3.2 基本不等式
基础过关
对基本不等式的理解
1.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
2.若x>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是( )
A.≤ B.+≥1
C.≥2 D.≥1
3.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使+≥2成立的条件个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是( )
A.x+1≥2 B.x2+1>2x
C.≤1 D.x+≥2
利用基本不等式比较大小
5.已知a>0,b>0,且a≠b,则,,,中最小的是( )
A. B. C. D.
6.已知x,y∈R,下列不等关系正确的是( )
A.x2+y2≥2|xy| B.x2+y2≤2|xy|
C.x2+y2>2|xy| D.x2+y2<2|xy|
7.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )
A.ab≤ B.ab≥
C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤2
8.已知m=a+(a>2),n=x+4(x<0),则m,n之间的大小关系是( )
A.m>n B.mC.m=n D.m≤n
9.当a,b∈R时,下列不等关系成立的是 .(填序号)
①≥;②a-b≥2;③a2+b2≥2ab;④a2-b2≥2ab.
利用基本不等式证明其他不等式
10.求证:当x<0时,x+≤-2.
11.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
利用基本不等式求最值
12.若正数x,y满足+=1,则3x+4y的最小值是( )
A.24 B.28 C.25 D.26
13.中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8,则此三角形面积的最大值为( )
A.4 B.8 C.4 D.8
14.当x>3时,x+≥a恒成立,则a的最大值为 .
15.已知a>b>c,+≥,求n的最大值.
答案全解全析
基础过关：必须拿到分
1.B 因为均值不等式成立的前提条件是各项均为非负数,又x-2y≠0,所以x-2y>0,即x>2y.故选B.
2.B 解法一:取x=1,y=2,满足x+y≤4,排除A、C、D.故选B.
解法二:∵0∵4≥x+y≥2,∴≤2,故C不成立;
又0+=≥=,∵0<≤2,∴≥,∴+≥1,故B成立.故选B.
3.C 当,均为正数时,+≥2,故只需a,b同号即可,∴①③④均满足要求.故选C.
4.C 对于A,当x<0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不恒成立;对于D,当x<0时,x+≤-2,故D不恒成立;对于C,x2+1≥1,所以≤1成立.故选C.
5.D ∵a>0,b>0,∴≤=≤≤ (当且仅当a=b时,等号成立).
又∵a≠b,∴等号取不到,
∴最小.故选D.
6.A x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|,当且仅当|x|=|y|时,等号成立.
7.C a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥4-2·=2,当且仅当a=b时,等号成立.故选C.
8.A ∵a>2,∴a-2>0,
∴m=a+=a-2++2≥2+2=4,
当且仅当a-2=(a>2),即a=3时,“=”成立.
∵x<0,∴n=x+4<4,∴m>n.故选A.
9.答案 ③
解析 根据≥ab,≥成立的条件判断,①②④错,只有③正确.
10.证明 因为x<0,所以-x>0,->0,
所以(-x)+≥2=2,
即-≥2,当且仅当-x=-,即x=-1时,等号成立,所以x+≤-2.
11.证明 ∵a,b,c都是正数,
∴a+b≥2>0,当且仅当a=b时,等号成立,b+c≥2>0,当且仅当b=c时,等号成立,c+a≥2>0,当且仅当c=a时,等号成立.
∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc,当且仅当a=b=c时,等号成立,∴(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.
12.C ∵正数x,y满足+=1,
∴3x+4y=(3x+4y)=13++≥13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时,等号成立,∴3x+4y的最小值是25.故选C.
13.B 由题意,得p=10,
∴S==≤×=8,当且仅当a=b=6时取“=”.
∴此三角形面积的最大值为8.故选B.
14.答案 5
解析 因为x>3,所以x+=x-3++3
≥2+3=5,当且仅当x-3=,即x=4时,等号成立.
所以由题意可知a≤5,故a的最大值为5.
15.解析 ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0.
∵+≥,∴n≤+.
∵a-c=(a-b)+(b-c),
∴n≤+,
∴n≤++2.
∵+≥2=2(当且仅当2b=a+c时取等号),
∴n≤4,∴n的最大值是4.
1 / 13.2 基本不等式
能力提升
利用基本不等式求最值
1.已知x>1,则的最小值是( )
A.2+2 B.2-2
C.2 D.2
2.若03.若实数x,y满足xy=1,则x2+4y2的最小值为 .
4.已知a,b,c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,则正数c的最小值为 .
5.已知x,y∈R+,且x+y=4,求+的最小值.
不等式恒成立问题
6.设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值为( )
A.0 B.4
C.-4 D.-2
7.设a,b,c都是正实数,且a,b满足+=1,则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是( )
A.(0,8] B.(0,10]
C.(0,12] D.(0,16]
8.“m≤”是“ x>0,+->m是真命题”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
不等式的证明
9.设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.
