广东省2021、2022两年数学中考真题、模拟题分类选编—人教版数学八年级上册 第十三章轴对称 练习题（含解析）

广东省2021、2022两年数学中考真题、模拟题分类选编—轴对称 练习题
一、单选题
1．（2022·广东中山·三模）下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·广东珠海·二模）如图，在△ABC中，的垂直平分线交，于点，．若△ABC的周长为30，，则△ABD的周长为（ ）
A．10 B．15
C．20 D．25
3．（2022·广东江门·一模）已知点与点关于轴对称，则（ ）
A．1 B．-1 C．-2021 D．2022
4．（2022·广东梅州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东广州·一模）下列正多边形中，对称轴最多的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·广东广州·二模）在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A=（ ）
A．40° B．70° C．50° D．60°
7．（2022·广东惠州·二模）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝81°，则∠CDE的度数是（　　）
A．72° B．75° C．80° D．60°
8．（2022·广东中山·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2021·广东茂名·一模）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（　　）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
10．（2021·广东惠州·二模）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
11．（2021·广东中山·一模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，BC=5，则EF的值是（　　）
A． B．2 C． D．2
二、填空题
12．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________．
13．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．
14．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为__________．
15．（2022·广东深圳·三模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD，若，，则______．
16．（2022·广东江门·模拟预测）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，BD=6，则AC的长为______．
17．（2022·广东韶关·模拟预测）平行四边形、菱形、圆、线段、正七边形、等腰三角形、五角星中，共有_____个中心对称图形，共有_____个轴对称图形．
18．（2022·广东·模拟预测）已知点A(m+1，3)与点B(2，n﹣1)关于x轴对称，则(m+n)2019的值为_____．
19．（2022·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点（－3，2）关于轴的对称点的坐标是 ．
20．（2022·广东中山·三模）已知等腰三角形的两边a，b的长满足，则该等腰三角形的周长为______．
21．（2022·广东汕头·一模）如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为________．
22．（2021·广东珠海·二模）如图，是周长为的等边三角形，点为边上的动点，以为边向右侧作等边，当点从点运动到点时，点的运动路径长为____．
23．（2021·广东清远·二模）如图，AC＝BC＝8cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 ___cm．
三、解答题
24．（2022·广东广州·中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE
25．（2021·广东深圳·中考真题）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形的对称图形；
（2）求四边形的面积．
26．（2022·广东深圳·二模）如图，已知射线BC⊥AB，以AB为斜边作Rt△ABD，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，BF平分∠CBE交AE于点F．
(1)求证：BD＝DF；
(2)若AB＝2，以AE为边向下作∠AEG＝45°，交射线BC于点G，求BG的长．
27．（2022·广东中山·三模）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：．
(2)如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分．
28．（2022·广东珠海·二模）如图：与交于点E．求证：是等腰三角形．
29．（2022·广东东莞·一模）如图，∠CAD是△ABC的外角．
(1)尺规作图：作∠CAD的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求证：AB＝AC．
30．（2021·广东阳江·一模）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
31．（2021·广东韶关·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
32．（2021·广东汕尾·一模）如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：．
参考答案：
1．B
【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．C
【解析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长=AB+AC即可解决问题．
解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，BE=5，
∴DB=DC，BE=EC，BC=10，
∵BC=10，△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC=30，
∴AB+AC=20，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=20，
故选C．
本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．A
【解析】根据关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，求得的值，代入代数式即可求解．
解：∵点与点关于轴对称，
∴．
解得．
，
故选：A．
本题考查了坐标与轴对称，掌握关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，是解题的关键．
4．D
【解析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
解：点A（-3，4）关于y轴对称的点的坐标是（3，4），
故选：D．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，明确关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键
5．D
【解析】根据正多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
解：A、正三角形有三条对称轴，故本选项不符合题意；
B、正方形有4条对称轴，故本选项不符合题意；
C、正五边形有5条对称轴，故本选项不符合题意；
D、正六边形有6条对称轴，故本选项符合题意；
故选：D．
