苏教版（2019）高中数学必修第一册 3.2 基本不等式 (解析版)

3.2基本不等式
教材知识梳理
基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫作正数a，b的算术平均数，叫作正数a，b的几何平均数．
2．变形：当a，b∈R时，
ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)；
ab≤2(当且仅当a＝b时，等号成立)．
基本不等式≤(a，b≥0)求最值应注意：
(1)a，b是正数．
(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2；
②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
例题研究
一、利用基本不等式求最值题型探究
例题1
已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2
在上定义运算，时，不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练
训练1
已知点A（1，2）在直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式≤m2+8m成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]∪[9，+∞） B．（-∞，-9]∪[1，+∞）
C．[-1，9] D．[-9，1]
训练2
不等式(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝5 B．x＝－3
C．x＝3 D．x＝－5
基本不等式的应用
题型探究
例题1
已知关于的不等式的解集为，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值2 B．函数有最小值
C．函数有最大值-2 D．函数有最大值
例题2
下列说法中错误的是（ ）
A．不等式恒成立 B．若，则
C．若，满足，则 D．存在，使得成立
跟踪训练
训练1“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价.甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中），则两个平台的降价力度（　　）
A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．大小不能确定
训练2
小明同学计划两次购买同种笔芯（两次笔芯的单价不同），有两种方案：第一种方法是每次购买笔芯数量一定；第二种方法是每次购买笔芯所花钱数一定.则哪种购买方式比较经济（ ）
A．第一种 B．第二种
C．两种一样 D．无法判断
利用基本不等式求解不等式
题型探究
例题1
下列不等式的证明过程正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
例题2
若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
跟踪训练
训练1
设，，且恒成立，则的最大值是.
A． B． C． D．
训练2
若，则下列不等式中正确的不等式有（ ）个.
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
综合式测试
选择题
1．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．正实数x，y，满足，则对的说法不正确的是（ ）
A．最小值为3 B．最小值为
C．最小值为 D．不存在最大值
3．已知，且，
A．当时，当且仅当时，有最小值
B．当时，当且仅当时，的最小值为25
C．若的最小值为9，则t的值为2
D．若的最小值为25，则t的值为6
4．已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．设实数满足，函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
7．是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
填空题
9．已知a，b，，记，则T最大值为________.
10．直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为__________
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.
（1）求圆面积的最小值；
（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；
（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求证：直线过定点.
12．已知集合(其中为正常数).
(1)设，求的取值范围.
(2)求证：当时，不等式对任意恒成立；
(3)求使不等式对任意恒成立的的范围.
13．已知，求下列问题：
（Ⅰ）若，求的最大值；
（Ⅱ）已知函数，若，求的取值范围．
3.2基本不等式答案
教材知识梳理
基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫作正数a，b的算术平均数，叫作正数a，b的几何平均数．
2．变形：当a，b∈R时，
ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)；
ab≤2(当且仅当a＝b时，等号成立)．
基本不等式≤(a，b≥0)求最值应注意：
(1)a，b是正数．
(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2；
②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
例题研究
一、利用基本不等式求最值
题型探究
例题1
已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题中条件，利用基本不等式，求出的最小值；得到，求解，即可得出结果.
【详解】
因为，，且，
所以，
当且仅当时，等号成立；
又不等式恒成立，
所以只需，即，解得.
故选：A.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
例题2
在上定义运算，时，不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】转化条件得在上有解，利用基本不等式求得在的最大值即可得解.
【详解】
由题意可得在上有解，
所以即在上有解，
又，当且仅当时，等号成立，
所以在的最大值为，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】考查了基本不等式的应用及有解问题的解决
跟踪训练
训练1
已知点A（1，2）在直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式≤m2+8m成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]∪[9，+∞） B．（-∞，-9]∪[1，+∞）
C．[-1，9] D．[-9，1]
【答案】B
【分析】根据点在直线上得a+2b＝1，利用＝（a+2b）（）＝5+以及基本不等式可得解.
【详解】
因为点A（1，2）在直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）上，所以a+2b＝1，
所以＝（a+2b）（）＝5+≥5+2＝9，
当且仅当a＝b＝取得等号，即最小值9，
则9≤m2+8m，解得m≥1或m≤-9．
故选：B．
【点睛】考查了利用基本不等式求最值
训练2
不等式(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝5 B．x＝－3
C．x＝3 D．x＝－5
【答案】A
【分析】根据基本不等式等号成立的条件可知，当时等号成立.
【详解】
当时，，
等号成立的条件是 ，
，解得：.
故选A.
【点睛】考查基本不等式，利用基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，常用不等式包含， ，.
