第一章集合与函数的概念 综合复习讲义（含答案）

第四课 第一章综合复习
【知识点梳理】
一、集合
1、集合有关概念
（1）集合的含义
（2）集合中元素有哪三个特性：元素的 、元素的 、元素的
集合的表示方法：列举法、描述法、图象法（韦恩图、数轴等）
常用数集：
非负整数集（即自然数集） 正整数集 或
整数集 有理数集 实数集
（4）集合的分类：有限集 无限集
2、集合间的基本关系
（1）“包含”关系—子集
有两种可能 ：是的一部分 ：与是同一集合．
①任何一个集合是它本身的子集．
②真子集：如果且 ，那就说集合是集合的真子集，记作AB．
③如果，那么 ．
④如果且那么 ．
（2）如何判断两集合相等？（两集合的元素相同）
（3）不含任何元素的集合叫做空集，记为
规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．
有个元素的集合，含有个子集，个真子集．
3、集合间的运算
▲
二、函数的有关概念
1、函数的概念
2、定义域：能使函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域（或题意直接给出）．
求函数的定义域有哪些常见类型？
（1）分式的分母 ；
（2）偶次方根的被开方数 ；
（3）对数式的真数必须 ；
（4）指数、对数式的底必须 且 ；
（5）零次幂的指数不可以 ；
（6）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的的值组成的集合；
（7）已知的定义域为，求的定义域，只需；已知的定义域，则的定义域为的值域；
（8）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
3、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域．
（2）求函数的解析式的方法
①待定系数法②换元法③消元法（方程组法）④赋值法
三、函数的性质
1、函数的单调性
（1）增函数与减函数的定义（可用于判断函数的单调性）
（2）图象的特点
如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是 的，减函数的图象从左到右是 的．
（3）函数单调区间与单调性的判定方法
（A）定义法
①任取，且；
②作差；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差的正负）；
⑤下结论（指出函数在给定的区间上的单调性）．
（B）观察图象法(从图象上看升降)
（C）复合函数的单调性：“同增异减”
（D）利用函数的运算性质（在公共定义域内）
增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．
2、函数的最值（值域）
①图象法②单调性法③反函数法④配方法⑤判别式法⑥换元法（⑦不等式法⑧数形结合法）
3、函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有 ，那么就叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有 ，那么就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．特别地，如果奇函数的定义域包含有0，则 ．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
②确定与的关系；
③作出相应结论：若或，则是偶函数；若或，则是奇函数．
【典型例题】
题型一 集合的基本关系与运算
例题1：已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
例题2：已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝．求p，q的值．
变式1：已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
（1）A∩B＝；（2）A (A∩B)．
题型二 函数的定义域、值域
例题3：函数y＝＋的定义域为（　　）
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
例题4：画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
（2）若x1（3）求函数f(x)的值域．
题型三 函数的表达式、分段函数
例题5：如果f()＝，则当x≠0,1时，f(x)等于（　　）
A． B． C． D．－1
例题6：已知f(x)＝，
（1）画出f(x)的图象；
（2）求f(x)的定义域和值域．
题型四 函数的单调性、奇偶性
例题7：已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
例题8：判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝3，x∈R；
（2）f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
（3）f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
（4）f(x)＝
变式2：已知函数f(x)＝x2－2x＋2．
（1）求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
（2）若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
变式3：已知函数f(x)＝1－．
（1）若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
（2）试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
高中数学必修一第一章阶段检测
一：选择题（每小题5分，共50分）
1．已知集合则（ ）
A． B． C． D．
2．设全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
3．设：→是集合到集合的映射，若，，则=（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数为偶函数，则=（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象是（ ）
8．若奇函数在区间上是增函数且最小值为，则在区间上是（ ）
A．增函数且最大值为 B．增函数且最小值为
C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为
9．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中轴表示离学校的距离，轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是（ ）
10．若二次函数在区间上为减函数，那么（ ）
A． B． C． D．
二：填空题（每小题5分，共20分）
11．若集合满足，则集合的个数为_____________．
12．已知函数，若，则=_____________．
13．已知函数，若，则_____________．
14．函数在区间上具有单调性，则的取值范围为_____________．
三：解答题（本大题共6小题，满分80分）
15．(本小题满分12分) 设集合，， ．
（1）求；
（2）求；
（3）若，求实数的取值范围．
16．(本小题满分12分) 已知二次函数满足：，且．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
17．(本小题满分14分)已知函数，且，．
（1）求、的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）判断在上的单调性并加以证明．
18．(本小题满分14分)已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求及的值；
（2）求的解析式并画出简图；
（3）写出的单调区间（不用证明）．
19．(本小题满分14分)某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？并求出最大利润．
20．(本小题满分14分)已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）解关于的方程；
（3）当时，在上的最小值为，求的值．
参考答案：
【典型例题】
题型一 集合的基本关系与运算
例题1：已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
【解析】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B A．
①若B＝，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B A；
②若B≠ ，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B A，得，解得2≤m≤3．
由①②得m≤3．
