了20min，∴小华速度：1200÷20＝60 （m/min），
在A点．两人相遇共走1200m，用时12min，∴两人速度和：1200÷12＝100（m/min），
∴小明速度：100﹣60＝40（m/min），∴小华的速度为60m/min，小明的速度为40m/min；
（2）小华到乙地时，时间是20，此时小明走20×40＝800，∴B（20，800），A（12，0），
设AB解析式：y＝kx+b，把A、B坐标代入解析式，得：，解得：，
∴线段AB所在直线的函数关系式为y＝100x﹣1200；
（3）C点：此时小明到达甲地，D点：两人第二次相遇，C点横坐标为1200÷40＝30，
此时小华走了30×60＝1800米，相当于往回返走600米，∴C（30，600），D点：两人再次相遇，
当x＝3600÷100＝36时，此时y值为0，如图所示：
变式1．（2022·安徽淮北·八年级月考）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与乙出发的时间t（s）之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】首先求出甲乙两人的速度，a是乙追上甲所用的时间，根据追上时两人的路程相等，列方程可以得出；c是乙跑100秒时，两人之间的距离，求出乙出发100秒的路程，甲出发102秒的路程，再相减可以得
出；b是甲到达终点的时间，因为此图中的t是乙的时间，所以要减去2秒，即可得出结论．
【详解】解：甲的速度为；乙的速度为；
；，解得，．
∴正确的有①②③．故正确结论的个数有3个，故选：D．
【点睛】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了由图得出已知信息，再解决问题；要明确时间、路程、速度的关系，本题有两个人，速度不同，但同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，理解这一句话是关键，利用数形结合解决问题．
变式2．（2022 南关区一模）已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时，m＝ ．（2）求乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距160千米时，直接写出甲车的行驶时间．
解：（1）由图象可得，甲车的速度为：30÷0.5＝60（千米/时），
乙车的速度为：60×2÷（2﹣0.5）＝80（千米/时），
m＝2+（2﹣0.5）＝2+1.5＝3.5，故答案为：60，80，3.5；
（2）当x＝3.5时，y＝1.5×（60+80）＝210，设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
∵点（2，0），（3.5，210）在该函数图象上，∴，解得，
即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝140x﹣280（2≤x≤3.5）；
（3）当y＝160时，160＝140x﹣280，解得x＝，
答：当甲、乙两车相距160千米时，甲车的行驶时间是小时．
高频考点2. 最优方案问题
解题步骤：1）将需求最值对象表示成一次函数；
2）利用题中条件求出自变量的取值范围；
3）利用一次函数的增减性求出的最值，并找出最优方案。
例1．（2022·成都西川中学九年级月考）为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/袋） m
售价（元/袋） 20 13
已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．（1）求m的值．（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围．（3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）10；（2）该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围为240～246；（3）应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋．
【分析】（1）根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答；（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品（800﹣x）袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答；（3）设总利润为W，根据总利润等于两种绿色袋装食品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【详解】（1）依题意得：解得：，经检验是原分式方程的解．
（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品袋，根据题意得，
，解得：，
∵x是正整数，，∴共有7种方案．
（3）设总利润为W，则
①当时，，W随x的增大而增大，所以，当时，W有最大值，
即此时应购进甲种绿色袋装食品246袋，乙种绿色袋装食品554袋；
②当时，，（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，W随x的增大而减小，所以，当时，W有最大值，
即此时应购进甲种绿色袋装食品240袋，乙种绿色袋装食品560袋．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．
变式1．（2022 新城区校级期末）今年是中国共产党成立100周年，全国上下掀起了学习党史的热潮．某书店为了满足广大读者的阅读需求，准备购进A、B两种党史学习书籍．已知购进A、B两种书各1本需86元，购进A种书5本、B种书2本需340元．（1）求A、B两种书的进价；（2）书店决定A种书以每本80元出售，B种书以每本58元出售，为满足市场需求，现书店准备购进A、B两种书共100本，且A种书的数量不少于B种书数量的3倍，请问书店老板如何进货，可获利最大？并求出最大利润．
解：（1）设A种书的进价为x元，B种书的进价为y元，
由题意得：，解得：，答：A，B两种书的进价分别为56元，30元；
（2）设购进A种书a本，购进B种书（100﹣a）本，获利为w元，
由题意得：w＝（80﹣56）a+（58﹣30）（100﹣a）＝﹣4a+2800，
∵a≥3（100﹣a），∴a≥75，∵﹣4＜0，∵w随a增大而减小，
∴当a＝75时，w最大，最大值为2500元，此时100﹣a＝100﹣75＝25（本）．