本题考查轴对称图形的对称轴数量确定，理解对称轴的定义是解题关键．
6．A
【解析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠C=∠B=70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
故选：A．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．A
【解析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可求得x值，再由∠CDE=180°-4x即可求得答案．
解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE＝81°，∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
∴，
解得：，
，故A正确．
故选：A．
此题主要考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．
8．C
【解析】根据∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边上的高，利用互余关系求∠BCD＝30°，DB＝2，可求BC，在Rt△ABC中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB，再用线段的差求AD．
解：Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，
CD是斜边上的高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°－∠B＝30°，
∴BC＝2BD＝4，
同理，AB＝2BC＝8，
AD＝AB－BD＝8－2＝6，
故选：C．
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．
9．A
【解析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．
解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
10．B
【解析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，再根据等腰三角形的性质解答即可．
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD．
∵△BCD的周长是14，BC＝6，
∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，
∵AB＝AC，
∴AC＝8．
故选：B．
本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质是解答本题的关键．
11．A
【解析】先根据折叠的性质得EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，则AB=2EF，DC=8，再作DH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算出DH=2，所以EF=．
解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，
∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，
∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，
作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，
在Rt△DHC中，DH==2，
∴EF=DH=．
故选A．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
12．
【解析】如图，连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得，，并由平行线的性质可推出，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
解：如图，连接
∵点B关于直线CD的对称点为，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
故答案为：．
本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．2
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．
解：∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案为：2．
此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14．
【解析】延长，交于点G，由折叠，可知，可得，延长，，交于点M，结合，可得，，进而即可求解．
解：如图，延长，交于点G，
设
由折叠，可知，
∵，
∴，
∴，
延长，，交于点M，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键．
15．20°
【解析】根据题意可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，，由此即可求出结果．
解：由题意可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴，
∵，
∴，
故答案为：20°．
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点到该线段两端点的距离相等，掌握其性质并灵活运用是解题的关键．
16．
【解析】由作图过程可得MN是AB的垂直平分线，AD＝BD＝6，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．
解：由作图过程可知，MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝6，
∵∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠CDA＝45°，
∵∠C＝90°，
∴AC＝CD＝，
故答案为：．
本题考查了作图 基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
17． 4 6
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分别分析平行四边形、菱形、圆、线段、正七边形、等腰三角形、五角星是否符合即可
解：中心对称图形有：平行四边形、菱形、圆、线段，共4个；
轴对称图形有：菱形、圆、线段、正七边形、等腰三角形、五角星，共6个．
故答案为：4，6．
考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，能够正确判断特殊图形的对称性．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
18．﹣1
【解析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．
∵点A（m+1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，
∴m+1＝2，n﹣1＝﹣3，
∴m＝1，n＝﹣2，
∵（m+n）2019＝﹣1，
故答案为：﹣1．
本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的点的坐标坐标特点．
19．(3，2)
【解析】可以利用图形解答，也可以记住规律，关于哪条轴对称，哪个坐标不变，关于原点对称都变．
解：（－3，2）关于y轴的对称点的坐标是(3，2)．
故答案为：(3，2)
20．13或14
【解析】根据非负数之和为0，则每一项都为0，得到a，b的值，再根据等腰三角形，哪条边是腰，分情况讨论，即可
依题意：
解得：
①4为腰：4，4，5
周长：4+4+5=13
②5为腰：4，5，5
周长：4+5+5=14
故答案为：13或14
本题考查非负数之和为零，注意还要分类讨论以哪条边为等腰三角形的腰．
21．3
