苏教版（2019）高中数学必修第一册 3.1 不等式的性质【导学案解析版】

第3章 不等式
第01讲 不等式的性质
课程标准 重难点
1、能用不等式(组)表示实际问题的不等关系．2、初步学会作差法比较两实数的大小． 3、掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 1．掌握等式不等式的基本性质2．运用不等式的性质解决有关问题3．不等式的证明
一、等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么 .
(2)如果a＝b，b＝c，那么 .
(3)如果a＝b，那么a±c＝ .
(4)如果a＝b，那么ac＝
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝ .
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b a
2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c b＋c 可逆
4 可乘性 ac bc c的符号
ac bc
5 同向可加性 a＋c b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
【思考1】若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
【思考2】若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
一、b＝a a＝c b±c bc.
二、 < > > < > >
提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.
提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.
考法01 利用不等式的性质判断命题的真假
对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法.
（1）下列命题正确的是(　　)
A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b D．若＜，则a＜b
（2）（多选题）若<<0，下面四个不等式中一定成立的是（ ）
A.|a|>|b| B.ab3
【名师指点】判断所给的不等式是否成立时，首先要注意不等式成立的条件，在解选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
【跟踪训练】如果a，b，c满足cA．ab>ac　　　　　 　B．c(b－a)>0
C．cb2考法02 利用不等式的性质证明不等式
不等式性质作为证明不等式的重要依据，需要重点把握.
若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
【名师指点】利用不等式的性质证明不等式应注意的事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．　　
【跟踪训练】
已知a>b>0，c考法03 利用不等式的性质求参数范围
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
【跟踪训练】
1.（变条件）若本例条件变为－32.（变设问）若本例条件不变，求的取值范围．
题组A 基础过关练
1．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞cd B．a－b＞c－d
C．ab＋cd＞ad＋bc D．
5．若，则下列不等式中，不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
7．已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（ ）
A．ac+bd>ad+bc B．ac+bdC．ac>bd D．ac8．已知，给出下列命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题组B 能力提升练
1．若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题不正确的（ ）
A． B．
C． D．
3．能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为___________.
4．已知，则_______．（用“>”或“<”填空）
5．已知，则的取值范围是_________，的取值范围是________．
6．已知，，则的范围是_________，的范围是________．
7．判断下列各命题的真假，并说明理由.
（1）若a（2）若ac3b；
（3）若a>b，且k∈N*，则ak>bk；
（4）若a>b，b>c则a－b>b－c.
8．为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？
那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法.
题组C 培优拔尖练
1．某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（ ）
A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵 C．相同 D．不能确定
2．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．
5．已知，求证：.
6．(Ⅰ)试比较的大小；
(Ⅱ)试比较nn+1与(n+1)n(n∈N+)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.
第3章 不等式
第01讲 不等式的性质答案
课程标准 重难点
1、能用不等式(组)表示实际问题的不等关系．2、初步学会作差法比较两实数的大小． 3、掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 1．掌握等式不等式的基本性质2．运用不等式的性质解决有关问题3．不等式的证明
一、等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么 .
(2)如果a＝b，b＝c，那么 .
(3)如果a＝b，那么a±c＝ .
(4)如果a＝b，那么ac＝
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝ .
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b a
2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c b＋c 可逆
4 可乘性 ac bc c的符号
ac bc
5 同向可加性 a＋c b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
【思考1】若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
【思考2】若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
一、b＝a a＝c b±c bc.
二、 < > > < > >
提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.
提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.
考法01 利用不等式的性质判断命题的真假
对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法.
（1）下列命题正确的是(　　)
A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b D．若＜，则a＜b
【答案】D
【解析】A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.
（2）（多选题）若<<0，下面四个不等式中一定成立的是（ ）
A.|a|>|b| B.ab3
【答案】CD
【解析】由<<0可得b0，则a＋bb3，D正确.故选CD.
【名师指点】判断所给的不等式是否成立时，首先要注意不等式成立的条件，在解选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
【跟踪训练】如果a，b，c满足cA．ab>ac　　　　　 　B．c(b－a)>0
C．cb2【答案】C
【解析】由于ac<0，且c0，c<0，b的符号不确定，则不一定成立的不等式可能与b有关．不难发现，当C中的b为0时，不等式cb2考法02 利用不等式的性质证明不等式
不等式性质作为证明不等式的重要依据，需要重点把握.
若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
【证明】∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，得＜.
又e＜0，∴＞.
【名师指点】利用不等式的性质证明不等式应注意的事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．　　
【跟踪训练】
已知a>b>0，c【证明】因为c－d>0.所以0<－<－.
又因为a>b>0，所以－>－>0.
所以>，即－>－，
两边同乘－1，得<.
考法03 利用不等式的性质求参数范围
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
【解析】∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7【跟踪训练】
1.（变条件）若本例条件变为－3【解析】∵－3∴－6＋(－12)<2a＋3b<4＋(－9)，∴－18<2a＋3b<－5.
又∵－4∴0故2a＋3b的取值范围为－18<2a＋3b<－5，a－b的取值范围为02.（变设问）若本例条件不变，求的取值范围．
【解析】∵2故的取值范围是<<2.