答：购进A种书75本，B种书25本时总获利最大，最大利润为2500元．
变式2．（2022 南阳模拟）为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的A，B两个养殖场共出栏肥羊2000只，B养殖场的肥羊数量是A养殖场的2倍少400只．这批肥羊将运往甲地1300只，乙地700只，运费如下表（单位：元/只）．
养殖场目的地 A B
甲 25 18
乙 20 24
（1）求A，B养殖场各出栏多少只肥羊？（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只（100≤x≤700），全部运往甲、乙两地的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每只肥羊的运费下降a元（0＜a≤18且a为整数）时，按（2）中设计的调运方案，总运费不超过30000元，求a的最小值．
解：（1）设A养殖场出栏m只肥羊，B养殖场出栏 （2m﹣400）只肥羊，根据题意得：
m+2m﹣400＝2000，解得：m＝800．
答：A养殖场出栏800只肥羊，B养殖场出栏1200只肥羊；
（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只，则从A养殖场运往乙地（800﹣x）只，
从B养殖场运往甲地（1300﹣x）只，从B养殖场运往乙地 （x﹣100）只，
根据题意得：y＝25x+20（800﹣x）+18（1300﹣x）+24（×﹣100）＝11x+37000，
∵11＞0，∴y随x的增大而增大，∵100≤x≤700，∴x＝100时，y最小，
答：这批肥羊从A养殖场运往甲地100只，则从A养殖场运往乙地700只，从B养殖场运往甲地1200只，此时费用最少；
（3）总运费z＝100（25﹣x）+700（20﹣a）+1200（18﹣a）＝﹣2000a+38100，
由题意得：，解得：4.05≤a≤18，且a为整数，∴a的最小值为5．
例2．（2022 枣阳市模拟）为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B地380吨，运费如表：（单位：元/吨）
目的地生产厂 A B
甲 25 20
乙 15 24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？（2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；
（3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0＜m≤15），其余路线运费不变．若到A，B两市的总运费的最小值不小于14020元，求m的取值范围．
解：（1）设这批建设物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，
由题意可得，，解得，
答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨、300吨；
（2）由题意可得，y＝25x+20（500﹣x）+15（420﹣x）+24[380﹣（500﹣x）]＝14x+13420（120≤x≤420），
∵k＝14＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝120时运费最小，此时500﹣x＝380，420﹣x＝300，380﹣380＝0，
答：总运费最少的调运方案是：甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨；
（3）由题意可得，y＝14x+13420﹣mx＝（14﹣m）x+13420，
当0＜m＜14时，14﹣m＞0，则y随x的增大而增大．
∴当x＝120时，y取得最小值，此时y＝（14﹣m）×120+13420≥14020，解得m≤9，∴0＜m≤9；
当m＝14时，14﹣m＝0，y＝13420不合题意，舍去；
当14＜m≤15时，14﹣m＜0，y随x的增大而减少，
∴当x＝420时，y取得最小值，此时y＝（14﹣m）×420+13420≥14020，
解得m≤12（舍去），由上可得，m的取值范围是0＜m≤9．
变式1．（2022 潼南区期末）洪水无情，人有情，依靠政府战灾情．202特大洪水虽然给我区人民造成极大损失，但全区人民在区政府的领导之下，老百姓相互支持，很快恢复生产，并喜获丰收.2020年下半年，桂林坝某农户种植基地收获萝卜192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批萝卜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
车型 运费
运往甲地/（元/辆） 运往乙地/（元/辆）
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的萝卜不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．
解：（1）设大货车用x辆，则小货车用y辆，根据题意得：
，解得，答：大货车用8辆，小货车用10辆．
（2）设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a），运往甲地的小货车是（10﹣a），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a），
w＝720a+800（8﹣a）+500（10﹣a）+650[10﹣（10﹣a）]，＝70a+11400（0≤a≤8且为整数）；
（3）14a+8（10﹣a）≥96，解得a≥，又∵0≤a≤8，∴3≤a≤8 且为整数．
∵w＝70a+11400，k＝70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a＝3时，W最小，最小值为：W＝70×3+11400＝11610（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．
变式2．（2022·成都市八年级课时练习）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师．
现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车 乙种客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
（1）共需租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案
分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求：
