苏教版（2019）高中数学必修第一册 3.1 不等式的基本性质 (解析版)

3.1不等式的基本性质
教材知识梳理
不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc c的符号
a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N*) 同正
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
作差法比较两个实数大小的基本步骤：
例题研究
一、不等式的性质
题型探究
例题1
设，且，则下列各不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
例题2
已知，且.下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练
训练1
若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
训练2
若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是
A．＞ B．+≤1 C．≥2 D．≤
作差法比较大小
题型探究
例题1
已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．MN
C．M＝N D．M≥N
例题2
某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．无法确定
跟踪训练
训练1
小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定
训练2
如果, 设, 那么
A． B．
C． D．与的大小关系与有关
三、由已知条件判断所给不等式是否正确
题型探究
例题1
如果，那么下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题2
a，b∈R，下列命题正确的是（ ）
A．若a＜b，则a2＜b2 B．若|a|＜b，则a2＜b2
C．若a＜|b|，则a2＜b2 D．若a≠|b|，则a2≠b2
跟踪训练
训练1
若a<0A．< B．a2-b2
训练2
下列命题中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
综合式测试
选择题
1．对于任意实数a、b、c、d，有下列结论：
①若，，则；②若，则；
③若，则；④若，则
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．已知的三边长分别为、、，有以下4个命题：
（1）以、、为边长的三角形一定存在；
（2）以、、为边长的三角形一定存在；
（3）以、、为边长的三角形一定存在；
（4）以、、为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，满足的解集为集合，则下列命题为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．若则下列式子：（1），（2），
（3），（4）.其中恒成立的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知，则下列不等式成立的是（　　　　　）
A． B．
C． D．．
6．已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．如果不等式组的整数解有（）个，那么适合这个不等式组的整数、的有序数对共有（ ）个
A．17个 B．64个 C．81个 D．72个
填空题
9．如图，在矩形中，点E在上，点F在上，，则的面积的最小值是____________.
10．给出以下4个说法：①已知，是正实数，若，则；②若，则；③若，，则；④若，则．
其中正确的说法是（填序号）______．
解答题
11．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．
12．若，,
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
3.1不等式的基本性质答案
教材知识梳理
不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc c的符号
a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N*) 同正
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
作差法比较两个实数大小的基本步骤：
例题研究
一、不等式的性质
题型探究
例题1
设，且，则下列各不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项检验，即可判断结果.
【详解】
对于选项A，若，显然不成立；
对于选项B，若，显然不成立；
对于选项C，若，显然不成立；
对于选项D，因为，所以，故正确.
故选:D.
【考点】考查了不等式的性质
例题2
已知，且.下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由和，得，根据不等式的性质可得选项.
【详解】
，且，
，.
故选:B.
【考点】考查不等式的性质的运用
跟踪训练
训练1
若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质逐一判断可得答案．
【详解】
对于A，可得，错误；
对于B，当时，，错误；
对于C，可得，错误；
对于D，可得，正确；
故选：D
训练2
若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是
A．＞ B．+≤1 C．≥2 D．≤
【答案】D
【详解】由题设知ab≤，所以，，，==≤，由此能够排除选项A、B、C，从而得到正确选项．
解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，
∴ab≤，
∴，故A不成立；
，故B不成立；
，故C不成立；
∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8，
∴==≤，故D成立．
故选D．
【考点】基本不等式．
作差法比较大小
题型探究
例题1
已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．MN
C．M＝N D．M≥N
【答案】B
【分析】利用作差法进行求解．
【详解】
因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以－10，所以M>N，
故选：B.
【考点】考查大小的比较，利用作差法进行求解
例题2
6．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．无法确定
【答案】B
【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.
【详解】
对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年的购买的总金额为，
平均价格为；
对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为，
平均价格为.
因为，所以，.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一
跟踪训练
训练1
小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定
【答案】B
【分析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，令，根据待定系数法求得，借助不等式性质即可证得.
