苏教版（2019）高中数学必修第一册 指数与对数练习(解析版)

第4章 指数与对数
教材知识梳理
指数
根式--------　n次方根，根式
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3.根式的性质------根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的n次方根等于0，记作＝0.
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4)＝a(n为大于1的奇数)．
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
4.指数幂的运算
对有理数指数幂的运算性质的三点说明：
(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：
①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
②幂的幂，底数不变，指数相乘；
③积的幂等于幂的积．
(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．
(3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
对数
1.对数的定义：
一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．如图所示：
2.对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
3.对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
4.对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
例题研究
一、由根式化简求值
题型探究
例题1
若，则实数a的取值范围是(　　)
A．a∈R B．a＝
C．a＞ D．a≤
例题2
下列说法正确的个数是（ ）
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义.
A．1 B．2 C．3 D．4
跟踪训练
训练1
若则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
训练2
若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、根式与分数指数幂的互化
题型探究
例题1
化简的结果为（ ）
A．5 B． C． D．
例题2
化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练
训练1
根式（式中）的分数指数幂形式为（ ）
A． B． C． D．
训练2
设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
指数式与对数式的互化
题型探究
例题1
logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是（ ）
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
例题2
把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数．现有℃的物体，放在℃的空气中冷却，分钟以后物体的温度是℃，则约等于（参考数据：）（ ）
A． B．
C． D．
跟踪训练
训练1
下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
训练2
指数式 x3=15的对数形式为:
A．log 3 15=x B．log 15 x=3
C．log x 3= 15 D．log x 15= 3
四、对数的概念判断与求值
题型探究
例题1
下列指数式与对数式的互化不正确的一组是
A．100=1与lg1=0 B．与
C．log39=2与32=9 D．log55=1与51=5
例题2
下列语句正确的是
①对数式logaN=b与指数式ab=N是同一关系的两种不同表示方法．
②若ab=N（a>0且a≠1，N>0），则一定成立．
③对数的底数可以为任意正实数．
④logaab=b对一切a>0且a≠1恒成立．
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
跟踪训练
训练1
下列函数是对数函数的是
A． B．
C． D．
训练2
有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
综合式测试
一、单选题
1．正实数，满足，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，则
A． B．
C． D．
3．计算log916·log881的值为（ ）
A．18 B． C． D．
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．2
6．某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知，）.（ ）
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
7．已知某抽气机每次可抽出容器内空气的，要使容器内的空气少于原来的，则至少要抽的次数是（参考数据：）
A． B． C． D．
8．函数，若，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
二、填空题
9．计算：=_____________.
10．若是方程的两个实根，则 的值为______．
11．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.
12．已知，则等于__________.
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）.
14．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）
（2）已知，试用表示.
15．已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为，记.
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）求的值.
第4章 指数与对数
教材知识梳理
指数
根式--------　n次方根，根式
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3.根式的性质------根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的n次方根等于0，记作＝0.
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4)＝a(n为大于1的奇数)．
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
4.指数幂的运算
对有理数指数幂的运算性质的三点说明：
(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：
①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
②幂的幂，底数不变，指数相乘；
③积的幂等于幂的积．
(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．
(3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
对数
1.对数的定义：
一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．如图所示：
2.对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
3.对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
4.对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
例题研究
一、由根式化简求值
题型探究
例题1
若，则实数a的取值范围是(　　)
A．a∈R B．a＝
C．a＞ D．a≤
【答案】D
【分析】由∵=，可得|1﹣2a|=1﹣2a，于是2a－1≤0，解出即可．
【详解】
左边＝，
所以|2a－1|＝1－2a，即2a－1≤0.
所以a≤.
故选D
【点睛】本考查根式的运算性质、绝对值的性质
例题2
下列说法正确的个数是（ ）
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据根式的概念和性质求解.
【详解】
①16的4次方根应是±2；②=2，
由根式的性质得③④.正确.
故选：B
【点睛】考查根式的概念和性质
跟踪训练
训练1
若则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将已知等式化简为，可得，从而求得结果.
【详解】
，解得：
即的取值范围为
故选
【点睛】本题考查根式的化简求值问题
训练2
若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
根据根式和指数幂的运算性质，因为，
可化为，即，
可得，所以，即．
故选：B.