①要保证210名师生都有车坐；②要使每辆汽车上至少要有1名教师．
根据①可知，汽车总数不能小于______；根据②可知，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为______．
（2）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少地租用甲种客车可以节省费用．
设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，即．
将（1）中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得_________．
为使240名师生有车坐，x不能小于________；为使租车费用不超过2300元，x不能超过________．综合起来可知x的取值为________．
在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由．
【答案】（1）6；6；6；（2）；4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少．
【分析】（1）由师生总数为240人，根据“所需租车数＝人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论；
（2）设租乙种客车x辆，则甲种客车（6 x）辆，根据师生总数为240人以及租车总费用不超过2300元，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用＝租A种客车所需费用＋租B种客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的值即可解决最值问题．
【详解】解：（1）∵（234＋6）÷45＝5（辆）…15（人），
∴保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6；
∵只有6名教师，∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6；故填： 6，6，6．
（2）设租用x辆甲种客车，租乙种客车辆，则租车费用y是x的函数，
即，由题意得：，解得：4≤x≤，
∵x为整数，∴x＝4，或x＝5，∵租车的总费用为，且120＞0，
∴当x＝4时，y取最小值，最小值为2160元，故填：4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系确定租车数；（2）找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（不等式或不等式组）是关键．
高频考点3. 图象类方案选择问题
例1．（2022 梁园区二模）某校八年级（2）班50位同学准备在五一当天利用班费集体去本地某游乐园游玩，经了解，该游乐园票价为200元/人，但对学生门票价格实行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折．10人以上超过10人的部分打b折，班委会进行了统计，设学生为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与学生x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a＝ ，b＝ ；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）后来，由于五一当天部分同学家中有事不能前去游玩，只能安排这些同学在暑假中（非节假日）游玩，该班的班费不超过5440元，且全部用到了门票上，则五一当天至少有多少同学未能去游玩？
解：（1）∵y1图象过点（10，800），即10人的费用为800元，∴a＝×10＝4，
∵y2图象过点（10，2000）和（20，3000），即20人中后10人费用为1000元，
∴b＝×10＝5，故答案为：4，5；
（2）设y1＝k1x，
∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），∴10k1＝800，∴k1＝80，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝80x；
设y2＝k2x+b，①当0≤x≤10时，∵函数图象经过点（0，0）和（10，2000），
∴10k2＝2000，∴k2＝200，∴y2＝200x，
②当x＞10时，∵函数图象经过点（10，2000）和（20，3000），
∴，解得：，∴y2＝100x+1000；
综上所述，y2与x之间的函数关系式为y2＝；
（3）设共n名学生五一当天去游玩，则暑假去游玩的人数为（50﹣n）人，
当0＜n≤10时，200n+80 （50﹣n）≤5440，解得n＜12，∴0＜n≤10，则50＞50﹣n≥40；
当n＞10时，100n+1000+80×（50﹣n）≤5440，解得n≤22，∴10＜n≤22，∴40＞50﹣n≥28
综上所述，则五一当天至少有28位同学未能去游玩．
变式1．（2022 驻马店二模）2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研究购进一批A型可降解聚乳酸吸管和一批B型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台A型设备和3台B型设备共需130万元，购买1台A型设备的费用恰好可购买2台B型设备．
（1）求两种设备的价格．（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如y1所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如y2所示）．
①y1的解析式为 ；y2的解析式为 ．②当销售量（x）满足条件 时，该公司盈利（即收入大于成本）．（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中A型设备每天生产量为1.2吨，B型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出A型设备至少需要购进多少台？
解：（1）设A型设备每台的价格a万元，B型设备每台b万元，
，解得，
答：A型设备每台的价格20万元，B型设备每台10万元；
（2）①设y1与x的函数关系式为y1＝kx，
∵点（10，20）在该函数图象上，∴10k＝20，得k＝2，即y1与x的函数关系式为y1＝2x；
设y2与x的函数关系式为y2＝cx+d，，解得，
即y2与x的函数关系式为y2＝x+10；故答案为：y1＝2x，y2＝x+10；