【详解】
设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，
令，
则，解得：
，
因此.
所以2枝玫瑰的价格高.
故选：B
【考点】考查不等关系与不等式性质，考查不等式比较大小的问题
训练2
如果, 设, 那么
A． B．
C． D．与的大小关系与有关
【答案】A
【分析】通过作差法可以比较M，N的大小.
【详解】
因为，所以，因为，所以，，即.
故选：A
【考点】考查判断两个式子的大小关系，作差法是解决此类问题的常用方法.
三、由已知条件判断所给不等式是否正确
题型探究
例题1
如果，那么下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由不等式的性质对选项进行逐一判断,即可得出答案.
【详解】
∵，.
则即为,所以A正确，B不正确.
则，所以C正确
，所以D正确，
故选：B.
例题2
a，b∈R，下列命题正确的是（ ）
A．若a＜b，则a2＜b2 B．若|a|＜b，则a2＜b2
C．若a＜|b|，则a2＜b2 D．若a≠|b|，则a2≠b2
【答案】B
【分析】通过举反例可得选项ACD是错误的，由不等式的性质可得选项B是正确的.
【详解】
选项A，取a＝﹣2，b＝﹣1，显然满足a＜b，但不满足a2＜b2，故错误；
选项B，由|a|＜b和不等式的性质，平方可得a2＜b2，故正确；
选项C，取a＝﹣2，b＝1，显然满足a＜|b|，但不满足a2＜b2，故错误；
选项D，取a＝﹣1，b＝1，显然满足a≠|b|，但不满足a2≠b2，故错误.
故选：B
跟踪训练
训练1
若a<0A．< B．a2-b2
【答案】C
【分析】取特殊值可判断A,B选项，由函数在上为增函数可判断选项C，由的符号不定，则的符号不定，可判断D,从而得出答案.
【详解】
选项A中，取，则，所以A 不正确.
选项B中，取，则，所以B 不正确.
选项C中，由函数在上为增函数，由，则有成立，所以C正确.
选项D中,由，因为，，则的符号不定.
所以的符号不定，即与的大小不定，所以D不正确.
故选：C
训练2
下列命题中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【分析】根据不等式的性质即可依次判断每个选项的正误.
【详解】
对A，若，若，则，故A错误，符合题意；
对B，若，由，可得，故B正确，不符合题意；
对C，若，，则，则，故C正确，不符合题意；
对D，若，，则，则，即，则，故D正确，不符合题意.
故选：A.
综合式测试
选择题
1．对于任意实数a、b、c、d，有下列结论：
①若，，则；②若，则；
③若，则；④若，则
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】
四种说法一一验证：
对于①：取进行否定；
对于②：取进行否定；
对于③：利用不等式的性质直接证明；
对于④：取a=1，b=-1进行否定.
【详解】
对于①：若，，则；故①错误；
对于②：若，则；故②错误；
对于③：若，则 ，所以，把乘以，得：.
故③正确；
对于④：若，取a=1，b=-1，此时；故④错误.
故选：C
2．已知的三边长分别为、、，有以下4个命题：
（1）以、、为边长的三角形一定存在；
（2）以、、为边长的三角形一定存在；
（3）以、、为边长的三角形一定存在；
（4）以、、为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
的三边长分别为、、，不妨设，则，通过平方作差判断（1）正确，直接作差判断（2）（3），举反例判断（4），进而可得正确答案.
【详解】
的三边长分别为、、，不妨设，则，
对于（1）： ，所以，所以以、、为边长的三角形一定存在；故（1）正确；
对于（2）：不一定成立，因此以、、为边长的三角形不一定存在；故（2）不正确；
对于（3）：，因此以、、为边长的三角形一定存在；故（3）正确；
对于（4）： 取，，因此、、，能构成一个三角形的三边，而，因此以、、为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，
所以正确的命题有个，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是设不妨设，则，然后（1）中带根号，所以平方后作差满足两边之和大于第三边，对于（2）（3）直接作差，利用两个小编之和大于第三边，即可求解.
