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专题12 一次函数与几何图形综合 专项提升（精讲）
一次函数与几何的综合题，共分为六大类：一次函数与等腰三角形、一次函数与直角三角形、一次函数与等腰直角三角形、一次函数与全等三角形、一次函数与面积问题、一次函数的探究规律问题，本文将针对这八大类进行方法与经典题型的专题总结。
高频考点1.一次函数与等腰三角形
方法：两圆一线
例：点在轴上，使为等腰三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：标等边，用公式：
①当时， ②当时，
①两点间距离公式求出 ①利用三线合一做辅助线：
② ∴ ②∴ ∴
③当时，
①求出； ②∵；∴ ∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例1．（2022 广东八年级期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P，与x轴交于点C．（1）求点P的坐标和l2的表达式；（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；③在动点Q运动过程中，是否存在点Q使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时Q的坐标．
解：（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，∴3＝﹣m+2，解得m＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，3），
把点P的坐标代入y2＝x+b得，3＝×（﹣1）+b，解得b＝，∴l2的表达式为y＝x+；
（2）①由题意可知CQ＝t，P到x轴的距离为3，
令y2＝0可得0＝x+，解得x＝﹣7，∴点C坐标为（﹣7，0），
在y1＝﹣x+2中，令y1＝0可得﹣x+2＝0，解得x＝2，
∴A点坐标为（2，0）；∴AC＝2﹣（﹣7）＝9，
当Q在A、C之间时，则AQ＝AC﹣CQ＝9﹣t，∴S＝×3×（9﹣t）＝﹣t+；
当Q在A的右边时，则AQ＝CQ﹣AC＝t﹣9，∴S＝×3×（t﹣9）＝t﹣；
②令S＝3可得﹣t+＝3或3＝t﹣，解得t＝7或t＝11，
即当t的值为7秒或11秒时△APQ的面积等于3；
③设Q（x，0）（x≥﹣7），∵A（2，0），P（﹣1，3），
∴PQ2＝（x+1）2+32＝x2+2x+10，AQ2＝（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，AP2＝（2+1）2+32＝18，
∵△APQ为等腰三角形，∴有PQ＝AQ、PQ＝AP和AQ＝AP三种情况，
当PQ＝AQ时，则PQ2＝AQ2，即x2+2x+10＝x2﹣4x+4，解得x＝﹣1，则Q点坐标为（﹣1，0），
∴CQ＝﹣1﹣（﹣7）＝6，即t＝6；
当PQ＝AP时，则PQ2＝AP2，即x2+2x+10＝18，解得x＝﹣4或x＝2，
则Q点坐标为（﹣4，0）或（2，0）（与A点重合，舍去），∴CQ＝﹣4﹣（﹣7）＝3，即t＝3；
当AQ＝AP时，则AQ2＝AP2，即x2﹣4x+4＝18，
解得x＝2±3，则Q点坐标为（2+3，0）或（2﹣3，0），
综上所述：点Q坐标为（﹣1，0）或（﹣4，0）或（2+3，0）或（2﹣3，0）．
变式1．（2022 柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，∴，解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB OP＝＝8﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB OP＝＝8+8；
（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；
②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4，∴P（4+4，0）；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4，∴P（4﹣4，0）；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时P（﹣4，0）；
综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．
高频考点2.一次函数与直角三角形
方法：两线一圆
例：点在轴上，使为直角三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：
①当时， ②当时，
①设 ①设
②∵ ∴ ②∵ ∴
∴ ∴
例1．（2022 浠水县月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|＝0．（1）a＝ ；b＝ ．（2）点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°；①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；②若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．
解：（1）a2+4a+4+|2a+b|＝（a+2）2+|2a+b|＝0，即：a＝﹣2，b＝4，故答案为：﹣2，4；
（2）①由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．
∵点P在直线AB的右侧，P在x轴上，∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为：（4，0）；
②由（1）知 a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，
当∠BAP＝90°时，过点P作PH⊥x轴于H，
∴∠HAP+∠BAH＝90°，∠ABO+∠BAH＝90°，∴∠OBA＝∠HAP，∠AOB＝∠AHP＝90°，
又∠APB＝45°，∴AP＝AB，∴△OBA≌△AHP（AAS），
∴PH＝AO＝2，AH＝OB＝4，OH＝AH﹣AO＝2，故点P的坐标为（2，﹣2）；
当∠ABP＝90°时，同理可得：点P的坐标为（4，2），故点P的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．
