三角形面积6类大题归类练习
一.求面积
1．（江苏省苏州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
（1）求：
（2）求的面积.
2．（江苏省南通市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.
(1)求；
(2)若边AB上的高为1，求的面积.
3．（福建省龙岩市非一级达标校2018-2019学年高二上学期期末教学质量检查数学（文）试题）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求的面积．
二.已知面积求值
4．（上海市南模中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学试题）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，则.
（1）求；
（2）若，△ABC的面积，求.
5．（广东省普通高中2022届高三上学期11月阶段性检测数学试题）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)若，，求的值．
三.已知面积最值求边长
6．（云南省玉溪市民族中学2022届高三模拟考试文科数学试题（四））在中，内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若的面积的最小值为，求的最小值．
四.求面积范围及最值
7．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且
(1)求角C的大小；
(2)若c，求△ABC的面积S的取值范围．
8．（2016届安徽省六安市一中高三上学期第三次月考理科数学试卷（带解析））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求c的值；
（2）求面积S的最大值．
9．（上海市曹杨中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知函数．
(1)求函数在区间上的严格减区间；
(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．
10．（广西邕衡金卷2023届高三第二次适应性考试数学（文）试题）记的面积为S，其内角的对边分别为，，，已知，．
(1)求；
(2)求面积的最大值．
五.锐角条件下求面积
11．（上海市洋泾中学2023届高三上学期12月月考数学试题）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和值域；
(2)在中，角的对边分别为．若锐角满足，，，求的面积．
12．（新疆克拉玛依市高级中学2021-2022学年高一年级5月月考数学试题）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求三角形的面积．
六.锐角三角形中求面积的范围
13．（重庆市2023届高三上学期第四次质量检测数学试题）在锐角中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，外接圆周长为，且．
(1)求c；
(2)记的面积为S，求S的取值范围．
14．（四川省宜宾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
(1)证明：C＝2A；
(2)若b＝2，求△ABC面积S的取值范围．
15．（福建福州第十一中学2023届高三上学期（期中考）数学适应性训练试题）在中，角的对边分别是且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求锐角的面积的取值范围.
16．（四川省成都市树德中学2022-2023学年高三上学期11月阶段性测试数学（文）试题）锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：．
(1)求A；
(2)求面积取值范围．三角形面积6类大题归类练习参考答案：
1．（1）；（2）
【详解】（1），，，
，由正弦定理，可得：.
（2），
．
2．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
在中，由正弦定理，所以，
所以，所以，
因为，所以.
在中，，
所以
，
所以，
所以，
所以，所以.
（2）方法一：
因为，，所以.
因为边上的高，所以.
因为，，所以，，
在中，，
所以
.
在中，由正弦定理，
所以.
所以的面积.
方法二：
过点C向AB作垂线，垂足为H.
在中，，，
所以，.
在中，，，
所以，所以，
所以的面积.
3．（1）（2）
【详解】解（1）．
由正弦定理，得
整理得，
因为，所以，
又，所以
方法二：由余弦定理得：
化简整理得：
即，
又，所以
（2）由余弦定理得：，
，即，
又，
解得，
所以
4．（1）；（2）.
【详解】（1），
，再由，
解得，
=；
（2），由余弦定理得，
5．(1)
(2)
(1)
因为，所以，
结合正弦定理可得，因为，所以,
故，显然，则，即，
由于，所以,
(2)
因为，所以，
由余弦定理得，即，
即，因此，故，由于，因此.
6．(1)
(2)1
【详解】（1）由得，即，
所以在中由余弦定理得，
因为，所以．
（2）由（1）知，
所以由正弦定理得，
，
所以的面积，
因为的面积的最小值为，
所以，
又，所以．
因为，所以，
即的最小值为1．
7．(1)C
(2)
（1）
由题意得，2sin21+cos2C，
∴ ，
又，
∴ ，解得cosC或1，
∵ ，∴cosC，则C；
（2）
∵C，c，
∴由余弦定理得， ，
所以，解得 ，
∴ ，解得 ，当且仅当a=b=1时取等号，
∴△ABC的面积，
∴△ABC的面积S的取值范围是．
8．（1）；（2）．
试题解析：（1）∵，
∴，
由正弦定理化简得：，
即，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则面积的最大值为．
考点：正弦定理，余弦定理，基本不等式．
9．(1)
(2)
【详解】（1）
方法1：则： ，即：，
当k=0时，
∴
∴在区间上的严格减区间为.
方法2：∵，
∴
∵在区间上严格单减
∴
∴
∴在区间上的严格减区间为.
（2）由（1）知：，即：
又∵
∴
∴
方法1：由余弦定理得： ，
∴ ①
又∵，当且仅当b=c时去等号. ②
由①②得： ，当且仅当b=c时去等号.
∴△ABC的面积最大值为；
方法2：由正弦定理得：
，
∵
∴ ，
∴
∴当时，即：时，取得最大值为1，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC的面积最大值为.
10．(1)
(2)
【详解】（1）∵，则，
∴，
又∵，
∴.
（2）∵，即，
∴，
又∵，当且仅当时等号成立，
∴，则面积，
故面积的最大值.
11．(1)；值域为
(2)
【详解】（1）
的最小正周期为.
，的值域为.
（2）由得.
，，，
由正弦定理，得，
由余弦定理，得
.
12．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
，
∵，∴，
又，∴，∵，∴；
（2）∵，
∴，
∴；
13．(1)3
(2)
【详解】（1）因为外接圆周长为，
则有，解得，
由正弦定理可得：，
又，
，又，
，，，
由正弦定理可知：.
（2），，
由正弦定理得：，
，
是锐角三角形，
，，
，，
则.
14．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在锐角中，由已知及正弦定理得：，
于是得，而，，即有，
又函数在上单调递增，因此，，
所以.
（2）由（1）知，，，而是锐角三角形，即有，解得，
由正弦定理得：，
面积，
令，则在上单调递增，而当时，，当时，，
所以面积S的取值范围是.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理可得
所以，
因为，所以，且，所以
（2）因为，，
所以，即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，
所以的面积的最大值为
故的面积的取值范围是
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得：，
因为，
所以，
化简得，所以，
因为，所以，
（2）解：由正弦定理，得
又
，
因为锐角，所以解得，则
所以.