【点睛】根据根式与指数幂的运算性质，化简得到，即可求解.
二、根式与分数指数幂的互化
题型探究
例题1
化简的结果为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】先看根式下的式子易得，再结合分数指数幂的意义，，可对中括号里面的式子进行化简；再根据指数幂的运算性质，将上式的结果化简，继而得到原式的值.
【详解】
解：，
故选：B.
【点睛】考查的是实数指数幂的化简运算，考生要掌握实数指数幂的运算性质以及分数指数幂的意义.
例题2
化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化根式为分数指数.
【详解】
由题意得.
故选:B.
【点睛】考查根式与分数指数的转化
跟踪训练
训练1
根式（式中）的分数指数幂形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由根式和分数指数幂的意义，先将根式中的部分化为分数指数幂，再化整体即可.
【详解】
解：.
故选：A.
【点睛】考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则，属基础题.
训练2
设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把根式化成指数幂的形式，再运用幂的运算法则可得出结果.
【详解】
解：.
故选：C.
【点睛】考查根式运算化成指数幂的形式
指数式与对数式的互化
题型探究
例题1
logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是（ ）
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
【答案】B
【分析】利用指数式与对数式的互化即可求解.
【详解】
由logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)，
则ba＝N
故选：B
【点睛】考查了指数式与对数式的互化
例题2
把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数．现有℃的物体，放在℃的空气中冷却，分钟以后物体的温度是℃，则约等于（参考数据：）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，由此能求出的值．
【详解】
由题知，℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，
，得.
故选:D
【点睛】考查指数与对数的运算
跟踪训练
训练1
下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化关系逐一判断即可.
【详解】
，故正确；
，故正确；
，，故不正确；
，故正确．
故选：C．
【点睛】考查了指数式与对数式的互化
训练2
指数式 x3=15的对数形式为:
A．log 3 15=x B．log 15 x=3
C．log x 3= 15 D．log x 15= 3
【答案】D
【分析】根据指数式与对数式关系判断求解.
【详解】因为指数式 x3=15的对数形式为log x 15= 3，所以选D.
【点睛】考查指数式与对数式相互关系，考查基本分析判断能力.
四、对数的概念判断与求值
题型探究
例题1
下列指数式与对数式的互化不正确的一组是
A．100=1与lg1=0 B．与
C．log39=2与32=9 D．log55=1与51=5
【答案】B
【分析】根据对数和指数的换算关系可判断A，C，再由对数的运算公式得到D是正确的,进而得到结果.
【详解】
100=1即lg 1=0，A正确；
对应的对数式应为．B 不正确
即，故C是正确的;
log55=1即51=5， D是正确的;
故选B．
【点睛】考查了对数与指数的关系，当a>0，且a≠1时，，对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即．
例题2
下列语句正确的是
①对数式logaN=b与指数式ab=N是同一关系的两种不同表示方法．
②若ab=N（a>0且a≠1，N>0），则一定成立．
③对数的底数可以为任意正实数．
④logaab=b对一切a>0且a≠1恒成立．
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据对数函数的概念以及对数的运算公式依次对选项进行判断即可得到答案.
【详解】
由对数概念及知①正确；若ab=N（a>0且a≠1，N>0），则logaN=b，，故②正确；由对数的性质知④正确．对数的底数不能为1，故③错误．
故选B．
【点睛】考查了对数的概念，以及对数的简单公式，对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
跟踪训练
训练1
下列函数是对数函数的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的基本形式为
【详解】由对数函数定义可以，本题选C．
【点睛】对对数函数的定义
训练2
有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①利用对数的概念即可判断；
②当底数是负数时不可以，比如：（﹣2）3；
③根据常用对数的概念即可判断；
④利用自然对数的定义即可判断．
【详解】
对于①，零和负数没有对数，正确；
对于②，任何一个指数式都可以化成对数式，错误，当底数是负数时不可以，
比如：（﹣2）3；
对于③，以10为底的对数叫做常用对数，正确；
对于④，以e为底的对数叫做自然对数，正确．
综上所述，正确命题的个数为3个，
故选C．
【点睛】考查命题的真假判断与应用，着重考查对数的概念
综合式测试
一、单选题
1．正实数，满足，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】两边取对数可得，利用基本不等式即可求出的取值范围.
