3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
基础过关
二次函数的零点
1.函数y=-x2+4x-4在x∈[1,3]时的零点情况是( )
A.没有零点
B.只有一个零点
C.有两个零点
D.有无数个零点
2.若函数y=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是( )
A.a<1 B.a>1
C.a≤1 D.a≥1
3.函数y=(x-1)(x2-3x+1)的零点是 .
4.函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,则其另一个零点为 .
5.函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数y=bx2-ax-1的零点为 .
一元二次不等式的解法
6.不等式x2+2x<3的解集是( )
A.(-1,3)
B.(-3,1)
C.(-∞,-3)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
7.已知集合M={0,1,2,3,4},N={x|(x-2)(x-5)<0},则M∩N=( )
A.{3,4}
B.{2,3,4,5}
C.{2,3,4}
D.{3,4,5}
8.已知命题p:x+1>2,命题q:5x-6>x2,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
9.等式>1的解集为 .
10.解下列关于x的不等式:
(1)2+3x-2x2>0;
(2)x(3-x)≤x(x+2)-1;
(3)-1
(4)≤1.
含有参数的一元二次不等式的解法
11.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1},则关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集是( )
A.{x|1C.{x|x<-1或x>2} D.{x|x>2}
12.若00的解集是( )
A. B.
C. D.
13.已知不等式x2+ax+4<0的解集不为空集,则实数a的取值范围是( )
A.-4≤a≤4 B.-4C.a≤-4或a≥4 D.a<-4或a>4
14.解关于x的不等式ax2-x>0(a≠0).
三个二次之间的关系
15.若二次函数的大致图象如图所示,则y>0的解集为( )
A.(-2,1) B.(-1,2)
C.(1,2] D.(-∞,0)∪(3,+∞)
16.若y=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是( )
A.m<-2或m>2
B.-2C.m≠±2
D.117.已知关于x的不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x<-2或x>3},则m,n的值分别是( )
A.2,12
B.2,-2
C.2,-12
D.-2,-12
18.已知不等式x2+ax+b<0的解集是{x|-1A.-3 B.1
C.-1 D.3
19.已知x1,x2是二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的两个零点,且x1,x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若,求k的值.
一元二次不等式的实际应用
20.某商场将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个.每涨价1元,销售量就减少20个,为了使该商场利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是( )
A.90C.10021.某商家一月份至五月份的累计销售额达3 860万元,预测六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增长x%,八月份的销售额比七月份增长x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等.若一月份至十月份的销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是 .
22.某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少 最少存水量是多少吨
(2)若蓄水池中存水量少于80吨时就会出现供水紧张的现象,则在一天的24小时内,有几个小时会出现供水紧张的现象
答案全解全析
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
基础过关
1.B 令-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,所以在x∈[1,3]时,函数只有一个零点,故选B.
2.B ∵函数y=x2+2x+a没有零点,
∴方程x2+2x+a=0无实数解,
∴Δ=22-4a<0,解得a>1.
3.答案 1,
解析 令(x-1)(x2-3x+1)=0,
则x-1=0或x2-3x+1=0,
解得x=1或x=或x=.
故函数的零点为1,.
4.答案 -3
解析 ∵函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为 1,
∴a+2a+3=0,
∴a=-1,
∴y=-x2-2x+3,
令-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3,
故函数的另一个零点为-3.
5.答案 -和-
解析 ∵函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,
∴解得经检验,满足题意.
则y=bx2-ax-1即为y=-6x2-5x-1,
令y=-6x2-5x-1=0,
解得x=-或x=-,
故函数y=bx2-ax-1的零点为-和-.
6.B ∵x2+2x<3,∴x2+2x-3<0,∴(x-1)(x+3)<0,解得-37.A N={x|(x-2)(x-5)<0}={x|28.B p:x>1.对于q:x2-5x+6<0,∴29.答案 {x|1解析 ∵>1,∴>0,∴(x-1)(x-2)<0,解得1∴不等式>1的解集为{x|110.解析 (1)原不等式可化为2x2-3x-2<0,所以(2x+1)(x-2)<0,解得-(2)原不等式可化为2x2-x-1≥0,所以(2x+1)(x-1)≥0,解得x≤-或x≥1,故原不等式的解集为.
(3)原不等式等价于
即
由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0;
由②得(x+3)(x-1)≤0,所以-3≤x≤1,所以原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0(4)原不等式可化为≤0,
即(x+2)(x-1)≤0且x-1≠0,
所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1}.
11.A ∵关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x<-1},
∴∴b=a<0,
∴关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0可化为(x-1)(x-2)<0,解得1∴不等式的解集是{x|112.D ∵(t-x)>0,
∴(x-t)<0.
∵0∴原不等式的解集为.
13.D 因为不等式x2+ax+4<0的解集不为空集,
所以Δ=a2-16>0,
∴a<-4或a>4.
14.解析 ∵a≠0,
∴方程ax2-x=0的两个根为x1=0,x2=.
当a>0时,>0,此时不等式的解集为;
当a<0时,<0,此时不等式的解集为.
综上,当a>0时,不等式的解集为;
当a<0时,不等式的解集为.
15.B 由题图,知y>0的解集为{x|-116.A ∵y=-x2+mx-1的函数值有正值,
∴Δ=m2-4>0,
∴m>2或m<-2.故选A.
