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专题10 线段中的动态问题 专项提升（精讲）
线段有关的动点问题（数轴动点题）是浙教版七年级上学期压轴题。本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）。
【知识储备】
1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设列方程；
2.线段等量代换模型：
若，则，即
3.定和型中点模型：
若，分别是，的中点，则
4.线段的动点问题解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离；
2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解；
4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
高频考点1. 线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：
（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7
【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且，
∴点表示的数为，点P表示的数为，故答案为：-6，；
（2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得，，解得，
∴点运动7秒时追上点；
（3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下：
①当点在点、两点之间运动时：
，
②当点运动到点的左侧时：
，
∴线段的长度不发生变化，其值为7．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．
变式1．（2022·安徽合肥·七年级期末）线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．
(1)当t＝6时，AC＝ ．(2)用含t的式子表示线段AC的长；当0≤t≤5时，AC＝ ；当5＜t≤10时，AC＝ ．(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长，
【答案】(1)8(2)，；(3)的长度不变，长度为5
【分析】（1）根据点的运动速度和可得答案；（2）根据路程速度时间可求的长度；
（3）分情况讨论，再根据线段中点的定义可得答案．
(1)当时，动点运动了个单位，
，．．故答案为：8；
(2)当时，； 当时，
．故答案为：，；
(3)当时，；
当时，；
故的长度不变，长度为5．
【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离．
例2．（2022·重庆一中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．
（1）_____，_____，_____．（2）点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．（3）点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1），，；（2）或或或；（3），1，，8，12
【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值；（2）由题意知，依次求出PC、PB的长，再进行分类讨论即可：当从到时，当从到时，当从到时，三种情况分类讨论．（3）以点从为PN中点时，当0【详解】解：（1）∵是最大的负整数，且，满足，
∴b=-1，a+3=0，c-9=0，∴a=-3，c=9．故答案为：-3；-1；9．
（2）由题意知，此过程中，当点P在AB上时．
∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2．∴．
又∵BC=c-b=9-(-1)=10．∴PB=PC-BC=11-10=1．
当从到时，如图所示：∵PB=1，可以列方程为：3x=1，解得：x=1；
当从到时，分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时，如图所示：
可以列方程为：3x=3,解得：x=1，
②当P在线段BC之间时，如图所示：
∵PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，∵PB+PC=10∴PA=13-10=3，
∴PB=PA-AB=3-2=1，可列方程为：3x=5，解得：．
当从到时，如图所示：
可列方程为：3x=23，解得：．综上所述，或或或．
（3）当点从为PN中点时，当0（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t），解得t= （舍去）．
当≤t≤时，点P从A返回向B运动．此时，P=-3+3（t-）=3t-5．3t-5+9-5t=2（-3+4t），解得t=1．
当P为M中点时，t>．（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t= ．
当点N为PM中点时，t>．（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=．
综上所述，t的值为1， 或．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
变式2．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
【答案】（1）6；（2）6；（3）或2
【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．
【详解】解：如图
(1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点
∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12解得t=或t= 2
故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．
高频考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题
例1．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．
(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
【答案】(1)7(2)3或5
【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．
(1)，，，，
如图1，
为中点，，
，∴，
∴，
(2)Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，
或
∵，，点是的中点，
∴，∴，∴，
∵，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，
或
，，∴，
∴，．
∵，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：的长为3或5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．
变式1．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，所以．
（3）分两种情况：如图，当点在线段上时，
因为，所以．
又因为，所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
例2．（2022·四川成都·七年级期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
【答案】(1)6；(2) 无关，理由见解析；(3)m.
【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、CM，最后根据线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化简即可；
（3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可.
【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8，
∴AC=BC=AB=4，∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=AC，CM=BC，
∴CN=3，CM=3，∴MN=CN+CM=3+3=6;
（2）若C在A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，∴MN=CM－CN=3BM－3AN，
∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，
∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，
∴CN +2AM－2MN的值与m无关；
（3）①当点C在线段AB上时，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM ∴CN=AC，CM=BC，
∴MN=CM+CN=BC+AC=(BC+AC)=AB=m；
②当点C在点A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM ∴CN=AC，BM=BC，
∴MN=BC－CN－BM=BC－AC－BC =(BC－AC)=AB=m；
③当点C在点B的右边，如图所示：
∵CN=3AN，CM=3BM∴AN=AC，CM=BC，
∴MN=AC－AN－CM=AC－AC－BC =(AC－BC)=AB=m，
综上所述，MN的长度为m.
【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键.
