苏教版（2019）高中数学必修第一册 第3章 不等式 【复习提升训练】（含答案）

本章复习提升
易混易错练习：
易错点1　多次利用不等式的性质,导致所求代数式范围扩大
1.已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,求9a-c的取值范围.
2.已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.易错
易错点2　忽略基本不等式等号成立的一致性
3.(多选）下列各式的最小值为2的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a+b(ab=1) B.(ab=1)
C.a2-2a+3 D.
4.已知m>0,n>0,则当81m2+n2+取得最小值时,m-n的值为　　　　.
5.已知正实数a,b满足a+b=1,求的最小值.
易错点3　忽略二次项系数的符号
6.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m7一元二次不等式-x2+5x-4>0的解集为　　　　.
8.若关于x的不等式ax2-6x+a2>0的解集为{x|1易错点4　在分式不等式中忽略分母不等于0
9.不等式≥1的解集是(　　)
A. B.
C. D.{x|x<2}
10.不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|x≥-1} B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x≥-1且x≠1} D.{x|x≤-1或x≥1}
11.解不等式:≤0(a∈R).易错
掌握重要思想：
函数与方程思想
1.若不等式<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1C.m<1或m>2 D.R
2.已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为,则-cx2+2x-a>0的解集为　　　　　.
二、分类讨论思想
3.解关于x的不等式21x2+4ax-a2<0.
4.解关于x的不等式ax2-x>0(a≠0).
数形结合思想
5.当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是　　　　　　.
6.已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1
(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3
(3)方程的两个根都大于0
7.已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
转化与化归思想
8.已知 x<9.已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2-2ax+1>0;命题q: x∈R,x2+(a-1)x+1<0.
(1)若p是真命题,求a的取值范围;
(2)若p,q一真一假,求a的取值范围.
答案全解全析
本章复习提升
易混易错练习：
1.解析　令得
∴9a-c=x.
∵-4≤x≤-1,∴≤-x≤①.
∵-1≤y≤5,∴-≤y≤②.
①和②相加,得-1≤x≤20,
即-1≤9a-c≤20.
2.解析　令4a-2b=λ(a-b)+μ(a+b)(λ,μ∈R),则4a-2b=(λ+μ)a+(μ-λ)b,
所以解得
故4a-2b=3(a-b)+(a+b),
因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.
又2≤a+b≤4,所以5≤4a-2b≤10,
所以4a-2b的取值范围是[5,10].
易错警示　利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围.
3.BC　对于选项A,当a,b均为负值时,a+b<0,故最小值不为2;
对于选项B,因为ab=1,所以a,b同号,所以>0,所以≥2=2,当且仅当,即a=b=±1时,等号成立,故最小值为2;
对于选项C,a2-2a+3=(a-1)2+2,当a=1时,取最小值2;
对于选项D,≥2=2,
当且仅当,即a2+2=1时,取等号,但等号显然不成立,
故最小值不为2.故选BC.
4.答案　-4
解析　依题意知81m2+n2+≥18mn+≥81,当且仅当即时等号成立,则当81m2+n2+取得最小值时,m-n=-4.
5.解析　由题意得,+4=(1-2ab)·+4,
由a+b=1,得ab≤当且仅当a=b=时,等号成立,
所以1-2ab≥1-,且≥16,
所以≥,
所以的最小值为.
6.B　原不等式可化为(x-m)(x+n)<0.
由m+n>0知m>-n,
所以原不等式的解集为{x|-n故选B.
7.答案　{x|1解析　原不等式等价于x2-5x+4<0,
因为方程x2-5x+4=0的根为x1=1,x2=4,
所以原不等式的解集为{x|1方法总结　解一元二次不等式时要先把二次项系数化为正数.
8.答案　-3;-3
解析　由题意知,1,m是方程ax2-6x+a2=0的两个根,且a<0,
∴解得或
又a<0,∴
9.B　由≥1可得-1≥0,
所以≥0,即≤0,
所以
解得≤x<2.故选B.
10.C　因为(x-1)2≥0,所以原不等式等价于
解得x≥-1且x≠1.故选C.
11.解析　≤0 ax(x+1)≤0且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≤0且x+1≠0 -1此时原不等式的解集为{x|-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≥0且x+1≠0 x<-1或x≥0,
此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1易错提醒：　把含等号的分式不等式化为整式不等式时,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.
掌握重要思想：
1.A　因为4x2+6x+3=>0对一切x∈R恒成立,所以原不等式等价于2x2+2mx+m<4x2+6x+3,所以2x2+(6-2m)x+3-m>0对一切实数x恒成立,所以Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得12.答案　{x|-2解析　由ax2+2x+c>0的解集为,知a<0,且-是方程ax2+2x+c=0的两个根.
由根与系数的关系,得解得代入-cx2+2x-a>0并整理,得x2-x-6<0,解得-20的解集为{x|-23.解析　原不等式等价于<0.
①当a>0时,,原不等式的解集为;
②当a<0时,,原不等式的解集为;
③当a=0时,原不等式的解集为 .
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为;当a<0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为 .
4.解析　∵a≠0,∴关于x的方程ax2-x=0的两个根为x1=0,x2=.
当a>0时,>0,此时不等式的解集为;
当a<0时,<0,此时不等式的解集为.
综上,当a>0时,原不等式的解集为;当a<0时,原不等式的解集为.
5.答案　
解析　由题意知Δ=a2+8>0,且-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图象,如图所示.
由图象知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5内有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-.
6.解析　(1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图1)知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.
因此a的取值范围是{a|a<1}.
图1
(2)已知方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图2)知,x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,
即解得-3图2
(3)已知方程的两个根都大于0,结合二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图3)知,Δ≥0,图象的对称轴在y轴右侧,且当x=0时,函数值为正,
即解得0因此a的取值范围是{a|0图3
7.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4综上,实数m的取值范围是{m|-4(2)①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立;
②当m>0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向上,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则只需x=1,x=3时的函数值均为负即可,
即
解得m<,此时0③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,且对称轴为直线x=,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则结合函数的大致图象知,只需x=1时的函数值为负即可,此时m∈R,所以m<0符合题意.
综上所述,实数m的取值范围是.
8.解析　∵x<,∴5-4x>0,∴4x-2++3≤-2+3=1,
当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,
故当x=1时,4x-2+取得最大值1.依题意得11}.
9.解析　(1)当1≤x≤2时,x2-2ax+1>0 2ax又x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,
故x+的最小值为2.
依题意得2a<2,即a<1.
因此,a的取值范围是{a|a<1}.
(2)假设q为真,可得Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.
由(1)知,当p为真时,a<1.
∵p,q一真一假,
∴当p真q假时,a的取值范围是-1≤a<1;
当p假q真时,a的取值范围是a>3.
综上,a的取值范围是{a|-1≤a<1或a>3}.
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