17.D 由题意知-2,3是关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根,
∴-2+3=-,
∴m=-2,n=-12.故选D.
18.A 易知方程x2+ax+b=0的两个解为-1和2,
所以 a+b=-3.
19.解析 (1)∵x1,x2是二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的两个零点,
∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1.
又x1>1,x2>1,
∴
解得k≥,且k≠1.
∴实数k的取值范围是kk≥且k≠1.
(2)由得
∴x1x2=·=k2+1,
即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去).
∴k的值为7.
20.A 设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则a=x+90,y=(10+x)·(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商场利润有所增加,则必须使y>0,即x2-10x<0,得021.答案 20
解析 由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),
所以x≥20,
即x的最小值为20.
22.解析 (1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t-120(0≤t≤24).
令=x,则x2=6t(0≤x≤12),
∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12).
∴当x=6,即t=6时,ymin=40,
即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,最少存水量是40吨.
(2)令 400+10x2-120x<80,
即x2-12x+32<0,解得4即4<<8,
故=8,
所以每天有8个小时会出现供水紧张的现象.
2 / 123.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
能力提升
含有参数的一元二次不等式的解法
1.已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
2.设0(ax)2的解集中恰有3个整数解,则a的取值范围为( )
A.(-∞,1)∪(3,+∞) B.[1,3]
C.(1,3) D.(0,2)
3.(多选)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1A.{x|0C.{x|x>3} D.{x|x<-2或x>1}
4.已知命题p:x2-2x-35≤0,q:x2-3mx+(2m-1)(m+1)≤0,其中实数m>2.
(1)分别求出命题p,q中关于x的不等式的解集M和N;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
5.已知函数y=x2-x+m.
(1)当m=-2时,求不等式y>0的解集;
(2)当m>0时,y<0的解集为{x|a一元二次不等式的恒(能)成立问题
6.已知y=-2x2+bx+c,不等式y>0的解集是(-1,3),若对于任意x∈[-1,0],不等式y+t≤4恒成立,则t的取值范围为( )
A.(-∞,2] B.(-∞,-2]
C.(-∞,-4] D.(-∞,4]
7若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤-2} B.{a|a≥-2}
C.{a|a≥-6} D.{a|a≤-6}
8若kx2-6kx+(k+8)≥0对任意x∈R恒成立(k为常数),则k的取值范围是( )
A.[0,1] B.(0,1)
C.(0,1] D.(-∞,0)∪(1,+∞)
9.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为 .
10.已知关于x的不等式2kx2+kx-<0.
(1)若不等式的解集为,求实数k的值;
(2)若不等式对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
答案全解全析
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
能力提升
1.C 由题意知,关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1<0的解集为R.
①若a2-4=0,则a=±2.
当a=2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1<0可化为-1<0,符合题意;
当a=-2时,不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1<0可化为-4x-1<0,即x>-,其解集不为R,不符合题意;
②若a2-4≠0,则a≠±2.
∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1<0的解集为R,
∴
解得-综上,实数a的取值范围是.故选C.
2.C 原不等式可转化为[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0.①当a≤1时,结合不等式的解集形式知不符合题意;②当a>1时,有,由题意知0<<1,所以要使原不等式的解集中恰有3个整数解,只需-3≤<-2,整理,得2a-23.BC 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13},所以不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}.故选BC.
4.解析 (1)x2-2x-35=(x-7)(x+5)≤0,
∴M=[-5,7];
x2-3mx+(2m-1)(m+1)=[x-(2m-1)][x-(m+1)]≤0,又m>2,∴2m-1>m+1,
∴N=[m+1,2m-1].
(2)∵p是q的必要不充分条件,∴N是M的真子集,
∴或
解得-6≤m≤4,又m>2,
∴25.解析 (1)当m=-2时,y=x2-x+m=x2-x-2,当y>0时,x2-x-2>0.
由x2-x-2=0得x1=-1,x2=2,
∴不等式y>0的解集为{x|x<-1或x>2}.
(2)∵y<0的解集为{x|a∴a,b为方程x2-x+m=0的两个实数根,
∴a+b=1,ab=m.
∵m>0,
∴a>0,b>0,
∴(a+b)
=5+
≥5+2=9,
当且仅当a=时,等号成立.
故的最小值为9.
6.B 由题意知-1和3是方程-2x2+bx+c=0的两根,所以解得
∴y=-2x2+4x+6.
不等式y+t≤4可转化为t≤2x2-4x-2,x∈[-1,0],又y=2x2-4x-2=2(x-1)2-4,x∈[-1,0]的最小值为-2,∴t≤-2.
7.A 不等式x2-4x-2-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解等价于在{x|1≤x≤4}内,a≤.
当1≤x≤4时,-6≤x2-4x-2≤-2,所以a≤-2.故选A.
8.A 当k=0时,显然8>0恒成立;
当k≠0时,
只需满足
解得09.答案 [-8,4]
解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0对任意a∈R恒成立,所以Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.
10.解析 (1)若关于x的不等式2kx2+kx-<0的解集为,
则-和1是2kx2+kx-=0的两个实数根,且k>0,由根与系数的关系得-,所以k=.
(2)当k=0时,-<0恒成立,满足题意.
当k≠0时,则有
解得-3综上,实数k的取值范围为(-3,0].
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