②由图象可得，当x＞10时，该公司盈利，故答案为：x＞10；
（3）设购进A型设备m台，则购进B型设备（10﹣m）台，
由题意可得，1.2m+0.4（10﹣m）＞10，解得m＞7.5，
∵m为正整数，∴m至少是8，答：A型设备至少需要购进8台．
变式2．（2022 深圳期中）某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分）与费用y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）有月租的收费方式是 （填“①”或“②”），月租费是 元．
（2）分别写出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式：① ；② ．
（3）当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？
（4）如果某用户一个月通讯时间是350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠．
解：（1）有月租费的收费方式是①，月租费是20元；故答案为：①；20；
（2）设y1＝k1x+20，y2＝k2x，由题意得：
将（500，80）代入y1＝k1x+20，得，500k1+20＝80，∴k1＝0.12，∴y1＝0.12x+20，
将（500，100）代入y2＝k2x，得，500k2＝100，∴k2＝0.2．∴y2＝0.2x，
故所求的解析式为y1＝0.12x+20；y2＝0.2x；故答案为：y1＝0.12x+20；y2＝0.2x；
（3）当通讯时间相同时y1＝y2，得0.2x＝0.12x+20，解得x＝250；
故当通讯时间是250分钟时，两种收费方式的费用一样；
（3）y2＝0.2x＝0.2×350＝70（元）；y1＝0.12x+20＝0.12×350+20＝62（元），
70＞62，故使用有月租费方式更经济实惠．
例2．（2022·湖北江汉·八年级期末）经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面复工复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌（简称“消杀”），现有A，B，C三个公司针对中小企业开展消杀业务，价格如下：
公司 器材租赁费（单位：元） 人工费用（单位：元/平方米）
A 0 0.5
B 40 0.3
C 298 0
（1）设某办公场所需要消杀的面积为x平方米（0＜x≤1000），公司A，B的收费金额y1，y2都是x的函数，则这两个函数的解析式分别是 ， ．
若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ；
若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ；
若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ．
（2）A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格比较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，试根据以上信息，求a的取值范围．
【答案】（1）y1＝0.5x，y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860； 860≤x≤1000；（2）300≤a≤332．
【分析】（1）根据题意，A公司人工费用每平方米0.5元，可得，y1＝0.5x；B公司需要器材租赁费40元，人工费用每平方米0.3元，则y2＝0.3x+40；若选择公司A最省钱，则需要让A公司的收费金额小于等于B公司和C公司的费用，列出不等式组进行求解；依此类推．
（2）已知消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，由此可列出不等式组，进行求解．
【详解】解：（1）由题意可得，y1＝0.5x，y2＝0.3x+40，
若选择公司A最省钱，则有 ，解得x≤200，
∵0＜x≤1000，∴0＜x≤200；
若选择公司B最省钱，则有，解得200≤x≤860；
∵0＜x≤1000，∴200≤x≤860；
若选择公司C最省钱，则有 ，解得x≥860，
∵0＜x≤1000，∴860≤x≤1000．
故答案为：y1＝0.5x；y2＝0.3x+40；0＜x≤200；200≤x≤860；860≤x≤1000．
（2）根据题意可得，推出优惠活动后，y1＝0.5a+0.25（x﹣a）＝0.25x+0.25a，
则有， 解得300≤a≤332．
∴此时a的取值范围为：300≤a≤332．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意，列出不等式组是解题的关键．
变式2．（2022·山东德州初二期中）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：
甲林场 乙林场
购树苗数量 销售单价 购树苗数量 销售单价
不超过1000棵时 4元/棵 不超过2000棵时 4元/棵
超过1000棵的部分 3.8元/棵 超过2000棵的部分 3.6元/棵
设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）．（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为 元，若都在乙林场购买所需费用为 元；（2）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
【答案】（1）5900，6000；（2）见解析；（3）当0≤x≤1000或x=3000时，两家林场购买一样，当1000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；当x＞3000时，到乙林场购买合算．
分析: （1）由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用；
（2）根据分段函数的表示法，甲林场分或两种情况 .乙林场分或两种情况.由由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出甲、乙与之间的函数关系式；
（3）分类讨论，当，时，时，表示出甲、乙的关系式，就可以求出结论．
【解析】（1）由题意，得．甲=4×1000+3.8（1500﹣1000）=5900元，乙=4×1500=6000元；
故答案为5900，6000；
（2）当时，甲
时．甲
∴甲(取整数).
当时，乙
当时，乙
∴乙(取整数).