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
例题2：已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝．求p，q的值．
【解析】由A∩C＝A，A∩B＝，可得：A＝{1,3}，
即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3．
∴，∴．
变式1：已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
（1）A∩B＝；（2）A (A∩B)．
【解析】（1）若A＝，则A∩B＝成立．
此时2a＋1＞3a－5，即a＜6．
若A≠，如图所示，则
解得6≤a≤7．
综上，满足条件A∩B＝的实数a的取值范围是{a|a≤7}．
（2）因为A (A∩B)，且(A∩B) A，
所以A∩B＝A，即A B．
显然A＝满足条件，此时a＜6．
若A≠，如图所示，则或
由解得a∈； 由解得a＞．
综上，满足条件A (A∩B)的实数a的取值范围是{a|a＜6或a＞}．
题型二 函数的定义域、值域
例题3：函数y＝＋的定义域为（　　）
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
【解析】D．
例题4：画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
（2）若x1（3）求函数f(x)的值域．
【解析】因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －5 0 3 4 3 0 －5 …
连线，描点，得函数图象如图：
（1）根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)（2）根据图象，容易发现当x1（3）根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
题型三 函数的表达式、分段函数
例题5：如果f()＝，则当x≠0,1时，f(x)等于（　　）
A． B． C． D．－1
【解析】B．
例题6：已知f(x)＝，
（1）画出f(x)的图象；
（2）求f(x)的定义域和值域．
【解析】（1）利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
（2）由条件知，函数f(x)的定义域为R．
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
题型四 函数的单调性、奇偶性
例题7：已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
【解析】函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝．
∵1≤x1∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0．
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
例题8：判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝3，x∈R；
（2）f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
（3）f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
（4）f(x)＝
【解析】（1）f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
（2）∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
（3）f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
（4）当x＞0时，f(x)＝1－x2，此时－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2－1，此时－x＞0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0．
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
变式2：已知函数f(x)＝x2－2x＋2．
（1）求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
（2）若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
【解析】（1）∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，
又f()＝，f(3)＝5，
所以f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1．
（2）∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，
即m≤2或m≥6．
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
变式3：已知函数f(x)＝1－．
（1）若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
（2）试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
【解析】（1）由已知g(x)＝f(x)－a得，g(x)＝1－a－，
∵g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，即1－a－＝－(1－a－)，解得a＝1．
（2）函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)
＝1－－(1－)＝．
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，从而＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．
高中数学必修一第一章阶段检测参考答案
一：选择题（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B A C D A D B
二：填空题（每小题5分，共20分）
11．3 12．-13 13．-3 14．或
三：解答题（共80分）
15．(本小题满分12分)
（1） ……………2分
∴ ……………4分
（2）∵ ……………6分
∴ ……………8分
（3）∵，∴
∴，∴ ……………12分
16．(本小题满分12分)
（1）∵，∴， ……………1分
∴
∴ ………4分
∴
∴ ………………6分
（2） ……………8分
∵，∴在上是减函数，在上是增函数
又＞ …………………………………………10分
∴． ……………………12分
17．(本小题满分14分)
（1）依题意有， ……………2分
得 ……………………………………………4分
（2）的定义域为关于原点对称， ……………5分
∵ ∴函数为奇函数． ……7分
（3）设，且 ……………………………………………8分
…………………………………………………………………………………………11分
∵，且
∴，， ……………………………………………12分
∴，即 ……………………………………………13分
∴在上是增函数． ……………………………………………14分
18．(本小题满分14分)
（1）∵是定义在上的奇函数，
∴，∴， ………………………………………………………2分
∴当时，
∴ ………………………………………………………4分
（2）当时，
∴ ………………………………………………6分
∵是定义在上的奇函数，∴
∴，即（）
∴的解析式为 …………………………………………8分
的图象如下图
………………………………………………10分
（3）由的图象可知：的增区间为，减区间为…14分
19．(本小题满分14分)
设商品的售价定为元，利润为元，则每件商品的利润为元，每件商品涨价了元，商品少卖了个，商品卖了个． ……3分
∴ ……………………………………7分
由，得
∴ ……………………………………10分
二次函数的对称轴为，且开口向下
∴当时，． ……………………………13分
答：商品的售价定为元时，销售利润最大，最大利润为元． ……………14分
（也可用配方法去求）
20．(本小题满分14分)
（1）当时，函数在上为减函数；……1分
当时，函数开口向上，对称轴为
∴函数在上为减函数，在上为增函数 ………………3分
当，函数开口向下，对称轴为
∴函数在上为增函数，在上为减函数 ………………5分
（2）方程，
当时，方程有1个实根， …………………6分
当时， …………………7分
①若，即时，方程没有实根 …………………8分
②若，即时，方程有1个实根 …………9分
③若，即，且时，方程有2个实根…10分
综上：当时，方程没有实根
当时，方程有1个实根
当时，方程有1个实根
当，且时，方程有2个实根 ………………11分
（3）当时，函数开口向上，对称轴为
∴在区间上为增函数 ………………12分
∴，得 ………………14分