第3章 综合拔高练
各地模拟题目全练
1.若正数m,n满足2m+n=1,则的最小值为( )
A.3+2 B.3+ C.2+2 D.3
2.已知不等式(x+my)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数m的最小值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3已知对任意的x∈[1,3],不等式x2-kx+4≥0恒成立,则实数k的最大值为 .
4.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|35.已知实数x,y满足y>,且6xy-9x+2y-4=0,则3x+y的最小值是 .
6.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为4 800 m3,深度为3 m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为 m.
7.设x,y为正实数,且=1,则xy的最小值为 .
8.已知正实数a,b满足a+2b=1,则的最小值为 .
9.设y=3ax2+2bx+c(a,b,c∈R),且a+b+c=0,(3a+2b+c)·c>0.
求证:(1)方程3ax2+2bx+c=0有实根;
(2)若-2<<-1,且x1,x2是方程3ax2+2bx+c=0的两个实根,则≤|x1-x2|<.
答案全解全析
第3章 综合拔高练
各地模拟题目全练
1.A 因为2m+n=1,m>0,n>0,
所以·(2m+n)=3+≥3+2,
当且仅当,即m=1--1时,等号成立,所以的最小值为3+2,故选A.
2.B ∵x,y,m均为正实数,
∴(x+my)≥1+m+2,
当且仅当x=y时,等号成立.
依题意得1+m+2≥9,
即(+4)≥0,
解得≥2(≤-4舍去),
∴m≥4,∴m的最小值为4,故选B.
3.答案 4
解析 ∵x2-kx+4≥0对任意的x∈[1,3]恒成立,
∴kx≤x2+4,即k≤x+对任意的x∈[1,3]恒成立,
∵x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,
∴k≤4,故k的最大值为4.
4.答案 4
解析 由不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3∴
∴
=-24a+≥2,
当且仅当-24a=-,
即a=-时,等号成立.
5.答案
解析 ∵6xy-9x+2y-4=0,
∴(3x+1),
∴(3x+1)+≥,
当且仅当x=时,等号成立,
故3x+y≥,
故3x+y的最小值是.
6.答案 160
解析 设总造价为y元,水池底部一边长为x m,则其邻边长为 m.
由题意得,y=1 600×150+120×2×
=240 000+720×≥240 000+720×2=297 600,
当且仅当x=,即x=40时,等号成立,此时水池底部的周长为2×=160(m).
7.答案 27
解析 由=1,得4(2+y)+3(1+x)=(1+x)(2+y),
即xy=x+3y+9≥2+9(当且仅当x=3y时,等号成立),
即xy-9≥2,两边平方并整理,
得(xy)2-30xy+81≥0,
解得xy≤3或xy≥27,
由xy≥2+9,知xy≤3不成立,
所以xy≥27,
所以xy的最小值为27.
8.答案 18
解析 令x=(x>0,y>0),
则a=,
∵a+2b=1,∴=1,∴2x+y=xy,
∴原式=(1+x)(2+y)=2+2x+y+xy=2+2x+y+(2x+y)
=4x+2y+2=(4x+2y)+2
=4+4++2≥8+2+2=16+2=18,
当且仅当,即y=2x,即a=2b时,等号成立,
故的最小值为18.
9.证明 (1) 若a=0,则由a+b+c=0,得b=-c,此时(3a+2b+c)·c=-c2≤0,与已知矛盾,故a≠0.
∴b=-(a+c).
∴Δ=4b2-4×3ac=4(b2-3ac)=4.
∵(3a+2b+c)·c>0,
∴c≠0,
∴Δ=4>0,
故方程3ax2+2bx+c=0有实根.
(2)由根与系数的关系得x1+x2=-.
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=
=
=
=.
∵-2<<-1,
∴≤(x1-x2)2<,
∴≤|x1-x2|<.
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高考真题全练：
考点1 不等式的解法
已知集合A={x|x2-x-2>0},则 RA=( )
A.{x|-1C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
2.设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 .深度解析
考点2 基本不等式及其应用
3.设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为 .
4.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 .
考点3 不等式的实际应用
5.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .
6.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
7.已知x、y、z为正实数,则的最大值为( )
A.1 B.2
C. D.
答案全解全析
第3章 综合拔高练
高考真题全练：
1.B 因为A={x|x2-x-2>0}={x|x>2或x<-1},所以 RA={x|-1≤x≤2}.
2.答案
解析 3x2+x-2<0 (x+1)(3x-2)<0,所以-1方法总结 求解一元二次不等式时,常借助二次函数的图象,首先确定图象与x轴的交点,然后由图象位于x轴上方或下方的部分确定不等式的解集.
3.答案 4
解析 ∵x+2y=5,x>0,y>0,
∴≥2,当且仅当即或时,原式取得最小值4.
4.答案 4
解析 由题意得a2>0,b2>0,ab>0,所以≥≥2=4,当且仅当a2=2b2且4ab=,即a2=时,等号成立.故的最小值为4.
5.答案 ①130 ②15
解析 ①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130(元).
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)80%≥m×70%,
所以x≤,而m≥120,
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而=15,则x≤15.
所以x的最大值为15.
6.答案 30
解析 设总费用为y万元,则y=≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时,等号成立.
7.C ∵x、y、z为正实数,∴x2+y2≥xy>0当且仅当x=y时,等号成立,
y2+z2≥yz>0当且仅当z=y时,等号成立,因此x2+y2+z2≥(xy+yz)>0,即≤,当且仅当x=z=y时,等号成立,故选C.
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