（3）由题意，得 当时，两家林场单价一样，∴到两家林场购买所需要的费用一样．
当时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，∴当时，到甲林场优惠；
当时，甲乙
当甲=乙时 解得：
∴当时，到两家林场购买的费用一样；
当甲<乙时， 时，到甲林场购买合算；
当甲>乙时， 解得： ∴当时，到乙林场购买合算．
综上所述，当或时，两家林场购买一样，
当时，到甲林场购买合算；当时，到乙林场购买合算．
变式2．（2022·河南·八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．
【答案】（1）y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；（2）当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；（3）员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．
【分析】（1）根据甲旅行社的收费标准，可得甲的函数解析式；根据乙的收费标准，可得乙的函数解析式；
（2）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（3）根据收费相同，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1）由题意可得，y甲＝2000x×0.8＝1600x，y乙＝2000（x+1）×0.75＝1500x+1500，
即y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；
（2）当x＝10时，y甲＝1600×10＝16000，y乙＝1500×10+1500＝16500，
∵16000＜16500，∴当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；
（3）由题意可得，1600x＝1500x+1500，解得x＝15，
即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，正确理解函数的自变量与因变量之间的关系是解题关键．
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专题11 一次函数中的实际应用问题 专项提升（精讲）
一次函数应用题在浙教版八年级上册的必考题。常分为行程类问题、图象类方案选择问题、最优方案问题等，该文对这几类问题进行方法总结与经典题型进行分类。
高频考点1. 行程类问题
1）纵坐标表示行驶路程
1.一般该类型代表时间，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义；
2.直线中=行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离.
2）纵坐标表示两者之间的距离
1.一般该类型代表时间，代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义；
2.①当两人同向行驶时，速度差；②当两人相向行驶时，速度和；
3.轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离.
例1．（2022·湖南绥宁·八年级期末）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象，有以下结论：①m＝1；②a＝40；③甲车从A地到B地共用了6.5小时；④当两车相距50km时，乙车用时为h．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（2022 包河区期中）某天中午，小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校．小明、小亮两人离文具店的路程y1、y2（单位：米）与出发时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示．
（1）学校和文具店之间的路程是 米，小亮的速度是小明速度的 倍；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）小明与小亮迎面相遇以后，再经过多长时间两人相距20米？
变式2．（2022·广西横县·八年级期末）图中表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中路程（千米）随时间（分）变化的图象，从图中可知比赛开始________分钟后两人第一次相遇．
例2.（2022 安徽二模）小华与小明分别从甲，乙两地同时出发，沿一条笔直的人行步道相向而行，两人分别到达乙，甲两地后立即原路返回，当两人第二次相遇时停止运动．两人步行过程中速度保持不变，且小华的速度大于小明的速度；两人之间的距离y（单位：米）与所用时间x（单位：分钟）之间函数关系的部分图象如图所示，请结合图象完成下列问题：（1）求两名同学的速度分别是多少？（2）请直接写出线段AB所在直线的函数关系式；（3）请在图中补全图象，并在图上标出补充图象的端点坐标．（不必写计算过程）
变式1．（2022·安徽淮北·八年级月考）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与乙出发的时间t（s）之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式2．（2022 南关区一模）已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时，m＝ ．（2）求乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距160千米时，直接写出甲车的行驶时间．
高频考点2. 最优方案问题
解题步骤：1）将需求最值对象表示成一次函数；
2）利用题中条件求出自变量的取值范围；
3）利用一次函数的增减性求出的最值，并找出最优方案。
例1．（2022·成都西川中学九年级月考）为了满足学生的物质需求，某中学超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/袋） m
售价（元/袋） 20 13
已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．（1）求m的值．（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润＝售价－进价）不少于5200元，且不超5230元，求该超市进货甲种绿色袋装食品的数量范围．（3）在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品进行优惠促销活动，决定对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变．那么该超市要获得最大利润应如何进货？
变式1．（2022 新城区校级期末）今年是中国共产党成立100周年，全国上下掀起了学习党史的热潮．某书店为了满足广大读者的阅读需求，准备购进A、B两种党史学习书籍．已知购进A、B两种书各1本需86元，购进A种书5本、B种书2本需340元．（1）求A、B两种书的进价；（2）书店决定A种书以每本80元出售，B种书以每本58元出售，为满足市场需求，现书店准备购进A、B两种书共100本，且A种书的数量不少于B种书数量的3倍，请问书店老板如何进货，可获利最大？并求出最大利润．
变式2．（2022 南阳模拟）为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的A，B两个养殖场共出栏肥羊2000只，B养殖场的肥羊数量是A养殖场的2倍少400只．这批肥羊将运往甲地1300只，乙地700只，运费如下表（单位：元/只）．
养殖场目的地 A B
甲 25 18
乙 20 24
（1）求A，B养殖场各出栏多少只肥羊？（2）设这批肥羊从A养殖场运往甲地x只（100≤x≤700），全部运往甲、乙两地的总费用为y元，求y与x的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每只肥羊的运费下降a元（0＜a≤18且a为整数）时，按（2）中设计的调运方案，总运费不超过30000元，求a的最小值．