基本不等式的应用
题型探究
例题1
已知关于的不等式的解集为，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值2 B．函数有最小值
C．函数有最大值-2 D．函数有最大值
【答案】C
【分析】不等式可因式分解得，由解集为，可知，，代入函数，利用基本不等式，计算即得.
【详解】
由题得，的解集为，则，函数，又，则，故，当且仅当，即时，取得等号，函数有最大值.
故选：
【点睛】考查利用基本不等式求函数的最值，是常考题型.
例题2
下列说法中错误的是（ ）
A．不等式恒成立 B．若，则
C．若，满足，则 D．存在，使得成立
【答案】A
【详解】
对A，若，则不等式不成立，故A错；
对B，若，则，故B正确；
对C，若，满足，
则，故C正确；
对D，若，使得成立，故D正确.
故选：A.
【点睛】根据基本不等式，逐个分析判断，即可得解.
跟踪训练
训练1
“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价.甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中），则两个平台的降价力度（　　）
A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．大小不能确定
【答案】A
【详解】
设原价是x，那么
甲平台两次降价后的售价＝（1﹣a%）（1﹣b%）x；
乙平台两次降价后的售价＝（1%）2x；
而（1﹣a%）（1﹣b%）xxx；
（1%）2xx，
∵（a+b）2≥4ab，(当且仅当是等号成立)，又，
∴乙＞甲．即乙的售价高，甲降价幅度大，
故选：A．
【点睛】根据题意可分别得出甲、乙两次降价后的售价的表达式，并进行计算，再结合基本不等式比较大小即可．
训练2
小明同学计划两次购买同种笔芯（两次笔芯的单价不同），有两种方案：第一种方法是每次购买笔芯数量一定；第二种方法是每次购买笔芯所花钱数一定.则哪种购买方式比较经济（ ）
A．第一种 B．第二种
C．两种一样 D．无法判断
【答案】B
【分析】设此种商品的价格分别为，第一种方案每次购买这种物品数量为；第二种方案每次购买这种物品的钱数为．则第一种方案的平均价格为；第二种方案的平均价格为，利用基本不等式的性质即可得到答案.
【详解】
设两次购买的单价分别为，方案一平均单价为，
方案二平均单价为，
由均值不等式得.
故第二种购物方式比较经济.
故选：B.
【点睛】考查利用基本不等式的性质解决实际问题
利用基本不等式求解不等式
题型探究
例题1
下列不等式的证明过程正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】由已知结合基本不等式逐一判断即可.
【详解】
对于A, 若 ，则或,选项错误;
对于B, 若 ，则,选项错误;
对于C, 若,则或,选项错误;
对于D, 若 ，则,选项正确;
故选:D.
【点睛】考查基本不等式的应用,注意各项的符号是否为正是本题的解题关键
例题2
若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】先根据条件求解出，然后根据不等式有解得到，由此求解出的取值范围.
【详解】
因为，
取等号时，所以，
因为不等式有解，所以，
所以或，
故选：B.
【点睛】考查利用基本不等式求解不等式有解问题
跟踪训练
训练1
设，，且恒成立，则的最大值是.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得出，，将代数式表示为，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出的最大值.
【详解】
由题意得出，，且，
由于恒成立，则.
另一方面，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，所以，，因此，的最大值是，故选C.
【点睛】考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题
训练2
若，则下列不等式中正确的不等式有（ ）个.
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】结合不等式的性质、基本不等式、差比较法对四个不等式逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于①，因为，所以，所以该命题是错误的.
对于②，因为，所以，，所以，所以该命题是正确的.
对于③，因为，所以，，
∴当且仅当时取等，但是，所以不能取等，所以.所以该命题是正确的.
对于④，∴，所以该命题是正确的.
综上所述，正确的不等式有个.
故选：C
【点睛】考查不等式的性质、基本不等式、差比较法，属于中档题.
综合式测试
选择题
1．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，则，由权方和不等式和基本不等式得，即可求解．
【详解】
由得
因为，，则
令
则化为恒成立，
由权方和不等式得
当且仅当，得即时等号成立．
所以
故选：D
2．正实数x，y，满足，则对的说法不正确的是（ ）
A．最小值为3 B．最小值为
C．最小值为 D．不存在最大值
【答案】B
【分析】由题得，再利用基本不等式求解.
【详解】
因为，
所以，
所以
，
当且仅当时取等.
所以最小值为.