变式1．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，函数的图象与直线交于点M，与y轴交于点C．(1)求直线的函数解析式；(2)当点M在线段上时，求m的取值范围；(3)当为直角三角形时，求m的值．
【答案】(1)(2)(3)0或-1
【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；（2）画出图形，即可知当直线在直线AD（包括直线AD）和直线BE（包括直线BE）之间时，点M在线段上．由A、B两点坐标分别求出m，即可得出其取值范围；（3）分类讨论①当时和②当时，结合图象即可求解．
（1）设直线的函数解析式为，
则，解得：．∴直线的函数解析式为；
（2）如图，当直线在直线AD（包括直线AD）和直线BE（包括直线BE）之间时，点M在线段上．
当经过点A时，即直线与直线AD重合，∴；
当经过点B时，即直线与直线BE重合，
∴，解得：．∴当时，点M在线段上；
（3）∵点A在y轴上，∴不可能为直角．
分类讨论：①当时，如图，此时C点与原点重合，
即直线经过原点，∴，即；
②当时，如图点，设∴，，∵，
又∵，∴，解得：，∴
当直线y=2x+m经过（0，-1）时，即m=-1，符合题意.
综上可知当为直角三角形时，m的值为0或-1．
【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
高频考点3.一次函数与等腰直角三角形
例：点在平面内，使为等腰直角三角形。
第一步：画出6个答案：
第二步：分情况求解：见斜等腰三角形构“K”型全等求坐标：
①当时， ②当时，
①设 法一：为的中点 法二：①设
②构造“K”型全等： ∴ ②构造“K”型全等：
③表示线段：；； ∴
； ③表示线段：
④由全等，得 ；
；
∴ ④由全等，得：
∴
例1．（2022 和平区校级期中）【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 ．
证明：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）过点B作BF⊥l1，交l2于F，过F作FH⊥y轴于H，则△ABF是等腰直角三角形，
由（1）同理可证△OAB≌△HBF（AAS），∴OA＝BH，OB＝FH，
∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，∴OH＝5，FH＝3，∴F（﹣3，5），
设l2的函数解析式为y＝kx+b，将点A，F的坐标代入得k＝﹣5，b＝﹣10，\
∴直线l2的函数解析式为y＝﹣5x﹣10，故答案为：y＝﹣5x﹣10；
（3）由（1）得△BOC≌△CDA，∴OC＝AD＝1，CD＝OB＝2，∴A（3，1），
∵S△AOB＝＝3，∴S△OAM＝1，∴OM＝2，∴M（2，0），
如图，当M在x轴负半轴时，∵，∴S，
∴OM＝1，∴M（﹣1，0），故答案为：（2，0）或（﹣1，0）；
（4）①若点P为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP与△HPD中，，∴△△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝PD，∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝﹣，即点D的坐标为（）；
②若点C为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为（4+k），CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），∴MD＝PQ，MC＝DQ，∴D（），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2×＝﹣，解得：k＝﹣，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（），
综上所述，点D的坐标为（）或（4，﹣7）或（），
故答案为：（）或（4，﹣7）或（）．
变式1．（2022 山东八年级月考）如图，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B．（1）求点A、B的坐标（用含b的代数式表示）；（2）若点P是直线AB上的任意一点，且点P与点O距离的最小值为4，求该直线的表达式；（3）在（2）的基础上，若点C在第一象限，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标．
解：（1）对于直线y＝﹣x+b（b＞0），令x＝0，∴y＝b，∴B（0，b），
令y＝0，∴﹣x+b＝0，∴x＝2b，∴A（2b，0）；
（2）由（1）知，A（2b，0），B（0，b），∴OA＝2b，OB＝b，AB＝b，
∵点P与点O距离的最小值为4，∴×2b b＝×b×4，∴b＝2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）如图，由（1）知，A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2
过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，
∵∠DOE＝90°，∴四边形ODCE是矩形，
∴OD＝CE，CD＝OE，∠DCE＝90°，∴∠BCE+∠BCD＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，当∠ACB＝90°时，∴BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ACE，∴△BCE≌△ACD（AAS），
∴BE＝AD，CE＝CD，∴设点C坐标为（m，m），
∴AD＝OA﹣OD＝4﹣m，BE＝OE﹣OB＝m﹣2，
∴4﹣m＝m﹣2，∴m＝3，∴C（3，3），
如图2，②当∠BAC＝90°时，过点C'作C'F⊥x轴于F，∴∠C'AF+∠AC'F＝90°，
∵∠C'AF+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠FC'A，
∵AB＝AC'，∴△AOB≌△C'FA（AAS），
∴C'F＝OA＝4，AF＝OB＝2，∴OF＝OA+AF＝6，∴C'（6，4），
③当∠ABC＝90°时，同②的方法得，C（2，6），
即：点C的坐标为（3，3）或（6，4）或（2，6）．
高频考点4.一次函数与全等三角形
1.解题步骤：①找固定相等的角或边；②以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。
2.相等的角或边情况：
①公共边情况：平面内找一点，使以、、为顶点的三角形与全等.