3．已知，满足的解集为集合，则下列命题为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
利用整体思想，设，利用待定系数法解出与，
然后根据不等式的基本性质得出的取值范围并判断所给选项的正误.
【详解】
令，则，
解得，，
故，
又，故，
又，所以.
故选：C.
【考点】考查不等式的基本性质及运用
4．若则下列式子：（1），（2），
（3），（4）.其中恒成立的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可.
详解：
(1) =,当a=1,b=-2.时不等式不成立；
(2)=当a=1,b=-1时，不等式不成立；
(3)恒成立.选项正确.
(4),故不正确.
故答案为A.
【考点】考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
5．已知，则下列不等式成立的是（　　　　　）
A． B．
C． D．．
【答案】B
【解析】
因为,所以,又因为,
所以.
6．已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先将变形为，再代入不等式，，解这两个不等式，即可得与的比值关系，联立可求的取值范围
【详解】
解：因为，
所以，，
因为，
所以，即，解得，
将代入中，得，
即，得，
所以，
故选：A
【考点】考查不等式性质的应用
7．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小.
【详解】
由可得，利用完全平方可得
所以，
由可得，
，
，
综上，
故选：D
【考点】考查了做差法比较两个数的大小
8．如果不等式组的整数解有（）个，那么适合这个不等式组的整数、的有序数对共有（ ）个
A．17个 B．64个 C．81个 D．72个
【答案】D
【分析】先解不等式组求得的取值范围，根据整数解的情况，确定有序对的个数.
【详解】
由得，不妨设，故可取共种可能，可取共种可能，可以满足整数解有个，为.所以有序数对共有个，故选D.
填空题
9．如图，在矩形中，点E在上，点F在上，，则的面积的最小值是____________.
【答案】25
【分析】
设，分别表示出，，根据三角形面积公式结合基本不等式求得最小值.
【详解】
设，则，又，
则，
则，
则，当且仅当时等号成立，
此时，，，点F为的中点，满足条件；
故答案为：25
10．给出以下4个说法：①已知，是正实数，若，则；②若，则；③若，，则；④若，则．
其中正确的说法是（填序号）______．
【答案】①②
【分析】根据不等式的性质判断各个命题．
【详解】
，因为，所以，从而，即，
，所以，①正确；
若，则，②正确；
若，，例如，但，不成立，③错；
，只有时，才有，④错．
故答案为：①②
【考点】考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．在基本不等式中，如果，此不等式仍然成立，只是等号取不到．
解答题
11．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．
【答案】（1）“上位点”为，“下位点”为；（2）是，证明见解析；（3）4039.
【分析】
（1）根据题设中的定义可得结果；
（2）作差可得，，再根据定义可知结论成立；
（3）根据题意得对时恒成立，根据（2）的结论可知，当，时，满足条件，若，作差可知不成立，可得正整数的最小值为4039.
【详解】
（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点"坐标和一个“下位点”坐标分别为和；
（2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，
证明：∵点是点的“上位点”，∴
∵，，，均大于0，∴，∴
∴，
即，所以点是点的“上位点”，
同理可得，即，
所以点是点的“下位点”，
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”.
（3）根据题意得对时恒成立，
根据（2）的结论可知，当，时，满足条件，
若，由于，
则不成立，故正整数的最小值为4039。
12．若，,
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，.
【分析】
（1）根据的符号去绝对值可证不等式成立；
（2）根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立；
（3）在的两边同时乘以，得，在的两边同时乘以，得，所以.
【详解】
（1）因为，且，所以，所以.
（2）因为，所以．又因为 ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．
所以，
因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
所以，
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得.
（3）因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以.
所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式满足题意.
【考点】考查了利用不等式的性质证明不等式成立
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