第四章 指数函数与对数函数 单元检测（含解析）

高一数学单元检测题
第四章《指数函数与对数函数》
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分)
1．若函数（，且）恒过定点P，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．设，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：
0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …
0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 …
那么方程的一个根位于下列区间 A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0）
6．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则
7．已知是奇函数，且当时，.若，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数f（x）＝的零点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)
9．对于函数定义域内的任意（），当时，下述结论中正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数在定义域上是减函数
B．函数有且只有两个零点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称
11．若函数（，）在区间上的最大值与最小值的差为，则实数的值为（ ）．
A． B． C． D．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①，②，③，④.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是____.（只要填序号）
14．函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.
15．若，，则________.
16．已知函数，，则________．
四、解答题(本题共6个小题，共70分)
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
18．已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求的解析式；
（2），求实数x的值；
19．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1).
（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性；
（2）如果f(x)20．已知函数，，设.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求x的范围.
21．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）有两个不等实根时，求的取值范围.
22．通过市场调查，得到某种纪念章每1枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下表：
上市时间x/天 4 10 36
市场价y/元 90 51 90
（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系：
①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
（3）设你选取的函数为f(x)，若对任意实数k，方程f(x)＝kx＋2m＋120恒有两个相异的实根，求m的取值范围．
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第四章《指数函数与对数函数》
参考答案：
1．C【详解】当时，，所以函数（，且）恒过定点
2．C【详解】因为，所以函数在区间[1，3]上为增函数，
因为函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，
所以，解得，
3．D【详解】因，则，
函数在上单调递增，，于是有，即，
函数在R上单调递增，，则，即，
所以的大小关系是.
4．B【详解】对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；
对于B，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是正确的，所以B正确；
对于D，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是增函数，所以D错误，
5．C【详解】构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C
点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
6．B【详解】图象可知，函数过点，
，函数解析式为，
浮萍每月的增长率为，故选项A正确，
函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，
当时，，故选项C正确，
对于D选项，，，，，
又，，故选项D正确，
7．B【详解】是奇函数，且当时，．若，
，则，得，
得，即，得，得，
8．C【详解】对于函数的零点个数
转化为方程的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图．
由图象可得两个函数有两个交点．
又一次函数的根的个数是：1．
故函数的零点个数为3
9．CD【详解】A选项，函数的定义域为，故无意义，错，
B选项，，，而，错，
C选项，，对，
D选项，在单调递增，则，对，
10．CD【详解】对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误；
对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；
对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.
11．CD【详解】当时，在上单调递增，
此时，解得：，
当时，在上单调递减，
此时，解得：，
所以则实数的值为或，
12．BC【详解】根据题意知，.
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，，
，，D错误.
13．④【详解】由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④，
故答案为：④
14．27【详解】由题意，，则，定点A为(2,8)，
设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f（3）＝33＝27.
故答案为：27
15．1【详解】由可得，
又，
所以.
故答案为：.
16．【详解】因为，
，且，则.
17．解：
(1) ；
(2).
18．【详解】（1）由已知得，，，（且）
解得，；
故；
（2），即或3，
∴或3，
∴或16.
19.【详解】（1）当a>1时，f (x)=ax是R上的增函数，
由于0<<1，所以g(x)=是R上的减函数；
当0由于>1，所以g(x)=是R上的增函数；
（2），
当a>1时，x<0；当00.
∴当a>1时，x的取值范围是；
当020．【详解】（1）根据题意，函数，，
可得，
则有，解可得，即函数的定义域为；
（2）由（1）知，函数，
其定义域为，关于原点对称，
又由，
即，所以函数为定义域上的奇函数.
（3）由，即，
则满足且，解可得，
所以x的取值范围为.
21．【详解】（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2)
又因为A点在上，则：
（2）由题意知：
而在定义域上单调递增，知
，即
∴不等式的解集为
（3）由知：，方程有两个不等实根
若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示
由图像可知：，故b的取值范围为
22．【详解】（1）∵随着时间x的增加，y的值先减少后增加，而在所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，
∴y＝ax2＋bx＋c最合适．
（2）把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入方程，得
解方程组，得
∴y＝x2－10x＋126＝ (x－20)2＋26.
∴当x＝20时，y有最小值，ymin＝26.
故该纪念章市场价最低时的上市天数为20，最低价格为26元．
(3)由（2）知f(x)＝x2－10x＋126，
∵f(x)＝kx＋2m＋120恒有两个相异的实根，
则x2－(k＋10)x＋6－2m＝0恒有两个相异的实根，
∴Δ＝[－(k＋10)]2－4×(6－2m)>0恒成立，
即2m>－(k＋10)2＋6对任意k∈R恒成立，而－(k＋10)2＋6≤6，
∴只需2m>6，即m>3.
故m的取值范围为(3，＋∞)．