、关于成轴对称，、关于成轴对称，即是、的中垂线，可用中垂线代数法求点。
②固定角相等：①两个三角形为直角三角形；②相等角为对顶角：
常见运用公式：①若两直线、垂直，则；
②点，：、中点坐标：；；
③中垂线代数法：例：如下图，若点，是的中垂线，求点的坐标。
①求出；②∵∴∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例4．（2022 婺城区校级期末）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）
（2）由折叠知：CD＝AD．设AD＝x，则CD＝x，BD＝4﹣x，
根据题意得：（4﹣x）2+22＝x2解得：此时，AD＝，（2分）
设直线CD为y＝kx+4，把代入得（1分）解得：
∴直线CD解析式为（1分）
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，AD＝，PD＝BD＝＝，AP＝BC＝2
由AD×PQ＝DP×AP得：∴
∴，把代入得 此时
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图 同理可求得：∴此时
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P1（0，0）；；．
变式1．（2022重庆八年级期末）在直角坐标系中，已知A（6，0）、F（3，0），C（0，2），在△AOC的边上取两点P、Q（点Q是不同于点F的点），若以O、P、Q为顶点的三角形与△OFP全等，则符合条件的点P的坐标为 ．
解：①如图1，过点F作FP⊥OA，交AC于点P，
过点P作PQ⊥OC，垂足为Q，连接OP，此时△OFP≌PQO，
∵A（6，0）、F（3，0），∴PF、PQ是△OAC的中位线，
∴PQ＝OA＝3，PF＝OC＝，∴P（3，），
②如图2，由①可知，点P、Q位置互换，亦满足题意，此时，P（0，），
③如图3，作∠AOC的平分线交AC于点P，在OC上截取OQ＝OF＝3，连接PF、PQ，此时△OFP≌OQP，
过点P作PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则PM＝PN，
由三角形面积公式得，OA PM+OC PN＝AO OC，即，6PM+2PM＝6×2，
∴PM＝PN＝3﹣3，∴点P（3﹣3，3﹣3），
④如图4，在AC上截取AP＝6＝OA，取AP的中点Q，则PQ＝OF＝3，
过点P作PB⊥OA，垂足为B，在Rt△ABP中，PB＝AP＝3，AB＝×AP＝3，
∴OB＝OA﹣AB＝6﹣3，∴点P（6﹣3，3），
故答案为：（3，）或（0，）或（3﹣3，3﹣3）或（6﹣3，3）．
高频考点5.一次函数与面积问题
1.求点的坐标：一般会求两种坐标：①直线与轴、轴的交点坐标；②两直线的交点坐标。
2.表示面积：①规则图形：用公式法（三角形面积不能漏×）；
②不规则图形：1）分割法，如下图：四边形用分割，；
2），如下图：.
