第四章指数函数与对数函数 单元测试（含解析）

钱东中学 第四章 指数函数与对数函数单元测试
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共40分)
1．已知函数,则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
3．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基在年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大满足公式：，其中分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度．己知某实验用的单级火箭模型结构质量为 ，若添加推进剂，火箭的最大速度为，若添加推进剂，则火箭的最大速度约为（参考数据：)（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(共20分)
9．下列选项不正确的是（ ）
A．49的平方根为7； B．；
C．； D．．
10．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为3
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则
11．下列函数既是奇函数，又在定义域内单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
评卷人得分
三、填空题(共0分)
13．函数零点是__________．
14．已知，那么用a表示为__________.
15．已知，则_______.
16．函数（且）恒过定点______．
评卷人得分
四、解答题(共0分)
17．化简下列式子并求值:
(1);
(2).
18．已知函数.
（1）若函数定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若，求函数的值域.
19．根据市场需求，某畜牧公司开辟了一个新的牧场用来养羊．已知牧场中羊群的最大蓄养量为10000头，为了保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适量的空闲量．已知羊群的年增长量只和实际蓄养量只与空闲率（空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值）的乘积成正比，比例系数为．若该牧场第一年的实际蓄养量为5000只，且当年羊群增长了500只．
(1)求关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使羊群年增长量最大，该牧场实际蓄养量为多少比较合适，羊群年增长量最大为多少．
20．已知函数是上的偶函数，且当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)求方程的根.
21．已知函数.
(1)若的两个零点为，，求实数，的值；
(2)求关于的不等式的解集.
22．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求b的值；
(2)判断在定义域R上单调性并证明
(3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围.
参考答案：
1．A
【分析】当取值范围不同，要用不同段的解析式来求函数值，先计算出，从而计算出的值.
【详解】，
故.
故选：A.
2．D
【分析】结合指数函数、对数函数的性质确定正确答案.
【详解】，
在上递增，所以，即.
在上递减，所以，
所以.
故选：D
3．D
【分析】结合函数的定义域、对应关系、值域等知识求得正确答案.
【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数.
B选项，对于，有，的定义域为.
对于， 有，解得或，的定义域为或，
所以不是同一函数.
C选项，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数.
D选项，，两个函数定义域、对应关系、值域均相同，是同一函数.
故选：D
4．A
【分析】利用二分法的定义，验证各选项端点即可.
【详解】因为，，且单调递增，
即当时，，
所以零点在内，
故选：A
5．B
【分析】根据根号下大于等于0，分母不为0以及对数的真数大于0，列出不等式组，解出即可.
【详解】由题意可得，，
解可得，，
即函数的定义域为．
故选：B．
6．C
【分析】选确定函数的奇偶性，排除两个选项，然后再利用特殊的函数值的正负排除一个选项，得正确结论．
【详解】，
则为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
当时，，
当时，，故排除A，
故选：C．
7．C
【分析】由题目条件求出公式中的，再把题中信息代入公式即可得到答案.
【详解】由题目条件知，则.
所以.
故选：C.
8．A
【分析】结合指对互化求出，再由对数运算性质可求.
【详解】由得，所以.
故选：A
9．ACD
【分析】根据平方根与算数平方根、绝对值、指数的基本运算，即可判断正误.
【详解】解：对于A，49的平方根为，A选项错误；
对于B，，B选项正确；
对于C，，只有，C选项错误；
对于D，，D选项错误；
故选：ACD.
10．CD
【分析】先根据图象，代入点，求出函数解析式，进而求出前3个月的浮萍面积，判断出AB选项，
计算出第4个月的浮萍面积，判断出C正确；
解出，从而得到，D正确.
【详解】由图可知，函数过点，将其代入解析式，，
故，
A选项，取前3个月的浮萍面积，分别为3，9，27，
故增长率逐月增大，A错误；
从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B错误；
第4个月的浮萍面积为81，超过了80，C正确；
令，，，
解得：，
，D正确.
故选：CD
11．AC
【分析】根据奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可判断和选择.
【详解】对A：定义域为，且，故为奇函数；
又是上的单调增函数，故A满足题意；
对B：定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，B不满足题意；
对C：的定义域为，且，故为奇函数；
又都是上的单调增函数，故是上的单调增函数，C满足题意；
对D：的定义域为，其在定义域上不是单调增函数，故D不满足题意.
故选：AC.
12．BD
【分析】根据对数的运算性质、对数的运算法则，换底公式逐项判断即可得解.
【详解】对A，，，故A错误；
对B，由对数的运算性质可知，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，由换底公式可知，，故D正确.
故选：BD
13．
【分析】令，求解即可.
【详解】令，得，解得或.
故答案为：
14．##-2+a
【分析】由对数的运算求解即可.
【详解】解：
故答案为：
15．14
【分析】将展开即可得到结果.
【详解】因为，，则，
所以，.
故答案为：14.
16．
【分析】根据可确定函数所过定点坐标.
【详解】解：若且，则有
于是，所以函数（且）恒过定点.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】(1)将式子用对数运算公式等展开合并化简即可求值;
(2)将式子用分数指数幂运算公式等,进行化简求值即可.
【详解】（1）解:原式为
;
（2）原式为
.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）根据对数函数的性质，若的定义域为R，则恒成立，即可求实数a的取值范围
（2）当a＝1时，利用复合函数单调性和值域的关系即可求的值域．
【详解】解：（1）若的定义域为R，
则恒成立，
若a＝0，则不等式等价为3＞0，满足条件．
若a≠0，则不等式满足，
即，解得，
综上．
（2）当a＝1时，，
设，则，
∴，
故的值域为．
19．(1)，定义域为
(2)该牧场实际蓄养量为5000只时，羊群年增长量最大，年增长量最大为500只
【分析】（1）根据题意得到函数表达式，将已知条件代入，求得的值，然后根据实际意义的到定义域；
（2）利用二次函数的性质得到答案.
(1)
解：由题意可得，
又当，，
∴，解得，
∴，定义域为．
(2)
解：由，可得当时，取得最大值为500，
∴羊群年增长量的最大值500．
∴该牧场实际蓄养量为5000只时，羊群年增长量最大，年增长量为500只.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，再利用函数为偶函数求解.
（2）分，，利用指数方程的解法求解.
【详解】（1）设，则，
所以，
因为函数为偶函数，
所以，
所以函数的解析式为.
（2）当时，，
；
当时，.
，
所以方程的解集为.
21．(1)
(2)时，解集为；时，解集为；时，解集为.
【分析】（1）根据根与系数的关系确定实数，的值；
（2）根据一元二次不等式对应方程的两个根的大小分类讨论，求得不等式的解集.
【详解】（1）因为的两个零点，，
则有，
解得：或（舍去）；
（2）由已知：，
当时，分解因式，
当时，，不等式的解为；
当时，，不等式的解为；
当时，不等式的解为.
综上可得：时，解集为；时，解集为；时，解集为.
22．(1)
(2)是上的减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据为R上的奇函数，列等式，从而确定参数b的值；
（2）运用定义法判断函数的单调性即可得出结果；
（3）根据（2）中得出的单调性化简不等式，再运用分离变量法求解参数的值.
【详解】（1）为上的奇函数，.
时，，此时
所以为奇函数时，b的值为1.
（2）是上的减函数.
证明：任取，且
，，
又 ，故
所以是上的减函数.
（3），不等式恒成立，
在R上恒成立，又为奇函数，
为减函数
在R上恒成立
即 在R上恒成立，而.
所以k的取值范围为.