16.1.2二次根式的性质 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
16.1.2二次根式的性质
人教版八年级下册
知识回顾
（1）什么叫二次根式？如何表示？
（2）二次根式有意义的条件是什么？
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中“”称为二次根号.
被开方数（式子）为非负数，（a≥0）.
知识回顾
1.下列各式中，一定是二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
D
解析：A. 代表对 7 开三次方，不满足二次根式的定义.
B. 中被开方的数小于 0，不满足二次根式中被开方的数或式子大于等于 0.
C. 中被开方的式子在实数范围内不能总是满足大于等于 0.
知识回顾
2.当 x 为何值时， 在实数范围内有意义？
解：由题意可知： x+3≥0 ，解得 x≥-3且x≠2
x-2≠0
当x≥-3且x≠2时， 在实数范围内有意义.

判断二次根式在实数范围内有意义，就要让根号下的数（式子）满足≥0的条件，本题还要注意分式分母不为0这个条件.
教学目标
1.了解并掌握二次根式的性质.
2.利用二次根式的性质解决具体问题.
新知引导
思考：二次根式 中被开方数 a 的取值范围是 a≥0，那么
的取值范围是什么？
当 a>0 的时候 表示 a 的算术平方根，则 >0；
当 a=0 的时候， 表示 0 的算术平方根，则 =0.
当 a＜0 的时候， 无意义。
所以，当a≥0时， 是非负数，即 ≥0.
新知探究
知识点 1
二次根式的性质（1）
性质1：二次根式的双重非负性.
表示： 二次根式 （a≥0）的被开方数a为非负数
二次根式 的值非负，即 ≥0，
目前已经学习过的非负数有以下3种形式：
a2 、∣a∣、 .
新知典例
例1 若,则abc的值为（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
分析：题中的二次根式、绝对值、平方都具有非负性，所以只有当它们都为0的时候，最终的和才能为0，由此可知，，，易得，，，从而求出
D
新知练习
1. 若,则a+b的值为 。
解：由题可知，
∴a= -2, 4+3b+5=0
∴b= -3
∴a+b= -5
新知探究
（1）填空：
（2）通过（1）的计算，你能确定( ) （a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.
4
0
2
知识点 2
（a≥0) 性质
新知探究
是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数，因此有( ) =4.
同理， 分别是 的算术平方根.
因此 , ,
( ) =2
( ) =
( ) =0
新知探究
性质2： （a≥0）.
文字表述：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数
本身.
公式逆用：若a≥0，则 a= () .
新知探究
2
0.1
0.3
化简下列根式，想一想
知识点 3
的性质
化简后，你能确定 的化简结果吗？
新知探究
性质3： -a（a<0）
a（a≥0）
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
= =
新知探究
与的区别与联系
形式
a的取值范围 a取任意实数
运算结果 =a(a≥0)
联系
新知典例
例2 计算：
（1） =
（2） =
1.5
22× =4×5=20

（1）利用二次根式的性质2： （a≥0）
（2）同时利用二次根式的性质2和(ab)2=a2b2
(ab)2=a2b2
（a≥0）
新知典例
例3 化简：
（1） =
（2） =
4
利用二次根式的性质3：
-a（a<0）
a（a≥0）
= =
5
新知练习
解：
警示： 而3.14＜π，要注意a的正负性.
2.化简：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
课堂练习
3.请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
×
×
√
√
（ ）
（ ）
（ ）
例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
新知典例
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
a
b
新知练习
-1
0
1
2
a
4.实数a在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是 .
1
5.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示, 化简 的结果是(　　)
A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
A
a
b
0
新知典例
例5 已知x,y为实数，且,
化简：.
解：
=
新知练习
6.已知一个三角形的三边长分别为a、b、c。
化简
解：
=
=a+b+c
新知探究
（1）含有数或表示数的字母；
（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．
（a≥0）
回顾我们学过的式子，如
，这些式子有哪些共同
特征？
知识点 3
代数式的定义
新知探究
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）
把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
数
表示数的字母
【想一想】到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式
整式
分式
二次根式
归纳：
新知探究
例6 下列式子:(1)x; (2)a-b; (3) ;(4) ;
(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代数式的有(　　)
A.4个　　　 B.5个 C.6个　　　 D.7个
B
新知练习
7.下列式子是代数式的有 ( )
①a2+b2 ; ② ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）;
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
C
新知探究
解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h．
例7 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为
新知练习
1.列代数式：一个三角形的面积为 S，底边长为 a，则底边上的高为多少？
解：因为三角形的面积= ×底×高，
所以这个三角形底边上的高为 .
又∵圆的半径不能为负数，
所以r =.
新知练习
2.用代数式表示：
（1）面积为 S 的圆的半径；
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 2：3 的长方形的长和宽.
解：（1）设圆的半径为 r，则
∴ S=πr ，则 r =±.
（2）设长方形的长为 3x，则宽为 2x.
∴
课堂总结
二次根式
性质
(a ≥0)
拓展性质
（a为全体实数）
课堂练习
C
2. 当1A.3 B.-3 C.1 D.-1
D
B
3.在下列各式中，不是代数式的是（　　）
A.7 B.3＞2 C. D．
1.化简 的结果是（　　）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
课堂练习
4.计算：
解:
（1） ; （2） ; （3） ; （4） .
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
课堂练习
5.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
化简： .
解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b=-3b．
a
b
0
谢谢
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