注：求三角形面积时往往选择平行于坐标轴的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
例1．（2022·湖南武陵·八年级期末）如图，已知直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），交直线OC于点C，且直线OC的解析式为y．（1）求直线AB的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）若点P在直线OC上，且△BCP的面积是△AOC面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（8，－12）或（－4，6）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先将直线AB与直线OC的函数解析式联立方程组求得点C的坐标，由此即可求得△AOC的面积；（3）先根据△BCP的面积是△AOC面积的2倍求得△BCP的面积，再根据点P在直线AB的右下方或者点P在直线AB的左上方进行分类讨论，由此即可求得答案．
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为，
将A（5，0）、B（0，﹣5）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为；
（2）将与y联立方程组，得：
，解得：，∴点C的坐标为（2，－3），∴；
（3）∵△BCP的面积是△AOC面积的2倍，，∴，
如图，当点P在直线AB的右下方时，
∵，∴，
∴，解得：，将代入，得：，
∴点P的坐标为（8，－12）；如图，当点P在直线AB的左上方时，
∵，，∴，∴，解得：，
又∵此时点P在y轴的左侧，∴，将代入，得：，∴点P的坐标为（－4，6），
综上所述，若△BCP的面积是△AOC面积的2倍，则点P的坐标为（8，－12）或（－4，6）．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，两函数的交点问题以及三角形的面积，正确利用三角形面积公式列方程是关键．
变式1．（2022·泸县·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线CD相交于点E，且．（1）求一次函数的解析式；（2）求四边形OBEC的面积四边形OBEC；（3）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）4；（3）存在点P，其坐标为，，，
【分析】（1）根据经过点和点，待定系数法求解析式即可；（2）根据题意求得，再联立即可求得点的坐标，进而根据四边形OBEC 即可求得；（3）分两种情况讨论：①当点P在x轴上时，设点P的坐标为，②当点P在y轴上时，设点P的坐标为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：（1）因为经过点和点，
所以，解得，一次函数的解析式为；
（2）因为，又，所以，即，
所以，所以，所以直线AB的解析式为，
因为直线交y轴于点B，所以点．
因为直线与直线相交于点E，所以，解得：，即点，
所以四边形OBEC ；
（3）分两种情况讨论：①当点P在x轴上时，设点P的坐标为，
由题意得：，解得：或，所以此时点P的坐标为，；
②当点P在y轴上时，设点P的坐标为，由题意得：，解得：或，
所以此时点P的坐标为，，
综上所述，在坐标轴上存在点P，使得，其坐标为，，，
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用二元一次方程组求两直线交点，分类讨论是解题的关键．
高频考点6. 一次函数中的探究规律问题
例1．（2022·成都七中八年级期中）如图，在平面直角坐标系，直线与轴交于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，……，则的横坐标为__________．
【答案】
【分析】先根据直线 与x轴交于点，可得 (3,0)，O=3，再过作A⊥O于A，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，求得的横坐标为，过作于，求得的横坐标为，过作于，求得的横坐标为，同理可得 的横坐标为，由此可得，的横坐标为，进而求得点的横坐标是．
【详解】解：由直线与轴交于点，可得，
∴，如图所示，过作于，
则，即的横坐标为，
由题意可得，，
∴，∴，过作于，
则，即的横坐标为，
过作于，同理可得 横坐标为，
同理可得，的横坐标为，由此可得，的横坐标为，
点的横坐标是，故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形性质应用，解题的关键是根据性质找出规律，求得坐标．
变式1．（2022·成都市·树德中学八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…An在直线l上，点C1，C2，C3，… n在y轴正半轴上，则正方形AnBn nCn﹣1的面积是_____．
【答案】
【分析】由直线点的特点得到，分别可求OA1＝OC1＝1，C1A2＝，C2A3＝，……，从而得到正方形边长的规律为Cn﹣1An＝，即可求正方形面积．
【详解】解：直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A （1，0），与y轴交于点D（0，﹣2），∴，
∵OA1＝OC1＝1，∴A1B1C1O的面积是1；∴DC1＝3，∴C1A2＝，
∴A2B2C2C1的面积是；∴DC2＝，∴C2A3＝，∴A3B3C3C2的面积是；……
∴Cn﹣1An＝，∴正方形AnBn nCn﹣1的面积是，故答案为．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中有规律的点的坐标与图形的探索问题，列出前面几步的数据找到点或图形的变化规律是解答关键.
