第3章 不等式
3.1 不等式的基本性质
基础过关
用不等式(组)表示不等关系
1.下列说法正确的是( )
A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.若小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
2.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7支,练习本至少买6本,设买铅笔x支,练习本y本,则满足条件的不等式组为( )
A. B.
C. D.
3.一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车现在每天行驶的路程比原来多19 km,那么现在在8天内行驶的路程将超过2 200 km,用不等式表示为 .
实数(代数式)的大小比较
4.已知a1,a2∈{x|0
A.MN
C.M=N D.不确定
5.若x≠-2,y≠1,则M=x2+y2+4x-2y的值与-5的大小关系是( )
A.M>-5 B.M<-5
C.M≥-5 D.M≤-5
6.若x∈R,则与的大小关系为 .
不等式的性质及其应用
7.若,则a,b的大小关系为( )
A.a>b B.a=b
C.a8.若b<0A.bdC.a-c>b-d D.a+c>b+d
9.“”是“bA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
10.已知实数a,b,c满足0A.a+c>b+c B.ac>bc
C.ac11.若<0,则下列结论不正确的是( )
A.a2C.a+b<0 D.|a|+|b|>|a+b|
求代数式的取值范围
12设实数x,y满足3A.(4,6) B.(4,7)
C.(5,6) D.(5,7)
13.已知1214.已知-315.已知-2(1)|a|;(2)a+b;(3)a-b;(4)2a-3b.
答案全解全析
第3章 不等式
3.1 不等式的基本性质
基础过关
1.C 对于A,应满足x≤2 000,故A错误;对于B,x,y应满足x2.C 由题意可得
3.答案 8(x+19)>2 200
解析 ∵汽车原来每天行驶x km,现在每天行驶的路程比原来多19 km,
∴现在汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则现在在8天内行驶的路程为8(x+19)km,又8天内行驶的路程将超过2 200 km,∴满足8(x+19)>2 200.故答案为8(x+19)>2 200.
4.B 由题意得00,故M>N.故选B.
5.A M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(y-1)2.
∵x≠-2,y≠1,∴(x+2)2>0,(y-1)2>0,
∴(x+2)2+(y-1)2>0.故M>-5.
6.答案 ≤
解析 ∵≤0,∴≤.
7.A 由,可得c2>0,所以两边同乘c2,可得a>b,所以A正确.
8.D ∵b<0,d<0,a>0,c<0,
∴bd>0,<0,
∴bd>ac,,故A,B错误;
令a=1,b=-1,d=-5,c=-2,
则a-c∵b<00,∵d∴a-b>d-c,即a+c>b+d,故D正确.
9.B 取a=2,b=1,成立,但b-a>0,由不等式的性质得-,∴,即“b10.C 因为00,所以a+c11.D ∵<0,∴b∴a2∵b12.B 由已知得6<2x<8,-2<-y<-1,
两式相加得4<2x-y<7.故选B.
13.答案
解析 由15所以根据不等式的性质可得12×14.答案 (0,8)
解析 依题意得015.解析 (1)0≤|a|≤3.
(2)-1(3)依题意得-2<-b≤-1,又-2(4)由-2由1≤b<2得-6<-3b≤-3②,
①+②得,-10<2a-3b≤3.
2 / 6第3章 不等式
3.1 不等式的基本性质
能力提升
实数(代数式)的大小比较
1.实数x,y,z满足x+y+z=0,xyz>0,若T=,则( )
A.T>0 B.T<0
C.T=0 D.T≥0
2若p=,其中a≥0,则p,q的大小关系是( )
A.pC.p>q D.不确定
3.已知a,x均为正数,且a>b,则.(填“>”“<”或“=”)
4.已知a+b>0,则与的大小关系是 .
不等式性质的综合应用
5.已知a,b为非零实数,且a-b≥0,则下列结论一定成立的是( )
A.a2≥b2 B.ab2≥ba2
C.≥ D.≥
6.下列命题是真命题的是( )
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b,则a2>b2
C.若aD.若a7.(多选)已知实数a,b,c满足cA.ab>ac B.c(b-a)>0
C.ac(a-c)<0 D.cb28.某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属于团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的一张全票价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.
题组三 求代数式的取值范围
9.已知2A.①③④ B.①②④
C.①②⑤ D.①③⑥
10.若实数m,n满足求3m+4n的取值范围.
不等式大小的证明
11.已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a5+b5>a2b3+a3b2.
12.已知a,b,x,y都为正数,且,x>y,求证:.
答案全解全析
第3章 不等式
3.1 不等式的基本性质
能力提升
1.B x+y+z=0且xyz>0,不妨设x>0,则y<0,z<0.T=.因为x>0,z<0,所以xz<0.又-y2<0,所以-y2+xz<0.又xyz>0,所以T<0.故选B.
2.A 由题意知p-q=).
∵()2
=2,
且(a+3)(a+6)-(a+4)(a+5)=-2<0,a≥0,
∴2<0,∴()2<0,
∴p-q=)<0,故p3.答案 <
解析 .
因为a>0,a>b,x>0,所以x+a>0,b-a<0,
所以<0,所以.
4.答案 ≥
解析 =(a-b)·.
∵a+b>0,(a-b)2≥0,a2b2>0,
∴≥0,∴≥.
5.C 当a=1,b=-2时,a2∵,a-b≥0,∴≥0,
∴≥,故C一定成立.
6.D 对于A,当c=0时,ac2=bc2,所以A是假命题;对于B,当a=0,b=-2时,a>b,但a2ab>b2,所以C是假命题;对于D,若a7.ABC 因为c0,所以ab>ac,故A一定成立;
因为b-a<0,故c(b-a)>0,故B一定成立;
因为a-c>0,ac<0,所以ac(a-c)<0,故C一定成立;当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,cb28.解析 设该单位职工有n(n∈N*)人去学习,一张全票的价格为x元,包甲车队需花y1元,包乙车队需花y2元,
则y1=x+x·(n-1)=xn,
y2=nx.所以y1-y2=.
当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1当n<5时,y1>y2.
因此,当该单位去的人数为5时,两车队收费相同;多于5时,甲车队更优惠;少于5时,乙车队更优惠.
9.D a=(a-b),∵2∴1<.∵0故正确的结论是①③⑥,故选D.
10.解析 令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n),则解得
因此3m+4n=(m-n).
由-1≤2m+3n≤2得-≤(2m+3n)≤.由-311.证明 (a5+b5)-(a2b3+a3b2)
=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2).
∵a,b都是正数,∴a+b>0,a2+ab+b2>0,
∵a≠b,∴(a-b)2>0,
∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,
即a5+b5>a2b3+a3b2.
12.证明 .
∵>0,∴b>a>0.
又x>y>0,∴bx>ay,即bx-ay>0.
又x+a>0,y+b>0,
∴>0,即.
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