10.已知x>y>0,且xy=1,求证:≥2,并求等号成立的条件.
基本不等式的实际应用
11.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a(a>0),第三年的增长率为b(b>0),这两年的平均增长率为x(x>0),则( )
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
12.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度直达灾区,已知两地相距400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部运到灾区至少需要( )
A.5 h B.10 h C.15 h D.20 h
13.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,则年花费最小时x= .
14.山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略,也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略综合试验区.泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇,加快企业发展.已知该企业的年固定成本为500万元,每生产设备x(x>0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=万元;若年产量不小于80台,则y1=万元.若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;
(2)年产量为多少台时,该企业所获利润最大
15.为迎接省运会,某市某体育馆需要重新铺设塑胶跑道.已知每毫米厚的跑道的铺设成本为10万元,跑道平均每年的维护费C(单位:万元)与跑道厚度x(单位:毫米)的关系为C(x)=,x∈[10,15].若跑道厚度为10毫米,则平均每年的维护费需要9万元.设总费用y为跑道铺设费用与10年维护费之和.
(1)求k的值与总费用y的表达式;
(2)当塑胶跑道铺设多厚时,总费用y最小,并求出最小值.
答案全解全析
能力提升
1.A 由题意得x-1>0,===x+1+=x-1++2≥2+2,当且仅当x=1+时取等号.∴的最小值是2+2.
2.答案 9+4
解析 令1-x=y,则x+y=1,
+=+=(x+y)=9++≥9+2=9+4,当且仅当=,即x=时,等号成立,故+的最小值为9+4.
3.答案 4
解析 若实数x,y满足xy=1,则x2+4y2≥2x·2y=4xy=4,
当且仅当x=2y=±时,等号成立,故x2+4y2的最小值为4.
4.答案 4
解析 若c为正数,则由a+b+c=0,abc=16知a<0,b<0,
且(-a)+(-b)=c,ab=.而(-a)+(-b)≥2(当且仅当a=b时取等号),
故c≥2,∴c2≥,∴≥0,∴c3≥64,∴c≥4.
5.解析 ∵x+y=4,∴+=·(x+y)=.
∵x,y∈R+,∴>0,>0,
∴+≥2=2当且仅当=,即y=x时取等号,
∴+≥×(4+2)=1+,故+的最小值为1+.
6.C 由++≥0得k≥-,而=++2≥4(当且仅当a=b时取等号),所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,故实数k的最小值为-4.
7.D ∵a,b,c都是正实数,且+=1,
∴a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,当且仅当=,即b=3a时,等号成立,此时a=4,b=12,
∴a+b≥16.要使a+b≥c恒成立,需08.B 若 x>0,+->m是真命题,则m<.
因为+-≥2-=1-=-当且仅当=,即x=1时取等号,
所以m<-,故“m≤”是“m<-”的必要不充分条件,故选B.
9.证明 ∵a,b,c都是正数,∴,,都是正数,
∴+≥2c,当且仅当a=b时,等号成立,+≥2a,当且仅当b=c时,等号成立,
+≥2b,当且仅当a=c时,等号成立.
三式相加,得2≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.
10.解析 ∵x>y>0,∴x-y>0.又∵xy=1,
∴==(x-y)+≥2=2,
当且仅当x-y=时,等号成立.
由
得x=,y=,
即当x=,y=时,等号成立.
11.B 依题意有A(1+x)2=A(1+a)(1+b)(a,b,x>0),
∴1+x=≤[(1+a)+(1+b)]=1+,当且仅当a=b时取等号.
∴x≤.故选B.
12.B 设所需时间为t h,则t==+≥2=10,当且仅当v=80时取等号.
13.答案 20
解析 由题意得总费用y=·4+4x,由基本不等式,
得y=·4+4x≥160,当且仅当·4=4x,即x=20时取等号.故年花费最小时x=20.
14.解析 (1)当0当x≥80时,y=100x--500=1 680-.
所以y=
(2)当0当x≥80时,y=1 680-≤1 680-2=1 500,当且仅当x=,即x=90时,y取得最大值,最大值为1 500万元.
所以当年产量为90台时,该企业所获利润最大,最大利润为1 500万元.
15.解析 (1)依题意,当x=10时,C(10)==9,解得k=36,
∴C(x)=,∴y=10x+=10x+,x∈[10,15].
(2)由(1)得y=10x+=10x-60++60=10(x-6)++60≥2+60=180,
当且仅当10(x-6)=,即x=12时,等号成立.
故当塑胶跑道铺设12毫米时,总费用y最小,最小值为180万元.
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