故选：B
3．已知，且，
A．当时，当且仅当时，有最小值
B．当时，当且仅当时，的最小值为25
C．若的最小值为9，则t的值为2
D．若的最小值为25，则t的值为6
【答案】C
【分析】当时，，展开后利用基本不等式即可判断A；当当时，，展开后利用基本不等式即可判断B；
，
分别令和即可求出的值，可判断选项C、D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：当时，，
，
当且仅当即时等号成立，所以时，有最小值，
故选项A不正确；
对于选项B：当时，，
，
当且仅当即时等号成立，所以时，有最小值，
故选项B不正确；
对于选项C：
，令即，可得，
即，当且仅当即时等号成立，所以，故选项C正确；
对于选项D：
，令即，可得，
即，当且仅当即时等号成立，所以，故选项D不正确；
故选：C
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件由可求出，又由完全平方公式可得，即可判断A、B；由已知条件可知，则，因此，可判断C；由平方差公式可得，与联立可求出满足条件的a、b，故D可能成立.
【详解】
，
当且仅当时等号成立，
又，，
，则不可能成立；
，当且仅当时等号成立，故不可能成立；
，，，
（由A可知），则不可能成立；
，联立，解得，满足条件，D成立.
故选：D
5．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】由已知可得，即求的最小值，由基本不等式可得答案.
【详解】
因为，，则，
所以，
当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以
所以实数的最大值为8.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
6．设实数满足，函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】
解：由题意，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
7．是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】
因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且取等，即取等号，
即则的最大值为，
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
8．已知，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，结合目标式即可构造出，进而利用基本不等式求的最小值
【详解】
由知：，而，
∴，则
∴
故选：C
【点睛】考查利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值
填空题
9．已知a，b，，记，则T最大值为________.
【答案】
【分析】将分子分母同除以ac，利用基本不等式可得分母 ，再将，分子分母同除以b，利用基本不等式求解.
【详解】
，
而，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以，.
当且仅当，即时取等号，
所以T最大值为
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
10．直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为__________
【答案】
【分析】设直角三角形两条直角边为，则有 ，再利用基本不等式有，可求解.
【详解】
设直角三角形两条直角边为，斜边为，所以 ，且，
所以，当且仅当时，取等号.
所以，所以，
所以，当且仅当时，取等号.
所以三角形面积的最大值为.
故答案为：．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、解答题
11．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.
（1）求圆面积的最小值；
（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；
（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求证：直线过定点.
【答案】（1）（2）（3）证明见解析；
【分析】（1）由题意设圆心为，半径，利用基本不等式求出半径的最小值，从而得到面积的最小值；
（2）由，知，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，讨论的取值，求得圆心到直线的距离的距离，即可得到所求圆的方程；
（3）设，，，求得，的坐标，和的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，．设，则．设直线的方程为，代入圆的方程，运用韦达定理，可得，的关系，即可得到所求定点．
【详解】
解：（1）由题意可设圆的圆心为，
则半径为（当且仅当时取等号），
所以圆的面积最小值为.
（2）由，知.
所以，解得.
当时，圆心到直线的距离小于半径，符合题意；
当时，圆心到直线的距离大于半径，不符合题意.
所以，所求圆的方程为.
（3）设，，，又知，，
所以，．
显然，设，则．
从而直线方程为：，
与圆的方程联立，
消去，可得：，
所以，，即；
同理直线方程为：，
与圆的方程联立，
消去，可得：，
所以，，即．
所以；
．
消去参数整理得． ①
设直线的方程为，代入，
整理得．
所以，．
代入①式，并整理得，
即，解得或．
当时，直线的方程为，过定点；
当时，直线的方程为，过定点
第二种情况不合题意（因为，在直径的异侧），舍去．
所以，直线过定点．
【点睛】考查圆的方程的求法和运用，注意运用联立直线方程和圆的方程，消去一个未知数，运用韦达定理，考查直线方程的运用和恒过定点的求法
12．已知集合(其中为正常数).
(1)设，求的取值范围.
(2)求证：当时，不等式对任意恒成立；
(3)求使不等式对任意恒成立的的范围.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).
【分析】（1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值；
（2）作差法，全部展开，然后利用，代入整理，变成几个因式的积或者商的形式比较大小；
（3）利用作差法，将恒成立问题转化为最值问题，即可求出的范围．
【详解】
解：（1），当且仅当时等号成立，
故的取值范围为。
（2），
将代入得：
时
即当时，不等式对任意恒成立；
（3）由（2）可知
要不等式恒成立，必须恒成立，
即恒成立，
由得，即，
解得
不等式对任意恒成立的的范围是
【点睛】考查不等式的证明，综合性强
13．已知，求下列问题：
（Ⅰ）若，求的最大值；
（Ⅱ）已知函数，若，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由，可得，结合基本不等式，即可求得的最大值；
（Ⅱ）根据函数的解析式及，求得且，进而得到，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由，可得，
所以，
当且仅当时，即时取最大值.
（Ⅱ）由函数，且，
可得且，
令，
可得，解得，
即，
即的取值范围为.
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
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