题组A 基础过关练
1．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 故A错误;
故B错误;
故C错误;
故D正确.故选: D
2．实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A，若，则，故A错误；
B，若，则，故B错误；
C，若，则，
所以，故C正确；
D，若，则，故D错误.故选：C
3．已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A选项，由题意可知，A选项错误；
对于B选项，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，，，则，
所以，，
即，B选项正确；
对于C选项，，
所以，，C选项错误；
对于D选项，取，，则，D选项错误.故选：B.
4．已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞cd B．a－b＞c－d
C．ab＋cd＞ad＋bc D．
【答案】C
【解析】若,此时，，.A、B、D错误.
因为，所以，又因为，所以，C正确.故选C.
5．若，则下列不等式中，不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，
则，即，A成立；
，即，B不成立；
，C成立；，D成立；故选：B
6．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
【答案】A
【解析】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.故选：A
7．已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（ ）
A．ac+bd>ad+bc B．ac+bdC．ac>bd D．ac【答案】A
【解析】对于A、B：
a>b，c>d，
ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正确，B错误；
对于C：当b=0，c<0时，ac<0，bd=0，故C错误；
对于D：当a>b>0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；
故选：A.
8．已知，给出下列命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，若，取，则，①错误；
对于②，因为，，所以，
，②正确；
对于③，因为，所以，即有，③正确；
对于④，若，取，则，④错误．
所以真命题的个数是2．故选：B．
题组B 能力提升练
1．若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于，
，所以，所以，所以，故选项一定不成立；
对于，不妨取，，则，故选项可能成立；
对于，不妨取，，则，故选项可能成立；
对于，，故，故选项一定不成立；故选：．
2．下列命题不正确的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】A：且，因此，
即，故本命题不正确；
B：因为，显然不成立，所以本命题不正确；
C：由，而，
所以有，而，故本命题正确；
D：若，显然成立，但是不成立，故本命题不正确，
故选：ABD
3．能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为___________.
【答案】1，1（答案不唯一）
【解析】若是假命题，则，
又，，都是正数，，
，，
故当时，是假命题，故答案为：1，1（答案不唯一）．
4．已知，则_______．（用“>”或“<”填空）
【答案】>
【解析】因为,
又，，所以，所以，故答案为：>.
5．已知，则的取值范围是_________，的取值范围是________．
【答案】
【解析】，即，，，
又，，；
又，，又，.
综上所述：的取值范围为；的取值范围为.
故答案为：；.
6．已知，，则的范围是_________，的范围是________．
【答案】
【解析】，，两个不等式相加可得，解得，
设，
所以，，解得，，
因为，，
由不等式的基本性质可得.
故答案为：；.
7．判断下列各命题的真假，并说明理由.
（1）若a（2）若ac3b；
（3）若a>b，且k∈N*，则ak>bk；
（4）若a>b，b>c则a－b>b－c.
【解析】(1)∵a0，∴不一定成立，∴推不出，∴(1)是假命题.
(2)当c>0时，c3>0，又ac3(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴(3)是假命题.
(4)当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝28．为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？
那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法.
【解析】如果买27张票要花27×5=135(元)，
如果买30张票要花30×(5-1)=120(元)，
通过比较，135>120，所以27人买30张票不是浪费，反而还节省15元呢.
题组C 培优拔尖练
1．某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（ ）
A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵 C．相同 D．不能确定
【答案】A
【解析】设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元，
由题意可得：（*），
令，
则，解得：，
，
由（*）得,,
,
，因此．所以2枝红玫瑰的价格高．故选：A.
2．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，利用完全平方可得
所以，由可得，
，，
综上，故选：D
3．设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】选项A，要证，只需证即可.
由题意可知，则成立，则成立.
要证，只需证
由题意可知，则，
又因为，所以，则，即成立
故选项A成立，不符合题意.
选项B，要证，只需证即可.
由题意可知，则，成立.
所以成立，即.
要证，只需证，只需证
由题意可知，则，，，.
所以成立，即成立.
故选项B成立，不符合题意.
选项C，要证，只需证即可.
由题意可知则.
又因为，所以.
所以成立，即.
要证，只需证即可
由题意可知则.
又因为，所以.
所以成立，即成立.
故选项C成立，不符合题意.
选项D，令，，则
即，所以不成立，符合题意.故选：D
4．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．
【解析】（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点"坐标和一个“下位点”坐标分别为和；
（2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，
证明：∵点是点的“上位点”，∴
∵，，，均大于0，∴，∴
∴，
即，所以点是点的“上位点”，
同理可得，即，
所以点是点的“下位点”，
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”.
（3）根据题意得对时恒成立，
根据（2）的结论可知，当，时，满足条件，
若，由于，
则不成立，故正整数的最小值为4039。
5．已知，求证：.
【解析】∵，∴，
则
6．(Ⅰ)试比较的大小；
(Ⅱ)试比较nn+1与(n+1)n(n∈N+)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.
【解析】 (Ⅰ)由于，，则；
又，，则；
所以.
(Ⅱ)当n=1,2时，有nn+1<(n+1)n.
当n≥3时，有nn+1>(n+1)n. 证明如下：
令，.
又.
∴an+1>an即数列{an}是一个单调递增数列.
则an>an-1>…>a3>1
∴即nn+1>(n+1)n.
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