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专题12 一次函数与几何图形综合 专项提升（精讲）
一次函数与几何的综合题，共分为六大类：一次函数与等腰三角形、一次函数与直角三角形、一次函数与等腰直角三角形、一次函数与全等三角形、一次函数与面积问题、一次函数的探究规律问题，本文将针对这八大类进行方法与经典题型的专题总结。
高频考点1.一次函数与等腰三角形
方法：两圆一线
例：点在轴上，使为等腰三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：标等边，用公式：
①当时， ②当时，
①两点间距离公式求出 ①利用三线合一做辅助线：
② ∴ ②∴ ∴
③当时，
①求出； ②∵；∴ ∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例1．（2022 广东八年级期末）如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P，与x轴交于点C．（1）求点P的坐标和l2的表达式；（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；③在动点Q运动过程中，是否存在点Q使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时Q的坐标．
变式1．（2022 柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
高频考点2.一次函数与直角三角形
方法：两线一圆
例：点在轴上，使为直角三角形。
第一步：画图：
第二步：分情况求解：
①当时， ②当时，
①设 ①设
②∵ ∴ ②∵ ∴
∴ ∴
例1．（2022 浠水县月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+4a+4+|2a+b|＝0．（1）a＝ ；b＝ ．（2）点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°；①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；②若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．
变式1．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，函数的图象与直线交于点M，与y轴交于点C．(1)求直线的函数解析式；(2)当点M在线段上时，求m的取值范围；(3)当为直角三角形时，求m的值．
高频考点3.一次函数与等腰直角三角形
例：点在平面内，使为等腰直角三角形。
第一步：画出6个答案：
第二步：分情况求解：见斜等腰三角形构“K”型全等求坐标：
①当时， ②当时，
①设 法一：为的中点 法二：①设
②构造“K”型全等： ∴ ②构造“K”型全等：
③表示线段：；； ∴
； ③表示线段：
④由全等，得 ；
；
∴ ④由全等，得：
∴
例1．（2022 和平区校级期中）【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 ．
变式1．（2022 山东八年级月考）如图，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B．（1）求点A、B的坐标（用含b的代数式表示）；（2）若点P是直线AB上的任意一点，且点P与点O距离的最小值为4，求该直线的表达式；（3）在（2）的基础上，若点C在第一象限，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标．
高频考点4.一次函数与全等三角形
1.解题步骤：①找固定相等的角或边；②以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。
2.相等的角或边情况：
①公共边情况：平面内找一点，使以、、为顶点的三角形与全等.
、关于成轴对称，、关于成轴对称，即是、的中垂线，可用中垂线代数法求点。
②固定角相等：①两个三角形为直角三角形；②相等角为对顶角：
常见运用公式：①若两直线、垂直，则；
②点，：、中点坐标：；；
③中垂线代数法：例：如下图，若点，是的中垂线，求点的坐标。
①求出；②∵∴∴ ∴设
③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点
例4．（2022 婺城区校级期末）如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（2022重庆八年级期末）在直角坐标系中，已知A（6，0）、F（3，0），C（0，2），在△AOC的边上取两点P、Q（点Q是不同于点F的点），若以O、P、Q为顶点的三角形与△OFP全等，则符合条件的点P的坐标为 ．
高频考点5.一次函数与面积问题
1.求点的坐标：一般会求两种坐标：①直线与轴、轴的交点坐标；②两直线的交点坐标。
2.表示面积：①规则图形：用公式法（三角形面积不能漏×）；
②不规则图形：1）分割法，如下图：四边形用分割，；
2），如下图：.
注：求三角形面积时往往选择平行于坐标轴的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。
例1．（2022·湖南武陵·八年级期末）如图，已知直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），交直线OC于点C，且直线OC的解析式为y．（1）求直线AB的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）若点P在直线OC上，且△BCP的面积是△AOC面积的2倍，求点P的坐标．
变式1．（2022·泸县·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线CD相交于点E，且．（1）求一次函数的解析式；（2）求四边形OBEC的面积四边形OBEC；（3）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
高频考点6. 一次函数中的探究规律问题
例1．（2022·成都七中八年级期中）如图，在平面直角坐标系，直线与轴交于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，……，则的横坐标为__________．
变式1．（2022·成都市·树德中学八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…An在直线l上，点C1，C2，C3，… n在y轴正半轴上，则正方形AnBn nCn﹣1的面积是_____．
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