【详解】
正实数，满足，
两边取对数可得，所以，
所以，即，
所以或，解得或，
所以的取值范围是．
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到积为定值.
2．已知，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，且幂函数在 上单调递增，所以b故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
3．计算log916·log881的值为（ ）
A．18 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出．
【详解】
原式＝．
故选：C．
【点睛】考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先转化对数式为指数式，求解，再转化，再利用中间值2，可比较的大小，即得解
【详解】
依题意，，故；而，故，
所以，
所以，
因为，，
所以
故选：A
【点睛】考查了指数式对数式大小的比较，数学运算能力，属于中档题
5．若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解.
【详解】
由题意
根据指数式与对数式的转化可得
由换底公式可得
由对数运算化简可得
故选:A
【点睛】考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.
6．某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知，）.（ ）
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
【答案】C
【分析】列出函数关系，设第n年获利y元，则，解不等式即可得解.
【详解】
设第n年获利y元，则，2019年即第1年，
，，
所以，
即从2025年开始这家加工厂年获利超过60万元.
故选：C
【点睛】考查函数模型的应用，涉及解指数不等式，转化为对数进行计算，利用换底公式计算化简.
7．已知某抽气机每次可抽出容器内空气的，要使容器内的空气少于原来的，则至少要抽的次数是（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出，将指数式化为对数式，解出的取值范围，即可得出结果.
【详解】
抽气机抽次后，容器内的空气为原来的，
由题意可得，
，
因此，至少要抽的次数是.
故选：B.
【点睛】考查指数模型的应用，同时也考查了指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
8．函数，若，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】设,由已知可得，又，计算与，相加即可求解.
【详解】
，
设，则．
因为，
所以，
则，
两式相加得，
则，即的值为．
故选：A
【点睛】考查了对数的运算，函数求值，换元法，属于中档题.
二、填空题
9．计算：=_____________.
【答案】10
【分析】由指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】
由指数幂与对数的运算公式，可得：
原式
【点睛】考查了指数幂与对数的运算及性质，着重考查运算与求解能力，属于基础题.
10．若是方程的两个实根，则 的值为______．
【答案】12
【分析】原方程可化为，设，则原方程可化为，利用换元法令，，再根据对数的运算法则，即可得答案；
【详解】
原方程可化为，设，则原方程可化为．
设方程的两根为，，则，．
由已知a，b是原方程的两个根．
可令，，则，，
．
故答案为：.
【点睛】考查对数方程的求解及对数运算法则求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
11．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.
【答案】
【分析】先利用已知求出的值，再求点D的坐标.
【详解】
由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.
因为点在函数的图像上，所以，.
因为点在函数的图像上，所以.
又因为，，
所以点的坐标为.
故答案为
【点睛】考查指数、对数和幂函数的图像和性质
12．已知，则等于__________.
【答案】2014
【分析】令，即可求出的值，代入函数式即可求出的值．
【详解】
令，则，
．
故答案为2014．
【点睛】考查利用赋值法进行函数求值，同时考查指数式与对数式的互化以及对数运算法则、换底公式推论的应用．
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用对数的运算法则化简求值；（2）利用指数幂的运算法则化简求值.
【详解】
（1）解：原式．
（2）解：原式
.
【点睛】考查对数和指数幂的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）
（2）已知，试用表示.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.
（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
【详解】
（1）设，写成指数式.
两边取以为底的对数，得.
因为，，，因此上式两边可除以，得.
所以，.
（2）.
【点睛】考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.
15．已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为，记.
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）求的值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）分和两种情况讨论，根据指数函数的单调性列出关于的方程，解出即可得出实数的值；
（2）由（1）得出，然后利用通分以及指数的运算律证明出；
（3）利用（2）中的结论，结合倒序相加法可求出所求代数式的值.
【详解】
（1）当时，函数在上单调递减，
则函数的最大值为，最小值为，
由题意得，即，解得或，均不合乎题意；
当时，函数在上单调递增，
则函数的最小值为，最大值为，
由题意得，即，解得或，合乎题意.
因此，；
（2）由（1）知，；
（3）由（2）知，，…，，
.
【点睛】考查利用指数函数的最值求参数，以及利用指数运算证明等式与求值，在涉及指数函数单调性相关的问题时，要注意对底数的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想与计算能力，属于中等题.
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