【解析】过P点作PM⊥BC于点M，将△ACB沿AB向上翻折得到△ADB，过P点作PN⊥BD于点N，先证得PM=，即有PC+=PC+PM，根据翻折的性质可知PN=PM，即PC+=PC+PM=PC+PN，当P、N、C三点共线时根据垂线段最短的原理即可求解．
过P点作PM⊥BC于点M，将△ACB沿AB向上翻折得到△ADB，且△ACB≌△ADB，过P点作PN⊥BD于点N，如图，
∵在Rt△ACB中，AC=2，AB=4，
∴∠ABC=30°，
∴BC==，
∵PM⊥BC，
∴在Rt△PMB中，有PM=，
∴PC+=PC+PM，
∵△ACB≌△ADB，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∵PN⊥BD，PB=PB，
∴∠PMB=∠PNB=90°，
∴Rt△PNB≌Rt△PMB，
∴PN=PM，
∴PC+=PC+PM=PC+PN，
∵要求PN+PC的最小值，
∴可知当P、N、C三点共线，根据垂线段最短可知，当CN⊥BD时，CN最小，
如图，
∵CN⊥BD，∠CBD=∠ABC+∠ABD=60°，BC=，
∴在Rt△ABN中，CN==3，
则PC+=PC+PM=PC+PN的最小值是3，
即PC+最小为3，
故答案为：3．
本题考查了翻折的性质、接含特殊角的直角三角形、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的知识，构造出PC+=PC+PM=PC+PN是解答本题的关键．
22．
【解析】如图，连接CE，利用等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，利用SAS可证明△ABC≌△ADE，可得CE=BD，即可得出点E运动的路径长等于点D运动的路径长，根据△ABC的周长求出BC的长即可得答案．
如图，连接CE，
∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABC≌△ADE，
∴CE=BD，
∴△ACE可看作是△ABD绕点A旋转60°所得，
∴点E运动的路径长等于点D运动的路径长，
∵等边三角形△ABC的周长为，
∴BC=，
∵点从点运动到点，
∴点E运动的路径长为BC的长，即．
故答案为：
本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，正确判定点E的运动轨迹是解题关键．
23．4
【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得∠ACD=30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解：∵AC＝BC，∠B＝15°，
∴∠BAC=∠B=15°，
∴∠ACD=2∠B=30°，
∵AD⊥BD，AC＝8cm，
∴AD= AC=4cm，
故答案为：4．
本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
24．证明见解析
【解析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论．
证明：∵∠B=∠C，
∴AC=AB，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）8
【解析】（1）先作出四边形ABCD各个顶点关于直线m的对称点，再顺次连接起来，即可；
（2）四边形对角线的乘积÷2，即可求解．
（1）如图所示：
（2）．
本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)2
【解析】(1)首先可证得BD垂直平分AE，可得AB=BE，，可得，再根据BF平分∠CBE，可得，据此即可求得，即可证得结论；
(2)首先可证得，进而证得，，再根据，即可求得BG的长．
(1)
证明：
的斜边是
又
垂直平分AE
平分
(2)
解：如图：延长BF交EG于点H
，
，
本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角的性质，角平分线的定义，作出辅助线是解决本题的关键．
27．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【解析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC=∠DAE，进而得到∠CAE=∠BAD，再证明即可得到答案；
（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明，根据全等三角形的对应高相等得到AG=AH，根据角平分线的判定定理证明结论．
（1）证明：∵和互为“兄弟三角形”，
∴，，，
∴，
即，
∴（SAS），
∴．
（2）证明：如图，过点A作于G，于H，
∵和互为“兄弟三角形”，
∴，，，
∴，
即，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴（SAS），
∴，
∴AM平分．
本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键．
28．证明见解析．
【解析】根据“角角边”判定，由全等三角形的性质可得EA=EB，判定即可．
证明：
∵在和中，
，
∴，
∴EA=EB，
∴是等腰三角形．
本题考查了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的判定，证明是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）利用尺规作出∠CAD的角平分线即可；
（2）欲证明AB＝AC，只要证明∠B＝∠C．
（1）
解：如图，射线AE即为所求．
（2）
证明：∵AE平分∠CAD，
∴∠EAD＝∠EAC，
∵AE∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠EAC，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
本题考查作图 应用与设计作图，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作法，灵活运用所学知识解决问题．
30．（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．
【解析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．
证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO，
∴△BOC是等腰三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．
31．（1）作图见解析；（2）△ADF是等腰直角三角形.
【解析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．
（2）由两个角平分线的性质，导出角的关系，从而求出∠FAD=×180°=90°，再得到∠CDF=∠AFD=∠ADF，进而推出AD=AF，即可得出答案．
解：（1）如图所示：
（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，
理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC，
∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，
即△ADF是直角三角形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，
∴∠EAF=∠B，
∴AF∥BC，
∴∠AFD=∠FDC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，
∴AD=AF，
即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
32．见解析
【解析】根据等腰三角形的三线合一，从而得出∠BAE=∠EAC，根据SAS证明△ABE≌△ACE，再得出BE=CE．
证明：∵，是的中点，
∴．
在和中，
，
∴≌（SAS），
∴．
本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键证明∠BAE=∠EAC，利用三线合一的性质进行证明．