例2．（2022 枣阳市模拟）为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B地380吨，运费如表：（单位：元/吨）
目的地生产厂 A B
甲 25 20
乙 15 24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？（2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；（3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0＜m≤15），其余路线运费不变．若到A，B两市的总运费的最小值不小于14020元，求m的取值范围．
变式1．（2022 潼南区期末）洪水无情，人有情，依靠政府战灾情．202特大洪水虽然给我区人民造成极大损失，但全区人民在区政府的领导之下，老百姓相互支持，很快恢复生产，并喜获丰收.2020年下半年，桂林坝某农户种植基地收获萝卜192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批萝卜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
车型 运费
运往甲地/（元/辆） 运往乙地/（元/辆）
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的萝卜不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．
变式2．（2022·成都市八年级课时练习）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师．
现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车 乙种客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
（1）共需租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案
分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求：
①要保证210名师生都有车坐；②要使每辆汽车上至少要有1名教师．
根据①可知，汽车总数不能小于______；根据②可知，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为______．
（2）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少地租用甲种客车可以节省费用．
设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，即．
将（1）中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得_________．
为使240名师生有车坐，x不能小于________；为使租车费用不超过2300元，x不能超过________．综合起来可知x的取值为________．
在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由．
高频考点3. 图象类方案选择问题
例1．（2022 梁园区二模）某校八年级（2）班50位同学准备在五一当天利用班费集体去本地某游乐园游玩，经了解，该游乐园票价为200元/人，但对学生门票价格实行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折．10人以上超过10人的部分打b折，班委会进行了统计，设学生为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与学生x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a＝ ，b＝ ；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）后来，由于五一当天部分同学家中有事不能前去游玩，只能安排这些同学在暑假中（非节假日）游玩，该班的班费不超过5440元，且全部用到了门票上，则五一当天至少有多少同学未能去游玩？
变式1．（2022 驻马店二模）2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研究购进一批A型可降解聚乳酸吸管和一批B型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台A型设备和3台B型设备共需130万元，购买1台A型设备的费用恰好可购买2台B型设备．
（1）求两种设备的价格．（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如y1所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如y2所示）．
①y1的解析式为 ；y2的解析式为 ．②当销售量（x）满足条件 时，该公司盈利（即收入大于成本）．（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中A型设备每天生产量为1.2吨，B型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出A型设备至少需要购进多少台？
变式2．（2022 深圳期中）某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分）与费用y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）有月租的收费方式是 （填“①”或“②”），月租费是 元．
（2）分别写出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式：① ；② ．
（3）当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？
（4）如果某用户一个月通讯时间是350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠．
例2．（2022·湖北江汉·八年级期末）经过武汉人民的不懈努力，新冠疫情已得到有效控制，在武汉市全面复工复产的过程中，专家建议要定期对办公场所进行消毒杀菌（简称“消杀”），现有A，B，C三个公司针对中小企业开展消杀业务，价格如下：
公司 器材租赁费（单位：元） 人工费用（单位：元/平方米）
A 0 0.5
B 40 0.3
C 298 0
（1）设某办公场所需要消杀的面积为x平方米（0＜x≤1000），公司A，B的收费金额y1，y2都是x的函数，则这两个函数的解析式分别是 ， ．
若选择公司A最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ；
若选择公司B最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ；
若选择公司C最省钱，则所需要消杀的面积x的取值范围为 ．
（2）A公司为了开拓市场推出了以下优惠活动：前a平方米按原价收费，超过的部分半价优惠，经过价格比较：消杀面积为700平方米的某企业选择了B公司，消杀面积为860平方米的某幼儿园选择了A公司，试根据以上信息，求a的取值范围．
变式2．（2022·山东德州初二期中）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：
甲林场 乙林场
购树苗数量 销售单价 购树苗数量 销售单价
不超过1000棵时 4元/棵 不超过2000棵时 4元/棵
超过1000棵的部分 3.8元/棵 超过2000棵的部分 3.6元/棵
设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）．（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为 元，若都在乙林场购买所需费用为 元；（2）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
变式2．（2022·河南·八年级期中）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．
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