山东省泰安市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

泰安市2022-2023学年高二上学期期中考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．若与共线，则（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
3．已知圆M的方程为，则圆心M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．两条平行直线：与：间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
5．已知平面α的一个法向量为，点是平面α内一点，则点到平面α的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知圆M：内有点，则以点P的中点的圆M的弦所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知m，n为两条异面直线，在直线m上取点，E，在直线n上取点A，F，使，且（称为异面直线m，n的公垂线）．已知，，，，则异面直线m，n所成的角这（ ）
A． B． C． D．
8．若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，，则（ ）
A．直线与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于
C．的边BC上的高所在直线的方程为
D．的边BC上的中垂线所在直线的方程为
10．已知直线l：，圆C：，点，则（ ）
A．若M在圆上，直线l与圆C相切 B．若M在圆内，直线l与圆C相离
C．若M在圆外，直线l与圆C相离 D．若M在直线l上，直线l与圆C相切
11．如图，四棱柱的底面ABCD的正方形，O为底面中心，平面ABCD，．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．
B．平面
C．平面的一个法向量为
D．点B到直线的距离为
12．古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ）
A．直线l过定点
B．动点C的轨迹方程为
C．动点C到直线l的距离的最大值为
D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线：，：，若，则a的值是________．
14．写出过，两点，且半径为4的圆的一个标准方程：________．
15．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在中，，AD为边BC上的高，，．现将沿AD翻折到位置，使得四面体为一个鳖臑，则直线与平面ACD所成角的余弦值为________．
16．已知，，且，，，则________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线：，：，且．
（1）求k的值；
（2）若直线与的交点的直线上，求直线的方程．
18．（12分）
已知，，．
（1）求；
（2）求在上的投影向量．
19．（12分）
如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点．
（1）求的长；
（2）证明：．
20．（12分）
已知圆M：，圆N：，过圆M的圆心M作圆N的切线，切线长为5．
（1）求m的值，并判断圆M与圆N的位置关系；
（2）过圆N的圆心N作圆M的切线l，求l的方程．
21.（12分）
如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为O，，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱的三条侧棱均为圆柱的母线，且，点P在轴上运动．
（1）证明：不论P在何处，总有；
（2）当P为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值．
22．（12分）
已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知斜率为k的直线l与曲线C相交于异于原点O的两点E，F，直线OE，OF的斜率分别为，，且．若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值．
泰安市2022-2023学年高二上学期期中考试
数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C A C B D
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 BC ABD BCD ABD
13．4 14．（或）
15． 16．
四、解答题：
17．（10分）
解：（1）直线的斜率为，直线的斜率为k．
因为，
所以，所以．
（2）由，解得．
将点代入的方程得，解得，
所以直线的方程为．
18．（12分）
解：（1）因为，，
所以，，，
所以．
因为，
所以．
（2）因为，，
所以．
因为，
所以在上的投影向量为
．
19．（12分）
解：设，，，则，，，，
，
．
（1）因为
，
所以．
（2）证明：因为
，
所以．
20．（12分）
解：（1）由题意知，，，圆N的半径，
由勾股定理得，
即，
解得．
所以，，，．
因为，所以圆M与圆N相交，
（2）当l的斜率不存在时，l的方程为．
当l的斜率存在时，设l的方程为，即，
因为l与圆M相切，所以，解得，
所以l的方程为，即．
综上所述，l的方程为或，
21．（12分）
解：（1）证明：连接AO并延长，交BC于M，交圆柱侧面于N．
因为，，所以，所以，
所以，所以M为BC中点，所以．
又在圆柱中，，，
所以平面．
因为不论P在何处，总有平面，
所以．
（2）解：设，则．
在中，，则．
所以．
如图，建立空间直角坐标系，其中轴，y轴是的垂直平分线，
则，，，，
所以，，
，．
设平面的一个法向量为，则
，
取，得．
同理可得，平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与面夹角的余弦值为．
22．（12分）
解：（1）设，，
由中点坐标公式得．
因为点M的轨迹方程是，
所以，
整理得曲线C的方程为．
（2）设直线l的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以
，
所以，且即，
所以直线l的方程为，即直线l过定点．
因为为定值，且为直角三角形，BP为斜边，
所以当点Q是BP的中点时，的定值．
因为，，所以由中点坐标公式得．
所以存在定点使得的定值．