变式2．（2022·四川成都·七年级期末）如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧．
(1)DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长；
(2)在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长；
(3)若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求的值．
【答案】(1)CE=2.5；(2)EF的长为0.5或5.5；(3)．
【分析】（1）根据AC=20，BC=AC可得BC的长度，再根据线段的中点可得答案；
（2）分两种情况：当点F在点E的右侧或当点F在点E的左侧，再根据线段的中点计算即可；
（3）根据DE的位置分情况计算即可．
（1）解：∵AB=20，BC=AC，∴BC=5，AC=15，
∵E为BC中点，∴CE=2.5；
（2）解：当点F在点E的右侧，如图，
EF=CF-CE=3-2.5=0.5，
当点F在点E的左侧，如图，
EF=CF+CE=3+2.5=5.5，
综上：EF的长为0.5或5.5；
（3）解：∵BC=AC，AB=2DE，满足关系式4BE=3（AD+CE），设CE=x，BC=5，AC=15，DE=10，
①当DE在线段AC上时，如图，
则AD=15-x-10=5-x，BE=5+x，
∵4BE=3（AD+CE），即4（5+x）=3（5-x+x），解得x=-1.25，不合题意，舍去；
②当点C在DE之间时，如图，
∴AD=15+x-10=5+x，BE=5-x，
∵4BE=3（AD+CE），即4（5-x）=3（5+x+x），
解得x=0.5，∴CD=10-0.5=9.5 ∴；
③线段CB在线段DE上时，如图，
则AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），解得x=-17.5，不合题意，舍去；
④当D在CB之间时，如图，
AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），解得x=-17.5，不合题意，舍去；
⑤当D在B的右边时，如图，
AD=15+x-10=5+x，BE=x-5，即4（x-5）=3（5+x+x），解得x=-17.5，不合题意，舍去．
综上，．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键，注意分情况计算．
高频考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置；（2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值.（3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值.
【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则，
由得，即
，，，即所以点P在线段AB的处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，由可知，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
，
综合上述，的值为或；
（3）②的值不变. 由点、运动5秒可得，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点停止运动时，，点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点停止运动时，，点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
所以②的值不变正确，.
【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.
变式1．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；
（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；
②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点
∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN=AC +CD+BD=AC +CD+BD+CD
=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有：解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0 ∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
例2．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)(2)8或24(3)，见解析
【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系．
（1）解：∵ M为AP的中点，，∴ ，
∵线段，N为BP的中点，∴．故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上，时，如图，
∵，，∴，解得：．
②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，
∵，，∴，解得：．
综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有：解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
高频考点4. 阅读理解型（新定义）问题
例1．（2022·浙江·七年级课时练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．
【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．
（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：，即N为CD的中点；情况2：，即N为靠近C点的三等分点；情况3：，即N为靠近D点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN的长度．
（3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是 “奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．
【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，
根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．
故答案是：是；
（2）是线段CD的“奇妙点”
根据定义，此题共分为三种情况．
当，即N为CD的中点时，有CN=12cm．
当，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm．
当，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．
故答案为：8或12或16．
（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．
t秒后，，．
当P点是“奇妙点”时，．
由“奇妙点”定义可分三种情况．
当时，有 解得
当时，有 解得
当时，有 解得
当Q点是“奇妙点”时，．
当时，有 解得
当时，有 解得
当时，有 解得
综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；
当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．
【点睛】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键．
变式1．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．
例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点．
（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ．
（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．
①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示）
②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【答案】（1） 4 ；1；（2）①线段BP的长为 2t ；②当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可；
（2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t, ②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其余两点的内二倍分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可．
【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为 4 ；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1；
（2）① 则线段BP的长为 2t．
② 当P在线段AB上时，有以下两种情况：
如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP，
所以50-2t = 2×2t，
解得t=；
如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP，
所以2t=2（50-2t），
解得t=；
当P在点A左侧时，有以下两种情况：
如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA，
所以50=2（2t-50）
解得t=；
如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA，
所以2t-50=2×50，
解得t=75；
综上所述：当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键．
例2．（2022·河南宛城七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．
【解析】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，解得，，
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，解得，t=6；
③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），解得，；
综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），解得，；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），解得，．
综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．
故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
变式2．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；
（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或
【分析】（1）①可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
②可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可；
（2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论．
【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长．∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是.
②∵，是线段的“二倍点”，
当时，；
当时，；
当时，；故答案为：10或或；
（2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t=；
当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5；
当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t=；
答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”；
（3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；
当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=；
当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=；
答：t为或8或时，点M是线段AN的“二倍点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键．
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专题10 线段中的动态问题 专项提升（精讲）
线段有关的动点问题（数轴动点题）是浙教版七年级上学期压轴题。本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）。
【知识储备】
1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设列方程；
2.线段等量代换模型：
若，则，即
3.定和型中点模型：
若，分别是，的中点，则
4.线段的动点问题解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离；
2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解；
4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
高频考点1. 线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：
（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
变式1．（2022·安徽合肥·七年级期末）线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．
(1)当t＝6时，AC＝ ．(2)用含t的式子表示线段AC的长；当0≤t≤5时，AC＝ ；当5＜t≤10时，AC＝ ．(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长，
例2．（2022·重庆一中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．
（1）_____，_____，_____．（2）点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．（3）点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
变式2．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
高频考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题
例1．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．
(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
变式1．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
例2．（2022·四川成都·七年级期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
变式2．（2022·四川成都·七年级期末）如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧．
(1)DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长；
(2)在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长；
(3)若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求的值．
高频考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
变式1．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
例2．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
高频考点4. 阅读理解型（新定义）问题
例1．（2022·浙江·七年级课时练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
变式1．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．
例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点．
（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ．
（2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒．
①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示）
②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
例2．（2022·河南宛城七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
变式2．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；
（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
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