4.2.2等差数列的前n项和 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
等差数列的前n项和
某仓库堆放的一堆钢管，怎样计算这堆钢管的总数呢？
1＋2＋3
1＋2＋3＋4＋5
1＋2＋3＋4＋5＋6
计算：1＋2＋3＋…＋2034＋2035=
问
题
1
需要抽象，
需要公式！
已知{an}是等差数列，求数列{an}的前n项和
Sn＝a1＋a2＋…＋an.
运算角度：
想找到一个没有…且关于n的简单的代数式！
问
题
1
记为Sn
问题：求前n个正整数的和:
就是毕达哥拉斯学派提出的“三角形数”.
如何求呢？
毕达哥拉斯（Pythagoras）
约公元前580年—约前500年
古希腊数学家、哲学家
f(1)＝1
f(2) ＝3
f(3) ＝6
f(4) ＝10
f(5) ＝15
问
题
1
问题：求前n个正整数的和： f(n) ＝1＋2＋…＋n.
目标：将f(n)写成关于n的简单表达式.
sss
ttt
ggg
iii
数学是自己思考的产物。首先要能够思考起来，
用自己的见解和别人的见解交换，会有很好地效果。
——陈省身
探
究
2
已知{an}是等差数列，求数列{an}的前n项和
Sn＝a1＋a2＋…＋an.
运算角度：
归
纳
3
f (n－1)
已知{an}是等差数列，求数列{an}的前n项和
Sn＝a1＋a2＋…＋an.
形式角度：
a1 a1
a2 a1＋d
… …
an-1 a1＋d＋…＋d
an a1＋d＋…＋d＋d
d＋d＋…＋d＋a1 an
d＋…＋d＋a1 an-1
… …
d＋a1 a2
a1 a1
归
纳
3
已知{an}是等差数列，求数列{an}的前n项和
Sn＝a1＋a2＋…＋an.
形式角度：
结论1：a1＋an＝a2＋an-1＝…＝an＋a1；
结论2： 2Sn＝n(a1＋an).
I II I＋II
a1 a1 d＋d＋…＋d＋a1 an a1＋an
a2 a1＋d d＋…＋d＋a1 an-1 a2＋an-1
… … … … …
an-1 a1＋d＋…＋d d＋a1 a2 an-1＋a2
an a1＋d＋…＋d＋d a1 a1 an＋a1
Sn Sn 2Sn
你发现了什么结论呢？
从而
归
纳
3
等差数列{an}的前n项和公式
或
(和用首项、公差、项数表示）
(和用首项、末项、项数表示）
归
纳
3
应
用
4
(和＝均值×项数）
应
用
4
和式是宽度为1的矩形面积之和.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5
能否联想到物理学中某种表示？
应
用
4
例2.在等差数列中，完成如下问题：
(1)第1项到第3项的和为3，第4项到第6项的和为6，求第7项到第9项的和;
(2)第1项到第5项的和为5，第6项到第10项的和为10，求第11项到第15项的和;
(3)第1项到第4项的和为4，第5项到第8项的和为8，求第9项到第12项的和.
9
15
12
你能发现什么呢？
应
用
4
猜想：已知{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，则
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…
成等差数列.
探索：在等差数列{an}中
a1+a2+…+an，an+1+an+2+…+a2n，a2n+1+a2n+2+…+a3n，…
成等差数列.
成首项是 ，公差是 的等差数列.
Sn
n2 d
应
用
4
发现问题
提出问题
分析问题
解决问题
升
华
5
问题
探究
抽象
化归
建模
归纳猜想
倒序相加
应用
优化计算
数据意识
二次建模
升
华
5
杨辉在《详解九章算法》(1261)提出“三角垛”：
下广一面十二个，上尖. 问：计几何？
术文说：下广加一乘之. 下广加二，乘之，立高方积，如六而一.
答数：364.
思考：你能用今天的研究方法加以研究吗？
杨辉，字谦光，汉族，
南宋杰出的数学家
升
华
5
若n为偶数，则
f(n) ＝1＋2＋… ＋(n－1)＋n
＝(1＋n) ＋(2 ＋(n－1)) ＋ …
＝
分组配对
若n为奇数，则
f(n) ＝ f(n－1) ＋n
＝
＝
几何直观
n＋1列
n行
归纳猜想
f(1)＝1， f(2) ＝3， f(3) ＝6， f(4) ＝10， f(5) ＝15，…
猜测： f(n)＝An2＋Bn＋C,
解得：
n 1 2 3 4 5
f(n) 1 3 6 10 15
猜想正确吗？
裂项相消
22－12＝3，
32－22＝5，
…
(n＋1)2－n2＝2n＋1，
将这n个等式的左、右分别相加，得
(n＋1)2－12＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n＋1)，
即
2(1＋2＋…＋n)＋n＝n(n＋2)，
裂项相消
数学有两个侧面,一方面它是欧几里得式严谨的科学,从这方面看数学像是一门系统的演绎科学;但另一方面,创造过程中的数学看起来却像一门实验性的归纳科学.
——G·波利亚
George Polya(1887-1985)
美籍匈牙利数学家。
Thanks！